Univers fini/infini

[fabio123]

Bonjour,

ce sujet ou sous une forme similaire a dû être déjà traité mais je n'ai pas trouvé exactement la même formulation.

Prenons un espace 2D comme la surface d'une sphère avec des êtres bi-dimensionnels vivant dessus. Si un de ces êtres décide de marcher le long d'une direction ( "tout droit"), il se retrouve à un moment donné à son point de départ.

Maintenant, si on fait l'analogie avec notre Univers, si on prend un vaisseau spatial que le pilote décide d'aller "d'avant toute" en ne changeant rien à sa direction initiale : s'il se retrouve à un moment donné à son point de départ, qu'en conclura t-il ? que l'Univers est fini ?

Mais s'il dit qu'il est fini, c'est oublier de dire, pour faire l'analogie avec la sphère, que cette surface sphérique est plongée dans un espace 3D qui lui par contre peut-être infini : qu'en pensez-vous ?

C'est toujours le même problème, entre le contenu et le contenant : si on commence à considérer l'Univers fini, alors la question qui suit est forcément : mais dans quoi est-il contenu ? et ainsi de suite comme les poupées russes.

Le problème se résume t-il simplement à dire qu'il y a une dimension supplémentaire (comme entre la surface sphérique 2D et l'espace 3D dans lequel elle est plongée) qui fait que l'on peut considérer un Univers fini si on ne la prend pas en compte (2D), mais qui serait infini si on la prenait en compte (3D).

Et cette dimension supplémentaire est-elle nécessairement de nature spatiale ?

Merci pour vos avis éclairés.
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[pm42]

Mais s'il dit qu'il est fini, c'est oublier de dire, pour faire l'analogie avec la sphère, que cette surface sphérique est plongée dans un espace 3D qui lui par contre peut-être infini : qu'en pensez-vous ?

C'est ce que ton intuition te dit parce que tu vis dans un espace en 3D mais quand on manipule rigoureusement des espaces de différentes dimensions c'est à dire avec des maths, on n'a pas besoin de cette dimension supplémentaire.

C'est toujours le même problème, entre le contenu et le contenant : si on commence à considérer l'Univers fini, alors la question qui suit est forcément : mais dans quoi est-il contenu ? et ainsi de suite comme les poupées russes.

L'Univers, c'est tout ce qui existe par définition donc chercher son contenant n'a pas de sens. Bon, on peut raffiner si on part sur des concepts de multivers et autres mais ce n'est pas le contexte de ta question.

Le problème se résume t-il simplement à dire qu'il y a une dimension supplémentaire (comme entre la surface sphérique 2D et l'espace 3D dans lequel elle est plongée) qui fait que l'on peut considérer un Univers fini si on ne la prend pas en compte (2D), mais qui serait infini si on la prenait en compte (3D).

Voir plus haut, il n'y a pas besoin de dimension supplémentaire.

[Mailou75]

Salut Fabio,

Avant tout quand on étudie le modèle hypersphérique la dimension radiale c'est le temps. L'intérieur de la boule est le passé et l'extérieur le futur, le futur est bien infini mais ce n'est pas une dimension spatiale. La surface de la boule est l'espace au présent.

L'évolution d'une telle description est que le temps avance (rayon) donc la boule grossit et sa surface augmente (expansion).

Il n'est pas possible d'en faire le tour sans aller à 2*pi*c. Ou alors il faudrait que le temps s'arrête, ce qui pose problème pour parler de mouvement…

Ce modèle est retenu pour toutes les explications autres que le "cake au raisin" mais nullement étudié sérieusement et encore moins adopté. Il parait qu'on "mesure" un espace plat.

Bon courrage

[Gilgamesh]

Salut Fabio,

Avant tout quand on étudie le modèle hypersphérique la dimension radiale c'est le temps.

Non, tu confond avec le facteur d'échelle qui est une fonction du temps, mais qui est un paramètre parfaitement spatial.

L'équation de l'hypersphère c'est :

x² + y² + z² + w² = R²

où x, y, z, w sont 4 coordonnées spatiales et le rayon R une longueur.

La métrique sur l'hypersphère sera, en coordonnées polaires :

ds² = R² [dψ² + sin² ψ (dθ² + sin² θ dφ²)]

avec R le rayon de courbure de la sphère et θ, φ et ψ, trois angles.

