Nombre de plans nodaux pour l'orbital 3p et 5d

[Goldow]

Salut à tous,
donc voila, j'ai bien comprit ce que sont les orbitaux s,p,d,f mais j'hesite combien de plan nodaux il y'a sur 3p et 5d.

Je sais que sur l'orbital 2p il y'a un plan imaginaire qui passe par le noyeau, mais avec la valeur de l = 1 , on a 3 valeur de m ( -1;0;1 donc 3 orbitale 2p) et je vois que dans mon cours on fait 3 plans nodaux pour les 3 valeurs de m ( px,py,pz)

donc est-ce qu'il y'a 2 plans nodaux ou 6 plans (px,py,pz) pour 3p ? ( n=3/ l=2/ 5 valeurs de m ) ou bien faut prendre les 3 orbitale de 2p et 3p et compter leur nombre de plans

et pour 5d j'hesite aussi ...

voila je suis vraiment perdu pour les compter
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[moco]

Bonjour,
Les orbitales 2p et 3p ont le même nombre de plans nodaux. Pour la 5 d, j'hésite.

[Sethy]

Tout dépend de la définition qu'on donne aux plans nodaux.

Pour ma part, je reviendrais aux équations des orbitales, car je pense que là, les choses s'éclairent.

Je vais présenter les équations sous forme d'un produit de 2 ou 3 termes. Le premier radial, les deux suivants angulaires. Phi étant l'angle par rapport à z.

L'équation d'une orbitale 2p est de la forme : 2pz = r^2.exp(-2r) x cos^2(phi).

Il n'y a donc aucun "zéro" de la fonction en r (si ce ne sont le point à l'origine et l'infini) tandis que la fonction en phi s'annule lorsque phi = pi/2. C'est cette annulation qui engendre le plan nodal en 0xy.

Les orbitales 2px et 2py ont pour équation (je discute le carré pour éviter les questions du signes) : "2px"^2 = r^2.exp(-2r) x sin^2(phi) x cos^2(theta). Même discussion pour la partie radiale, le sinus(phi) ne s'annule que pour phi = 0 et phi = pi (en gros, l'axe z) tandis que le cos theta s'annule bien (si on compte theta à partir de x) quand theta vaut pi/2 et 3pi/2, donc dans le plan x = 0. Ce qui génère donc un plan nodal en 0yz.

Si on discute l'orbitale 3pz, pour faire simple, l'équation est de la forme : "3pz"^2 = (1-r)^2.exp(-2r) x cos^2(phi). Nous avons déjà discuté la partie en phi, mais s'y ajoute une sphère nodale pour r = 1 (en coordonnées réduites).

Pour les orbitales d, je pense que c'est au cas par cas.

L'équation de l'orbitale 3dz2 est de la forme "3dz2"^2 = r^4.exp(-2.r) x (3 cos^2(phi)-1)^2. Pas de sphères nodales puisque la fonction en r ne s'annule qu'en zéro et à l'infini, par contre à première vue pas de "plan" nodaux au sens d'une surface plane. Il y a cependant bien un cône nodal à "l'angle magique" qui est l'angle solution de l'équation : 3cos^2(phi) -1 = 0 et qui vaut environ 54.7°. Je peux me tromper, mais je dirais mais qu'il y a 2 cônes nodaux confondu car : cos(phi) = +/- racine(1/3).

Les orbitale 3d pour l=+/-1 sont de la forme "3d"^2 = r^4.exp(-2.r) x sin^2(phi) x cos^2(phi) x cos^2(theta). Le sinus de phi n'est pas intéressant, le cosinus de phi génére un plan nodal en z=0 et le cosinus de theta en génère un en x=0 (ou en y = 0, si on prend l'autre valeur de l, ce qui revient à remplacer cos^2(theta) par sin^2(theta)). Donc on obtient bien 4 lobes "à la verticale" soit dans le plan x, soit dans le plan y.

Les orbitale 3d pour l=+/-2 sont de la forme "3d"^2 = r^4.exp(-2.r) x sin^4(phi) x cos^2(2 x theta). Le sinus de phi n'est pas intéressant, mais le cos(2.theta) va cette fois générer deux plans nodaux en pi/4 et en 3pi/4. A nouveau, "l'autre valeur de l" verra le cos(2theta) remplacé par le sin(2theta). Ici on obtient bien 4 lobes "à l'horizontale" dans le plan z, mais une fois avec les lobes "sur" les axes x et y (cosinus) et une fois sur les bissectrices des axes x et y (sinus).

Donc, en conclusion, je dirais ceci. Restreindre les plans nodaux à des plans me parait limité et je généraliserait à la notion de surface radiale (plans, sphères et cônes) car il exclu le cas de l'orbitale 3dz2, qui a selon moi également deux zéros (confondus, il est vrai) dans la partie angulaire et qui génère ici un cône de révolution nodal.

Pour l'orbitale 5d, il y en aura deux sphères nodales. Pour le déduire, il suffit de remarquer qu'à chaque nombre principal supérieur, on rajoute un zéro à l'équation radiale. L'orbitale 3d (comme la 2p, comme la 1s) n'a pas de sphères nodales. Les orbitales 4d, 3p, 2s en ont une, les orbitales 5d, 4p, 3s, en ont deux, etc.

Src pour les équations : http://chemistry.bd.psu.edu/jircitano/412ch2a.pdf
Src : https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_angle

[Sethy]

Quelques commentaires encore.

Tout d'abord lorsque j'écris que les termes en sin^(2n)(phi) sont sans intérêts, c'est aller un peu vite. En effet, sans eux, les orbitales ne seraient pas des lobes mais des quartiers d'orange. C'est cette fonction qui "sculpte" le quartier près des pôles (+z et -z) pour le transformer en lobes dans les directions x et y.

Ensuite, ce dont il faut se rendre compte, c'est que c'est la symétrie sphérique qui "propulse" le zéro qui est à l'origine un axe dans tous les cas (hormis pour les zéros radiaux bien sûr) et qui va engendrer un plan si c'est axe est perpendiculaire à un élément de la symétrie ou un cône si ce ne l'est pas.

C'est d'ailleurs ça qui est l'élément clé dans l'orbitale dz2, les deux axes sont distincts et forment un X et c'est la rotation qui va faire qu'ils se confondent.

Alors que par exemple, les zéros des cosinus(theta) eux sont déjà confondus (en pi/2 et 3 pi/2) avant l'application des symétries éventuelles et correspondent donc à des zéros uniques.

[A voir en vidéo sur Futura]