Exercice de chimie quantique: atome hydrogénoïde

[invite0c1c19a5]

Bonjour à tous,

J'ai un problème de quantique que je n'arrive pas à résoudre. Je ne vois pas le cheminement pour arriver au résultat. Donc si quelqu'un peut m’expliquer ça serait génial car c'est plus au niveau théorique que ça marche pas...

Voilà la donnée:
Calculer la valeur moyenne des Lz pour l’atome d’hydrogène dans l’état donné par la fonction dxy.

Comme Lz est un opérateur hérmitien on sait que les fonction propres sont orthonormées, mais je vois vraiment pas comment faire

Merci pour votre aide
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[albanxiii]

Bonjour,



La définition est .

Il y a surement moyen de faire plus astucieux.

@+

[Sethy]

Je pense que la solution se trouve dans cet article : http://www.lpm.u-nancy.fr/webperso/m.../A6.matray.pdf

L'opérateur Lz y est décrit en coordonnée polaire et il y a même la solution appliquée aux harmoniques sphériques (ce qui nous occupe).

[albanxiii]

Re,

Oui, bien sur, passer en coordonnées sphériques et utiliser les harmoniques sphériques. La partie radiale de la fonction d'onde n'intervient pas.
J'ai relu le Landau de mécanique quantique (des passages, pas tout) récemment, et je faisais allusion à ses ruses de sioux pour éviter de calculer des intégrales affreuses.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sethy]

Je me demande s'il n'y a pas une autre approche basée sur la symétrie.

[invite0c1c19a5]

Bonjour,

Merci de vos réponses. J'ai demandé au prof de m'aider un peu et il m'a dit qu'il fallait exprimer la fonction en utilisant la fonction radiales et les harmoniques sphériques et utiliser le fait que les harmoniques sphériques soient des fonctions propres de l'opérateur

Alors on a , mais après je voir pas comment faire, je crois qu'il faut exprimer comme combinaison linéaire d'autres fonctions

Merci pour votre aide

[Sethy]

Heu non.

Je crois que tu n'as pas bien saisi ce que sont les harmoniques sphériques. Lorsqu'on résout l'équation de Schrodinger pour les atomes hydrogénoïdes, on trouve une solution, qui est un produit de plusieurs fonctions :

- un terme radial (ne dépendant que du rayon, et conditionnant la valeur de l'énergie). Ce terme radial est le produit d'une exponentielle décroissante par un polynôme de Laguerre,
- les harmoniques sphériques, qui sont elles-mêmes le produit d'une fonction en phi (polynôme de Legendre) que multiplie un cos(theta).

Ces fonctions sont "paramétrées" par 3 nombres quantiques. Pour les orbitales d, le nombre secondaire vaut l=2. Le 3ème nombre quantique m, peut varier de -l à +l, soit 5 valeurs différentes dans le cas des orbitales d. Ca tombe bien, il y a 5 orbitales d....

(Je viens de jeter une oeil sur wiki et ...) L'orbitale dz2 correspond au cas ou m=0
Les orbitales dxz et dyz correspondant à m=+/-1 tandis que les orbitales dx2-y2 et dxy correspondent au cas ou m vaut +/-2.

Donc la solution de ton problème est tout simplement ...