Le dernier photon avant l'horizon

[mach3]

Tu ne voudrais mélanger RG et MQ par hasard ?

ben si on veut parler de photon et d'horizon de trou noir, il n'y a pas trop le choix... Si on veut rester pur RG, alors il faut réfléchir uniquement en termes d'onde électromagnétique sans quantification et le photon est hors-sujet, où alors il faut considérer des particules tests non quantiques, mais du coup on ne répond pas à la même question. Au minimum il faut faire de la théorie quantique des champs en espace-temps courbe, mais dans ce cas on néglige l'éventuelle dynamique du trou noir, notamment le fait qu'un trou noir se modifie quand des choses tombent dedans (il y a généralement émission d'ondes gravitationnelles, donc espace-temps dynamique...). Sinon il ne reste plus qu'à spéculer au-dela (boucles, cordes, etc...). De toutes façons dans les deux cas ça dépasse mes compétences.

Cela étant dit, réflexion tangente, si on considère le dernier photon reçu par un observateur de Rindler d'un corps qui passe l'horizon de Rindler, on n'est plus que dans un problème de théorie quantique des champs (en espace-temps plat, normal) et on doit pouvoir apprendre des choses qui orientent sur la réponse au cas en espace-temps courbe.

Le plus probable est qu'en l'état actuel de la science, personne ne peut dire si appliquer la relation d'indétermination temps / énergie de Heisenberg à la position de l'horizon d'un trou noir (qui dépend de sa masse, qu'on considère comme une énergie) est valable ou non.

le problème est que l'horizon n'est ni un objet ni un lieu, pas évident de savoir si on peut lui appliquer une indétermination qui concerne des objets et notamment le lieu qu'elles occupent. La définition de l'horizon est très claire, c'est une hypersurface que les lignes d'univers (donc genre temps ou nul) ne peuvent traverser que dans un sens. En un évènement donné, soit il y a des lignes d'univers qui peuvent aller à l'infini de l'espace et on est hors de l'horizon, soit il n'y en a pas et on est sous l'horizon.

Est-ce que l'on pourrait déjà commencer par évaluer la vitesse à laquelle un objet en chute libre traverse l'horizon d'un trou noir de 5 masses solaires, 1 million de masses solaires, et 1 milliard de masses solaires ?
Peut-être que ces considérations sur la durée d'un paquet d'onde et sur l'incertitude de la position de l'horizon sont sans objet pour notre calcul.

Si on prend un référentiel où l'objet est immobile (Novikov si chute libre radiale avec vitesse nulle pour une altitude finie, Lemaitre si chute radiale avec vitesse nulle à l'infini), l'horizon y progresse à la vitesse de la lumière (c'est une hypersurface de genre nul).

Je te suis presque, sauf sur le rôle de la précision. La durée pendant laquelle un photon est émis est d'autant plus courte que sa fréquence est haute, même sans prendre en compte la précision sur sa fréquence.

j'en étais resté au fait que le paquet d'onde pouvait être plus ou moins étendu (spatialement et temporellement), ce qui rend compte de la relation d'incertitude entre position (plus le paquet est étalé, plus sa position est indéterminée) et impulsion (plus le paquet est étalé, plus il y a d'oscillations, plus la longueur d'onde, donc l'impulsion, est précise). Exemple ici : http://gisaxs.com/index.php/File:Space_tradeoff.png

Je n'avais pas vu ça comme cela. Un problème avec cette vision est qu'on se retrouve en fait à vouloir traiter |photon réfléchi> + |photon dans trou noir> comme une superposition valide. Pas certain.

