Vitesse radiale de la lumière sur la sphère de Schwarzschild

[bernarddo]

Suivant la métrique de Schwarzschild,

MdS.JPG

lorsque l'on fait ds =0, la quantité (dr/dt)^2, carré de la vitesse radiale de la lumière, (dans les coordonnées de Schwarzschild),

devient égale à c^2 *(1-Rs/r)^2.

Si on trace la courbe correspondante on obtient:

c radiale.JPG

On retrouve bien la vitesse de la lumière à l'infini, mais, quelle que soit l'hypothèse que l'on fasse sur ce qui est à l'intérieur de la sphère, (absence d'espace temps, (et donc de lumière), ou présence des deux), on constate que le simple fait d'adopter la forme classique de la métrique implique qu'aucune lumière ne peut franchir cette frontière dans un sens ou dans l'autre, et donc qu'elle ne peut être le siège d'aucun transfert d'énergie.

Ce qui est contraire au concept même de trou noir.

Quelle est donc l'explication de Futura à ce sujet ?
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[Deedee81]

Salut,

Quelle est donc l'explication de Futura à ce sujet ?

C'est mieux de donner l'explication de la relativité générale. Je laisse Monsieur Futura de côté : ce que tu as calculé est une vitesse coordonnée, pas la vitesse physique locale de la lumière (ces coordonnées ne collant avec les grandeurs physiques que pour r tendant vers l'infini, elles sont choisies pour ça).

[mach3]

D'abord, il faut souligner le fait qu'il n'y a pas d'évènements dont la coordonnée radiale est r_s pour laquelle la coordonnée t est définie (c'est la singularité de coordonnée), autrement dit atteindre un évènement dont la coordonnée radiale r vaut r_s et dont la coordonnée t est un réel fini est impossible car il n'existe pas de tels évènements. Toutes les vitesses radiales coordonnées (que ce soit de la lumière ou de tout autre corps) tendent vers 0 quand r tend vers r_s car aucun corps ne peut atteindre r=r_s pour une valeur finie de t.

Dans la carte r>r_s, les lignes d'univers radiales le long desquelles r évolue de façon strictement monotone sont représentées par des courbes dont la droite r=r_s est l'asymptote. Cependant, bien que leur représentation sur la carte s'étende à l'infini, la longueur de ces lignes d'univers (=la durée propre mesurée par un objet dont la ligne décrit le mouvement) entre r>r_s et r arbitrairement proche de r_s ne diverge pas, elle tend vers une valeur finie quand r tend vers r_s. Tout objet en chute (forcée ou non) mesurera une durée finie pour atteindre r=r_s alors que la coordonnée t divergera à l'infini.
Pour une ligne entrante, il y aura un après pour cet objet, mais en dehors de la carte : la ligne d'univers se poursuit hors de la carte. Vu que la ligne d'univers sort de la carte pour une valeur de t arbitrairement grande, il est exclu qu'une fois sortie elle y entre de nouveau (il faudrait qu'elle rentre pour une valeur de t plus grande qu'une valeur arbitrairement grande...), donc ce qui sort de la carte (et entre dans le trou noir), ne peut pas revenir. A l'inverse, ce qui entre dans la carte pour r arbitrairement proche de r_s le fait forcément pour une valeur de t arbitrairement grande mais négatives (*).
Bref, si quelque chose sort, ça ne peut pas être ce qui rentre, vu que ce qui sort n'est jamais entré et ce qui rentre ne ressort jamais.

La difficulté est que cette carte r>r_s n'est pas à même de montrer le passage de l'horizon, un peu comme une projection orthographique du globe centrée sur un pôle ( https://manifold.net/doc/radian/orth...projection.htm ) n'est pas à même de montrer le passage de l'équateur. Pour mieux comprendre, il faut utiliser d'autres cartes, comme celles de Painlevé, d'Eddington, ou même de Kruskal-Szekeres.
Dans la carte entrante de Painlevé, on constate par exemple que la vitesse coordonnée de la lumière est anisotrope, avec une vitesse entrante et une vitesse sortante. La vitesse coordonnée entrante est toujours négative (r diminue avec t_r qui augmente : la lumière va vers les faibles valeurs de r), alors que la vitesse sortante est positive pour r>r_s (r augmente avec t_r qui augmente : la lumière va vers les hautes valeurs de r), mais négative pour r<r_s et en particulier nulle pour r=r_s. Les vitesses coordonnées des corps étant forcément comprises entre les deux vitesses coordonnées entrantes et sortantes, si une ligne d'univers passe de r>r_s à r<r_s, elle ne pourra jamais retourner dans l'autre sens.

m@ch3

* : j'aurais pu dire arbitrairement petit, mais le risque est de comprendre "arbitrairement proche de zéro"...

[bernarddo]

Bonjour,

j'ai pris un peu de temps pour répondre à mach 3 car sa réponse méritait d'être décortiquée.

