Vitesse d'un corps en chute libre vers la singularité

[boris72]

Bonjour,
J'ai une interrogation concernant la vitesse (selon son temps propre) d'un corps (disons une fusée) ayant dépassé l'horizon des événements d'un trou noir et tombant sur la singularité.
Il me semble avoir lu quelque part que la vitesse d'un tel objet était alors celle de la lumière ; et que si on allumait les moteurs de la fusée, même dans le sens de la remontée, elle arriverait en fait plus vite sur la singularité. Que se passe t-il alors concernant la vitesse, sachant qu'il est impossible de dépasser la vitesse de la lumière ? Par ailleurs, j'imagine que la notion de distance à l'intérieur du trou noir pose tellement problème que ma question n'a peut-être pas de sens...
Merci par avance.
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[mach3]

La vitesse de la lumière est indépassable et localement invariante, même sous l'horizon d'un trou noir.

A l'extérieur du trou noir, en un événement donné (point de l'espace-temps), toutes les lignes d'univers (chemin dans l'espace-temps, constitué des événements successifs d'un objet) ont un passé à l'extérieur du trou noir, et seule certaines ont un futur à l'intérieur du trou noir. Cela signifie que tant qu'on est à l'extérieur, il existe, au moins en principe, un moyen de rester à l'extérieur (basiquement, au minimum, si on a une trajectoire de chute libre qui traverse l'horizon, il va falloir accélérer vers le haut à un moment donné pour prendre une trajectoire de chute libre qui ne traverse pas l'horizon...)
A l'intérieur du trou noir, en un événement donné, certaines lignes d'univers ont un passé à l'extérieur du trou noir, d'autres un passé à l'intérieur, mais toutes les lignes d'univers ont un futur à l'intérieur du trou noir. Cela signifie qu'il n'existe pas de moyen de sortir de l'intérieur : une fois l'horizon franchi, le futur c'est la singularité et la durée avant d'arriver à ce futur est finie. Seul cas particulier, de la lumière émise vers le haut exactement au passage de l'horizon resterait sur l'horizon, elle ne sortirait pas du trou noir, mais n'atteindrait jamais la singularité non plus.

Concernant la durée entre le passage de l'horizon et la singularité, elle est conditionnée par la nature du mouvement de l'objet durant ce passage. En particulier, accélérer vers le haut raccourcit cette durée. La raison est géométrique, la "longueur" d'une ligne d'univers étant la durée vécue par l'objet qu'elle représente, le fait qu'elle soit courbée (accélération) modifie sa durée (tout comme un arc de cercle entre deux points est plus long qu'un segment entre ces deux mêmes points, mais ici la géométrie est plus complexe et un arc courbe peut être plus court qu'un segment).

m@ch3

[boris72]

Merci pour ces éclaircissements. Si je comprends bien votre dernier paragraphe, la notion même de vitesse devient problématique en métrique de Schwarschild, étant donné que l'espace et le temps sont intervertis.
Toutefois, j'imagine que même à l'intérieur d'un trou noir, un corps matériel ne peut parvenir à la vitesse de la lumière sans atteindre une masse infinie, donc la vitesse de l'objet en chute libre ne ferait, en fait, que tendre vers c ?
Et toujours à propos des distances, serait-il possible qu'en raison des déformations de l'espace-temps, l'intérieur d'un trou noir soit beaucoup plus vaste que son rayon de Schwarschild ne le laisse supposer, et donc que le temps de la chute libre dure plus longtemps que prévu ?

[mach3]

Merci pour ces éclaircissements. Si je comprends bien votre dernier paragraphe, la notion même de vitesse devient problématique en métrique de Schwarschild, étant donné que l'espace et le temps sont intervertis.

non, pas du tout problématique, en tout cas pas plus que dans n'importe quelle géométrie d'espace-temps courbe. C'est toujours une relation entre deux lignes d'univers qui se croisent (comme un angle ou la tangente d'un angle entre deux droites en géométrie euclidienne), l'une étant celle de l'objet et l'autre celle d'une référence, et on parle donc de la vitesse de l'objet par rapport à la référence. L'aspect problématique est dans le fait que cela n'a de sens intrinsèque qu'à l'intersection des deux lignes, et nulle part ailleurs, en particulier, on ne peut pas parler simplement de la vitesse d'un objet sous l'horizon par rapport à une référence qui serait en dehors du trou noir. Parler de vitesse relative entre deux objets distants reste possible, mais cela se fait via des "constructions" (les référentiels) et la vitesse obtenue dépend de la construction.
Par ailleurs, l'espace et le temps ne sont aucunement intervertis, c'est simplement que les coordonnées de Schwarzschild sont "mal fichues". La géométrie de Schwarzschild peut se décrire avec moult systèmes de coordonnées différents et tous ne présentent pas ce problème sur l'horizon (ils ont d'ailleurs en général été construits pour ne pas présenter ce problème justement)