Si on se place dans un référentiel où l'objet en chute est immobile, on comprend que le paquet se barre à la vitesse de la lumière avec l'horizon. Le paquet n'est pas coupé en deux, même si l'horizon est en plein milieu du paquet, il reste intègre. Il se déforme, certes, à cause des marées, mais il reste intègre. La particularité est que pour recevoir l'intégralité du paquet, un observateur doit se laisser dépasser par l'horizon. Rester indéfiniment en dehors est équivalent à une fuite continue de l'observateur afin qu'un morceau du paquet ne le rattrape jamais. D'ailleurs on peut imaginer des mouvements de l'observateur qui font qu'il recevra un morceau plus ou moins grand du paquet que ce qu'il recevrait en restant à altitude constante (of course, recevoir plus signifie passer l'horizon, mais ça ne signifie pas pour autant recevoir tout, notamment si on passe l'horizon trop tard, on atteint la singularité avant d'avoir reçu tout le paquet).

C'est vraiment analogue à l'observateur de Rindler dont je parle au tout début : si il ne cesse jamais d'accélérer alors il ne recevra jamais entier les paquets d'ondes qui sont émis à cheval sur l'horizon de Rindler.

m@ch3
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[Mailou75]

Salut,

ben si on veut parler de photon et d'horizon de trou noir, il n'y a pas trop le choix... Si on veut rester pur RG, alors il faut réfléchir uniquement en termes d'onde électromagnétique sans quantification et le photon est hors-sujet, où alors il faut considérer des particules tests non quantiques, mais du coup on ne répond pas à la même question. Au minimum il faut faire de la théorie quantique des champs en espace-temps courbe, mais dans ce cas on néglige l'éventuelle dynamique du trou noir, notamment le fait qu'un trou noir se modifie quand des choses tombent dedans (il y a généralement émission d'ondes gravitationnelles, donc espace-temps dynamique...). Sinon il ne reste plus qu'à spéculer au-dela (boucles, cordes, etc...). De toutes façons dans les deux cas ça dépasse mes compétences.

Cela étant dit, réflexion tangente, si on considère le dernier photon reçu par un observateur de Rindler d'un corps qui passe l'horizon de Rindler, on n'est plus que dans un problème de théorie quantique des champs (en espace-temps plat, normal) et on doit pouvoir apprendre des choses qui orientent sur la réponse au cas en espace-temps courbe.

Arg je ne te suis pas là, d’autant moins avec ce comparatif RR...

En RR on sait représenter l’énergie d’un photon, c’est un vecteur à 45° dont l’abscisse (ou l’ordonnée, n’importe comme c’est 45°) EST son énergie dans un repère donné. Pour de la matière, l’abscisse du vecteur 4-impulsion est l’impulsion et l’ordonnée est l’energie totale. Pour le photon les deux sont égaux, il n’a pas d’energie au repos, pas de masse.

Dans ce rappel on voit qu’en RR le départ d’un photon est un seul évènement ! Pourtant son énergie est parfaitement définie. Si on voulait définir une longueur d’onde (ou periode x c) on pourrait, le photon ne mettrait pas pour autant une durée (intervalle de temps) à partir. Et on peut rajouter un accéléré de Rindler que ça ne changerait rien, le photon il le capte ou pas, aucune ambivalence.

Je ne comprends donc pas pourquoi, sur un sujet de RG, tu invoques un «paquet d’onde» qui relève de la MQ. N’y a t il pas deux réponses possibles : une simple qui se limite à la RG et une complexe (sans doute plus juste mais non validée) qui fait appel à la MQ ? Ce n’est pas ici qu’on resoudra la deuxième... je m’etonne donc de ton insurrection face a un traitement uniquement RG, c’est tout

A +

[invite6c250b59]

ben si on veut parler de photon et d'horizon de trou noir, il n'y a pas trop le choix... Si on veut rester pur RG, alors il faut réfléchir uniquement en termes d'onde électromagnétique sans quantification et le photon est hors-sujet

A vrai dire peut-être devrait-on prendre la peine de reformuler l'idée en régime pure RG, parce que je crois qu'on obtiendra le même résultat. Ainsi si on considère un miroir qui est juste au-dessus de l'horizon, puis qui descend d'une moitié de la distance restante à chaque seconde, alors un faisceau laser envoyé au miroir reviendra avec un décalage vers le rouge et une diminution d'intensité exponentiellement rapide... la conclusion que le laser ne peut avoir assez d'énergie pour être vu par réflexion devrait arriver avant le franchissement.