Maintenant on introduit l'équation de Friedman issue d'un raisonnement précédent dans le cours où on examine de quelle manière varie la distance a entre deux points de coordonnée unité dans un univers 3D en partant d'un formalisme newtonien

(ȧ/a)² = (8π/3)Gρ - kc²/a²

On introduit une unité sans dimension, l'unité de graduation du système de coordonnée (notch en anglais)

Le facteur d'échelle a nous donne simplement combien de mètre représente chaque unité du système de graduation

[a] = mètre/notch

Le paramètre k est quand à lui relié à l'énergie totale de l'univers E, somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle:

k = -2E/c²

avec

E = (1/2) ȧ² - (4π/3)Gρ

L'équation de Friedman permet de déduire l'unité de k :

[k] = 1/notch²

Le rayon de courbure R est bien sur des mètre. Pour relier R au facteur d'échelle a et k on peut écrire

R² (t) = a²(t)/k

(Le rayon de courbure R(t) est donc relié à l'énergie totale de l'univers : R = a²(t)c²/|2E|)

Ce qui nous donne :

ds² = a²(t)/k [dψ² + sin² ψ (dθ² + sin² θ dφ²)]

Et on va opérer un deuxième changement de variable pour introduire la coordonnée comobile r:

r = sin(ψ)/√k

Tout ça fait "disparaître" la coordonnée de la 4e dimension spatiale (l'angle ψ correspondant à la coordonnée w en cartésien).

On obtient la métrique de Roberston-Walker, qui n'a plus que 3 dimensions d'espace : r, θ et φ mais qui permet bien de calculer la métrique d'une hypersurface (hypersphère, volume euclidien ou espace hyperbolique selon le signe de k) de rayon variable.

ds² = a²(t) [dr²/(1 − kr²) + r²(dθ² + sin²θdφ²)]

Pour la métrique d'espace-temps, on ajoute simplement la coordonnée temporelle devant avec le changement de signe, comme en relativité restreinte. Pas plus compliqué que ça.

(cτ)² = (cdt)² - ds²


Je sais que l'anglais n'est pas ton fort, mais depuis le temps que tu t'y intéresse il serait peut être temps que tu suives un vrai cours la dessus...

Celui de Guth au MIT est remarquablement clair et didactique. Ci dessous tu as accès à la vidéo et au transcript que tu peux traduire avec Google trad pour te faciliter la compréhension.
https://ocw.mit.edu/courses/physics/...sed-universes/

Le pdf de la lecture 12 d'où je tire la démo.

[A voir en vidéo sur Futura]

[spark1]

Bonjour Fabio :

Je pense que ta parfaitement compris tout cela
un objet astronomique fini et sans bord comme les planetes, etoiles etc, ne peuvent l'etre que parcequ'ils baignent dans l'espace

L'univers lui est different puisqu'il ne baigne pas dans quelque chose puisqu'il est tout, il ne peut y avoir un exterieur a lui,
De ce fait puisqu'il ne peut avoir de frontiere, car seul quelque chose de fini peut l'etre, il est forcement infini

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

L'univers lui est different puisqu'il ne baigne pas dans quelque chose puisqu'il est tout, il ne peut y avoir un exterieur a lui,
De ce fait puisqu'il ne peut avoir de frontiere, car seul quelque chose de fini peut l'etre, il est forcement infini

Vous raisonnez de manière intuitive, ce qui est piégeux: un objet de taille finie peut parfaitement être sans bords. Pensez par exemple au jeux pacman où lorsque l'on rencontre un bord de l'écran on réapparaît du côté opposé.

Mathématiquement, il y a plein d'exemples de variétés finies et sans bords (à commencer par la sphère S2). Votre raisonnement ne permet donc pas de conclure quant au caractère fini ou non de l'Univers.

[Mailou75]

Salut,

Non, tu confond avec le facteur d'échelle qui est une fonction du temps, mais qui est un paramètre parfaitement spatial. (…)

Merci pour la démo je ne l'avais jamais vue.

Pas tout compris car je suis aussi nul en maths qu'en anglais et j'ai été largué, conceptuellement, au changement de variable... Je note juste, si j'ai bien compris, qu'on vient, à la fin, greffer une variable temps comme si la surface d'une sphère (variable car expansion) était assimilable a un plan chez Minkowski. Simplement je ne comprends pas comment le facteur d'échelle "a" qui va faire varier toutes les dimensions, va aussi influer sur le temps alors que, en cosmo, on arrive à la conclusion que l'espace varie "aléatoirement" en fonction d'un temps qui, lui, reste régulier.

Une chose est sure, on ne parle pas de la même chose : Perso je suis en espace-temps de A à Z. Je comprends mieux pourquoi le modèle dont je parle n'est pas étudié… quelque part ça me rassure, l'univers et peut être hypersphérique, en fait.