Toutefois, j'imagine que même à l'intérieur d'un trou noir, un corps matériel ne peut parvenir à la vitesse de la lumière sans atteindre une masse infinie, donc la vitesse de l'objet en chute libre ne ferait, en fait, que tendre vers c ?

la physique locale reste celle de la relativité restreinte : il faut fournir une énergie infinie (la masse est invariante, elle ne change pas avec la vitesse, on ne parle plus de masse relativiste qui augmente avec la vitesse aujourd'hui, c'est l'énergie qui augmente) à un corps de masse non nulle pour que sa vitesse (par rapport à un objet de référence local) tende vers celle de la lumière et par conséquent seules les particules de masse nulle vont à la vitesse de la lumière.

Et toujours à propos des distances, serait-il possible qu'en raison des déformations de l'espace-temps, l'intérieur d'un trou noir soit beaucoup plus vaste que son rayon de Schwarschild ne le laisse supposer, et donc que le temps de la chute libre dure plus longtemps que prévu ?

Un trou noir peut contenir un volume absolument colossal (tout dépend après de comment on découpe l'espace-temps pour définir les tranches spatiale et donc calculer les volumes), mais la durée de la chute reste celle prévue (les calculs de volumes et de durée sont effectuées sur le même objet géométrique, avec la même machinerie, c'est un tout cohérent). En enlevant une dimension, on peut se représenter l'intérieur du trou noir comme la surface d'un cylindre qui se dilate suivant son axe et se contracte suivant sa circonférence, la singularité étant le moment où le cylindre se réduit à une ligne de longueur infinie. Dans le référentiel utilisé pour cette représentation, la taille du cylindre est infinie (donc volume infini), mais la durée au bout de laquelle il se réduit à une ligne est finie.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Andrei2010]

seules les particules de masse non nulle vont à la vitesse de la lumière.

Il y a un "non" de trop... Je te parie un trou noir primordial que tu as écrit en vitesse, effacé pour reformuler, et validé après avoir lu en diagonale

[mach3]

C'est corrigé, merci beaucoup.

m@ch3

[zebular]

La vitesse de la lumière est indépassable et localement invariante, même sous l'horizon d'un trou noir.

A l'extérieur du trou noir, en un événement donné (point de l'espace-temps), toutes les lignes d'univers (chemin dans l'espace-temps, constitué des événements successifs d'un objet) ont un passé à l'extérieur du trou noir, et seule certaines ont un futur à l'intérieur du trou noir. Cela signifie que tant qu'on est à l'extérieur, il existe, au moins en principe, un moyen de rester à l'extérieur (basiquement, au minimum, si on a une trajectoire de chute libre qui traverse l'horizon, il va falloir accélérer vers le haut à un moment donné pour prendre une trajectoire de chute libre qui ne traverse pas l'horizon...)
A l'intérieur du trou noir, en un événement donné, certaines lignes d'univers ont un passé à l'extérieur du trou noir, d'autres un passé à l'intérieur, mais toutes les lignes d'univers ont un futur à l'intérieur du trou noir. Cela signifie qu'il n'existe pas de moyen de sortir de l'intérieur : une fois l'horizon franchi, le futur c'est la singularité et la durée avant d'arriver à ce futur est finie. Seul cas particulier, de la lumière émise vers le haut exactement au passage de l'horizon resterait sur l'horizon, elle ne sortirait pas du trou noir, mais n'atteindrait jamais la singularité non plus.

Concernant la durée entre le passage de l'horizon et la singularité, elle est conditionnée par la nature du mouvement de l'objet durant ce passage. En particulier, accélérer vers le haut raccourcit cette durée. La raison est géométrique, la "longueur" d'une ligne d'univers étant la durée vécue par l'objet qu'elle représente, le fait qu'elle soit courbée (accélération) modifie sa durée (tout comme un arc de cercle entre deux points est plus long qu'un segment entre ces deux mêmes points, mais ici la géométrie est plus complexe et un arc courbe peut être plus court qu'un segment).

m@ch3

Tout en ne faisant pas du surplace puisqu'un photon se déplace toujours à "c"?

[mach3]

Tout en ne faisant pas du surplace puisqu'un photon se déplace toujours à "c"?

L'horizon n'est pas un lieu, pas un immobile dans un référentiel par rapport auquel exprimer une vitesse.

m@ch3

[Andrei2010]

C'est corrigé, merci beaucoup.
m@ch3

Il vous en prie
Alors, ce trou noir primordial, ça vient ou quoi ?