Cela étant dit, réflexion tangente, si on considère le dernier photon reçu par un observateur de Rindler d'un corps qui passe l'horizon de Rindler, on n'est plus que dans un problème de théorie quantique des champs (en espace-temps plat, normal) et on doit pouvoir apprendre des choses qui orientent sur la réponse au cas en espace-temps courbe.

Oui cela semble une alternative intéressante.

Le paquet n'est pas coupé en deux, même si l'horizon est en plein milieu du paquet, il reste intègre.

mmm... pas sur qu'on peut laisser le paquet intact s'il taquine l'horizon par dessous.

(croisement)

[mach3]

A mailou :

Il y a à un bout la théorie des collisions relativistes, sans quantique. On y modélise les particules comme ponctuelles, c'est à dire qu'elles sont localisées et que leurs collisions ont lieu en des événements uniques. Ce modèle est faux, mais néanmoins utile. Il faut le considèrer comme une vue "de loin", on jette un voile pudique sur l'interaction entre les particules, qui est bien plus complexe que ça. Quand les particules sont assez loin les unes des autres on peut negliger leurs interactions et les considérer en MRU. On ne s'occupe pas de ce qui se passe quand elles sont trop proches, cette zone est une boîte noire, mais on compte sur les lois de conservation pour pouvoir "reprendre la main" dès qu'elles sont de nouveau assez éloignées.

A l'autre bout il y a la théorie quantique des champs qui elle va décrire la totalité du processus de collision, mais elle est beaucoup plus complexe. Les interactions, les créations et destructions de particules ne sont plus ponctuelles vu que ce sont des ondes, excitations élémentaires des champs, qui interfèrent, ou encore, on peut les traiter comme une superposition, une somme de toutes les interactions ponctuelles possibles (diagrammes de Feynmann...).

[Note : le paragraphe précédent est un résumé approximatif de ce que je crois comprendre de la TQC]

Entre les deux il y a divers stades d'approximations, particules ponctuelles classiques avec interactions modélisées par des champs classiques, particules quantiques avec interactions via des champs classiques, non quantifiés...

Le sujet du fil concerne les photons dans le cadre de la RG. Une description sur un mode "théorie des collisions" a forcément des limites, étant donné que la zone "cachée", la zone où il faut prendre en compte les interactions qui sont ignorées dans ce mode, possède une certaine extension et fini forcément par être à cheval sur l'horizon en cas d'émission tardive, qui est justement le cas qui nous occupe. Une réponse correcte au sujet du fil nécessite, au minimum, la théorie quantique des champs en espace-temps courbe.

Cela etant dit je ne "m'insurge" pas contre un traitement purement RG de la question (on peut le faire en retenant que c'est une reponse FAPP : en un temps très court, aucune technologie ne permettra de détecter le rayonnement émis arbitrairement proche de l'horizon) mais je demande plus de profondeur dans le traitement de la question. Manque de profondeur que je ne sais pas combler (et c'est pas demain la veille). Si on affirme qu'au delà du FAPP on peut théoriquement fixer un délai au delà duquel on ne recevra plus de photon peu importe la techno de détection, alors on attend que cela soit un peu plus étayé, voire soutenu par des travaux publiés.

m@ch3

[Pio2001]

Si on prend un référentiel où l'objet est immobile (Novikov si chute libre radiale avec vitesse nulle pour une altitude finie, Lemaitre si chute radiale avec vitesse nulle à l'infini), l'horizon y progresse à la vitesse de la lumière (c'est une hypersurface de genre nul).

Ah ben c'est encore plus facile !... Comme dit Didier Bourdon dans le sketch des Inconnus.
Merci.