Désolé je suis mal luné aujourd'hui, y'a qu'à voir mes posts

[Gilgamesh]

J'ai réécris le développement pour mieux amener le changement de variable (et j'ai corrigé la définition de k), si c'est pas plus clair je peux pas faire grand chose de plus.

Pour ce qui est du rapport entre le facteur d'échelle et le temps le cours offre une approche intéressante en introduisant la notion d'expansion en partant d'un univers newtonien. Ensuite on introduit la courbure (à partir du facteur d'échelle et de k qui représente l'énergie de l'univers dans le formalisme newtonien) et ensuite y'a juste à introduire la notion d'invariant de Lorentz ds² = (cdt)² - dr² et c'est terminé.

Il n'y a pas de terme croisés de temps et d'espace (dtdr, dtdθ, ou dtdφ) parce que ça romprait l'isotropie.

On imagine 2 voyageurs réuni au même point de coordonnée r=0 et qui partent dans 2 directions opposées, l'un en direction +r et l'autre en direction -r à la même vitesse v = dr/dt. Ils conviennent qu'au temps cosmique t décidé à l'avance ils s'arrêtent et regardent leur montre. Ce qu'ils vont lire chacun c'est leur temps propre et le temps propre par définition c'est ds². Imaginons que ds² contienne un terme en drdt. Dans le premier car dr = vt et pour le second dr = -vt. Les drdt sera donc différents et donc le ds² également, et donc l'heure qu'ils liront à leur montre. Autrement dit la dilatation temporelle dans un univers dont la métrique comprend des drdt dépendra de la direction empruntée, ce qui romp l'isotropie. On ne peut autorisé que des dr² (insensible au signe du dr).

[spark1]

Paraboloide_Hyperbolique :

Oui tu a tout a fait raison, un objet de taille finie peut parfaitement être sans bords, comme les planetes par exemple,

Néanmoins, pacman est un jeu video, basé sur l'imagination debordante (comme tout jeu video) de son concepteur

[pm42]

Néanmoins, pacman est un jeu video, basé sur l'imagination debordante (comme tout jeu video) de son concepteur

C'est aussi en version 3D une des possibilités pour la forme de l'Univers : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace...ue_de_Poincaré

[spark1]

pm42 :

Oui c'est une theorie de + de la part de jean pierre luminet, apres que l'univers ne serait qu'une illusion d'optique, qu'il serait une immense galerie des glaces, il stipule que l'univers serait un Espace dodécaédrique de Poincaré
C'est très bien ses theories, mais s'est pas basé sur du concret mais plutôt sur l'imagination

[pm42]

mais plutôt sur l'imagination

L'imagination est plus importante que le savoir : Albert Einstein.
Les théories ne sont pas construites sur de concret, cela sert juste à les valider.

[spark1]

pm42 : Justement rien ne valide la theorie de luminet

[pm42]

pm42 : Justement rien ne valide la theorie de luminet

Sur ce sujet, on n'a rien validé à part des bornes inférieures donc l'objection n'est pas spécialement forte.

[Mailou75]

J'ai réécris le développement pour mieux amener le changement de variable (et j'ai corrigé la définition de k), si c'est pas plus clair je peux pas faire grand chose de plus.

Merci pour la révision du calcul. Je ne comprends pas vraiment le détail, j'essaye de comprendre globalement ce qui est fait : partir de 4D "bouclées" pour enlever une dimension d'espace puis rajouter une dimension de temps non bouclée… partir d'un formalisme Newtonnien et arriver à définir ds (intervalle d'espace temps relativiste) quand même et ce avant d'ajouter le temps… obtenir une formule où on trouve un t et un T (alors qu'il n'y aurait qu'un seul temps cosmo)... tout ça pour finir par mesurer k=0 cad une hypersphère "plate"... arf j'aimerais pouvoir t'exprimer aussi rigoureusement mon désaccord mais je n'en ai pas les moyens.

Comme déjà dit, ce n'est absolument pas à ceci que je pensais, ma version est éminemment plus simple, totalement relativiste, mais absolument hors charte. Donc plutôt que polluer avec mes doutes personnels, je vais te laisser répondre a Fabio qui a les moyens de comprendre tes réponses et lui permettre d'intervenir sur son propre fil, vu qu'il n'a toujours pas répondu…

Encore merci

[Mailou75]

Humm... en fait ds est un intervalle d’espace seul et peut être que «faire disparaitre la 4eme dimension» signifie traiter d’une ligne d’univers inertielle, mais tout ça reste obscur. Peut être un jour je m’y mettrais.. mais c’est pas pour demain