Donc j'ai fait quelques calculs. Je vais essayer de les expliquer pour que vous puissiez me dire si ça tient debout... mais ça va pas être facile sans diagramme.

Ma barre de 5 mètre "se voit" traverser l'horizon en 5/300.000.000 = 1/60.000.000 secondes (un soixante-millioniène de seconde).

Pendant cette durée, elle émet 5x10^19 / 60.000.000 = 833x10^9 photons au total.
Je rappelle que ma barre est supposée rayonner 100 watts de lumière verte, le nombre de photons a été calculé au début de la discussion. Ce qui lui donne un aspect incandescent. Presque aveuglant.

Comme la barre pénètre dans le trou noir à vitesse constante pendant cette durée, la moitié de ces photons (soit 416 milliards) sont émis en dehors de l'horizon, l'autre moitié sous l'horizon.

Quel est le photon qui a été émis le plus près de l'horizon ? C'est là que j'ai utilisé un diagramme.

Je vais essayer de vous le décrire. La barre plonge sous l'horizon comme une aiguille qui se plante dans un coussin. Elle rayonne 100 watts en continu pendant toute la traversée.

Elle rayonne quand les 5 mètres de barre sont au-dessus de l'horizon.
Elle rayonne encore quand 4 mètres restent au-dessus de l'horizon.
Elle rayonne toujours autant quand 3 mètres émergent encore
etc.

Si je dessine toutes les positions successives de la barre les unes à côté des autres, avec en abscisse le temps, et en ordonnée la distance à l'horizon, j'obtiens un triangle rectangle de 5 mètre de hauteur, avec l'horizon du trou noir le long de l'axe des abscisses.
Je répartis mes 416 milliards de photons aléatoirement dans ce triangle, et je regarde lequel tombe le plus près de l'horizon.

Pour ce faire, je pose arbitrairement que mon triangle imaginaire est isocèle rectangle et que sa base fait 5 mètres. Sa surface fera donc 12.5 mètres carrés. Si les photons sont uniformément répartis, ils occupent chacun 3x10^-11 mètres carrés dans mon triangle imaginaire. Soit 0.00003 mm2, soit un carré de 0.0054 mm de côté.

Je m'intéresse à la bande imaginaire de 0.0054 mm de hauteur qui se trouve le long de l'horizon. Elle contient 913 carreaux de 0.0054 mm de côté, donc environ 913 photons.

Cette pirouette avec un triangle rectangle imaginaire me permet de dire que pendant la traversée de l'horizon, environ 913 photons ont été émis par un élément de barre qui dépassait, vu de la barre, de 0.0054 mm au-dessus de l'horizon du trou noir.
Certains plus près de l'horizon, certains plus loin. Le plus proche, statistiquement, aura été émis par un élément de barre de 0.0054 / 913 = 0.000006 mm de long, qui dépassait de l'horizon du trou noir.

Bon, c'est bourré d'approximations infectes sur la répartition des photons, qui est en réalité aléatoire, et non uniforme.
Mais l'approximation la plus énorme de ce modèle, c'est de ne considérer que le nombre de photons émis au-dessus de l'horizon. En réalité, la plupart de ces photons vont suivre des trajectoires courbes et retomber dans le trou noir. Certains s'échapperont, mais la plupart de ces derniers iront se perdre dans une direction complètement différente de celle de notre observateur.

En gros, ce que je veux dire, c'est que si on arrive à voir "le" photon qui a été émis par un morceau de barre de 0.000006 mm qui dépasse de l'horizon, on a gagné au loto !
Reste à calculer combien de temps ce photon met pour s'échapper du champ gravitationnel du trou noir. Car statistiquement, ce sera lui le dernier !
Là je ne saurais pas dire.

Notez bien que je n'ai jamais dit que ce photon était émis 0.000006 mm au-dessus de l'horizon ! J'ai dit que c'est un élément de barre de longueur propre égale à 0.000006 mm qui l'avait émis "par son extrémité" alors que cet élément était entièrement au-dessus de l'horizon.
Il y a donc une conversion à faire pour savoir ce que cela représente pour un observateur distant comme distance à l'horizon dans son référentiel à lui.

Là, je passe la main.

[Pio2001]

Il y a donc une conversion à faire pour savoir ce que cela représente pour un observateur distant comme distance à l'horizon dans son référentiel à lui.

Il y au moins deux facteurs à prendre en compte : la barre se déplace à une vitesse relativiste par rapport à l'observateur, ce qui implique une correction des longueurs, et la barre se trouve dans un espace très fortement courbé par la gravitation, ce qui doit impliquer une autre correction, je suppose.
Peut-être même qu'il est impossible de considérer séparément ces deux corrections

Cette partie du calcul me dépasse complètement.

[Mailou75]

@ mach3

Tu as raison de préciser qu’en regardant de très près dans la boite noire c’est bien plus complexe. Il ne faudrait pas que ça relègue la RG à de la FAPP...

[yves95210]

Salut,

Tu as raison de préciser qu’en regardant de très près dans la boite noire c’est bien plus complexe. Il ne faudrait pas que ça relègue la RG à de la FAPP...

La RG, en tant que théorie mathématique, non.
Les axiomes sur lesquels elle se base, ça se discute (comme pour toute théorie mathématique): il s'agit de propositions considérées comme toujours vraies sans qu'on sache les démontrer (par exemple l'équivalence entre masse grave et masse inertielle), donc on peut déjà parler de "FAPP" à leur propos même si ce n'est pas le sujet ici.

Mais les modèles basés sur la RG et censés décrire la réalité physique (ou du moins ce que nous pouvons en percevoir dans nos expériences) sont clairement "FAPP", qu'il s'agisse par exemple de Schwarzschild dans le vide autour d'un corps central quand on l'applique autour d'une étoile en considérant que, FAPP, tous les corps en orbite sont assimilables à des particules-test de masse négligeable, ou de Friedmann-Lemaître dans un espace-temps de densité d'énergie homogène et isotrope à toute échelle.
Et bien sûr cela vaut pour les modèles de trous noirs, et les objets que nous observons, que nous ne pouvons nommer trou noir que FAPP puisque par définition, pour un observateur situé "à l'infini", leur horizon ne se formera qu'au bout d'un temps infini (c'est d'ailleurs bien pour cela que l'argument du dernier photon émis avant que la surface d'une étoile en effondrement passe sous l'horizon, tel qu'il est présenté par exemple dans le §33.1 du MTW, a un intérêt).

[mach3]

(c'est d'ailleurs bien pour cela que l'argument du dernier photon émis avant que la surface d'une étoile en effondrement passe sous l'horizon, tel qu'il est présenté par exemple dans le §33.1 du MTW, a un intérêt).

Je viens de lire ce paragraphe que je ne connaissais pas (j'ai le bouquin, mais je n'ai jamais parcouru l'intégralité de ses 3kg), il est très éclairant et cela sans être d'une grande complexité (le seul point technique est qu'il se base sur l'effondrement d'une étoile sphérique en coordonnées d'Eddington-Finkelstein entrantes). C'est une pépite, qui mériterait d'être traduite et postée ici si il n'y avait pas de droits d'auteurs. Cependant, rien n'empêche de citer une information importante : 26µs, c'est la constante de temps de la diminution exponentielle de l'intensité lumineuse reçue par un observateur distant d'une étoile d'une masse solaire qui s'effondre. Elle est proportionnelle à la masse du corps en effondrement. Cela signifie une intensité reçue divisée par deux en ~18µs. C'est extrêmement rapide (ça fait donc 180µs pour divisé par ~1000). Même pour un trou noir supermassif de plusieurs millions de masse solaire, cela donne une durée de l'ordre de la minute pour divisée l'intensité par deux (et donc de l'ordre de 10 minutes pour divisé par 1000).

Il y a un exercice dans le chapitre précédent, le 32.2, qui est proposé sur le sujet et qui va jusqu'aux photons en restant dans une approche simple de rayonnement de corps noir de température T de l'étoile en effondrement, pas de théorie quantique des champs (on calcul le flux de photons sortant de la surface). Dans la dernière question, il s'agit de montrer que l'ordre de grandeur de la durée (pour l'observateur distant) entre l'observation de la surface de l'étoile en effondrement passant r=3M et l'arrivée du dernier photon à l'altitude r>>M de l'observateur distant (qui ne l'observera donc que si il est aux bonnes coordonnés angulaires...) est de :



Il s'agit d'un ordre de grandeur bien sûr.

Je le comprend comme "statistiquement" il est improbable (pas impossible, juste improbable) qu'un autre photon en provenance de la surface de l'étoile atteigne r>>M au delà cette durée (et plus on attend, moins c'est probable). Il faudrait en plus corriger par la surface de détection de l'observateur sur la surface de la sphère de rayon r>>M pour parler d'observation de ce dernier photon (ça doit se réduire vraiment à peau de chagrin du coup, après je ne sais pas quelle température atteint la surface d'une étoile en effondrement, c'est peut-être quand même beaucoup et ça doit compenser un poil).
Bon, ici, il s'agit de lumière provenant de l'étoile en effondrement considéré comme un corps noir, pas d'un objet qui tombe dessus ensuite, donc il faut adapter. Un objet quelconque étant généralement beaucoup plus petit et beaucoup moins lumineux que la surface d'une étoile, cet ordre de grandeur doit surement être revu à la baisse.

m@ch3

[yves95210]

Je viens de lire ce paragraphe que je ne connaissais pas (j'ai le bouquin, mais je n'ai jamais parcouru l'intégralité de ses 3kg), il est très éclairant et cela sans être d'une grande complexité (le seul point technique est qu'il se base sur l'effondrement d'une étoile sphérique en coordonnées d'Eddington-Finkelstein entrantes). C'est une pépite, qui mériterait d'être traduite et postée ici si il n'y avait pas de droits d'auteurs.

Je l'avais déjà cité dans une autre discussion sur les TN, à laquelle tu as participé

[invite6c250b59]

(...)
Je le comprend comme "statistiquement" il est improbable (pas impossible, juste improbable) qu'un autre photon en provenance de la surface de l'étoile atteigne r>>M au delà cette durée (et plus on attend, moins c'est probable).

La présence d'un logarithme est incompatible avec cette conclusion. Un logarithme dans cette équation cela veut dire que pour doubler le temps, il faut multiplier par 100 l'énergie. Pour multiplier par dix le temps, il faut multiplier par 10 milliards l'énergie. C'est cette relation exponentielle qui condamne l'existence d'un photon tardif à une probabilité nulle en temps fini. Bref, pour moi c'est une troisième façon de comprendre exactement la même conclusion. Pick one.

[Pio2001]

Dans la dernière question, il s'agit de montrer que l'ordre de grandeur de la durée (pour l'observateur distant) entre l'observation de la surface de l'étoile en effondrement passant r=3M et l'arrivée du dernier photon à l'altitude r>>M de l'observateur distant (qui ne l'observera donc que si il est aux bonnes coordonnés angulaires...) est de :



Il s'agit d'un ordre de grandeur bien sûr.

Merci !
Je considère que la parenthèse manquante est à la fin.

Si je prends M = 10 masses solaires, et T = 6500 K (parce que c'est la température de la lumière blanche, évidemment, un astre en effondrement aura une température bien plus élevée que cela), sauf erreur, je trouve 5 millisecondes !

[mach3]

Je considère que la parenthèse manquante est à la fin.

Oui, elle était à la fin, c'est corrigé, merci

m@ch3