Le début est sans ambiguïté, (à la simple exception que l’on aimerait savoir ce qui sépare une vitesse radiale coordonnée de la même vitesse simplement radiale, alors qu’elles ont strictement la même expression mathématique dans la métrique) :

D'abord, il faut souligner le fait qu'il n'y a pas d'évènements dont la coordonnée radiale est r_s pour laquelle la coordonnée t est définie (c'est la singularité de coordonnée), autrement dit atteindre un évènement dont la coordonnée radiale r vaut r_s et dont la coordonnée t est un réel fini est impossible car il n'existe pas de tels évènements. Toutes les vitesses radiales coordonnées (que ce soit de la lumière ou de tout autre corps) tendent vers 0 quand r tend vers r_s car aucun corps ne peut atteindre r=r_s pour une valeur finie de t.

Donc, aucun évènement ne peut exister, (et on ne peut donc observer aucun passage de quoi que ce soit, dans quel sens que ce soit), sur la sphère spatiale de Schwarzschild (Rs), à aucun moment, (t), qui puisse faire l’objet d’une datation précise. Et il en accepte la raison, à la fois nécessaire et bien suffisante, donnée par la métrique, qui est que, à cette frontière, la composante radiale de la vitesse de tout corps, (et aussi de la lumière), est nulle.

- Pour tout un chacun, la chose est entendue : la sphère spatiale constitue une frontière infranchissable dans les deux sens, il n’existe aucune continuité d’espace temps de part et d’autre de la frontière

- Pour Schwarzschild, c’est la justification de la nécessité qu’il a éprouvée d’imposer sa condition de continuité.

La suite est digne de David Copperfield:

Après avoir confirmé que ces candidates entrantes ne peuvent atteindre Rs, (puisqu'il est pour elles une asymptote sur la carte), ce qui règlerait une fois de plus définitivement le problème,

Dans la carte r>r_s, les lignes d'univers radiales le long desquelles r évolue de façon strictement monotone sont représentées par des courbes dont la droite r=r_s est l'asymptote.

,la suite n’est qu’une impossible tentative d’explication d’existence de trajectoires entrantes, et qui affirme, au mépris de la logique la plus élémentaire, le contraire de tout ce qui précède,

le tout basé, (à ce que j’ai cru comprendre), sur la création d’une confusion entre longueurs et durées, longueurs effectivement finies de ces lignes d’univers radiales au voisinage de Rs, et trompeusement assimilée ici à leur durée propre

la longueur de ces lignes d'univers (=la durée propre mesurée par un objet dont la ligne décrit le mouvement)

qui, elle, s’étire à l’infini du fait de l’annulation de la vitesse à l’approche de Rs, les cartes mentionnées n’étant là que pour favoriser cette confusion en donnant une représentation infinie à ces longueurs finies.

[A voir en vidéo sur Futura]

[externo]

l’on aimerait savoir ce qui sépare une vitesse radiale coordonnée de la même vitesse simplement radiale

Il y a la vitesse d'un rayon mesuré depuis l'infini et la vitesse de ce même rayon mesuré localement. Localement la lumière se déplace toujours à c, elle ne tend pas vers 0 si on se rapproche de l'horizon, pas plus que le temps ne semble ralentir pour le chuteur.

A l'intérieur de l'horizon le temps va à l'envers par rapport au temps de l'infini, mais pour le chuteur rien ne se passe, il suit sa ligne d'univers même si celle-ci suppose qu'il remonte le temps par rapport à un observateur à l'infini. Mais depuis l'infini on ne peut pas le voir, on voit simplement que le temps se gèle.

Si on se trouve au pôle nord d'une sphère, on ne peut pas voir ce qui se passe sous l'équateur. Ca nous échappe géométriquement. C'est la même chose ici. Le temps est comme le rayon qui va du centre de la sphère au point considéré. Si le temps va vers le bas par rapport à notre rayon à nous, on ne voit pas le point.

[Archi3]

On est reparti dans un nième dialogue de sourds.

Si je puis me permettre, Mach3, tant que tu n'as pas identifié les erreurs épistémologiques dans la pensée de Bernarddo, lui ressortir un discours scientifiquement correct ne sert à rien, puisqu'il ne comprend pas les mots de la même façon que toi. Ca va encore tourner en rond pendant des pages.

[Archi3]

Le début est sans ambiguïté, (à la simple exception que l’on aimerait savoir ce qui sépare une vitesse radiale coordonnée de la même vitesse simplement radiale, alors qu’elles ont strictement la même expression mathématique dans la métrique) :

c'est un tres bel exemple de confusion et d'erreur epistémologique. Ce n'est pas parce que tu écris "dr/dt" et que c'est la même expression qu'une vitesse radiale, que ça représente une vitesse PHYSIQUE. Il faut justement tenir compte de la métrique. Et c'est parce que la métrique devient singulière à l'horizon qu'on ne peut PAS interpréter ces dérivées comme des vitesses à l'horizon.

Par exemple si tu introduis les coordonnées polaires dans un plan, on les appelle en général r et theta, mais rien ne t'empêche d'appeler le rayon x et l'angle y. mais la vitesse n'est pas (dx/dt, dy/dt) , mais (dx/dt, x dy/dt). Et ceci parce que la métrique n'est pas (dx)^2 + (dy)^2 mais (dx)^2 + (xdy)^2. C'est précisément parce que la métrique n'est pas celle de la RR (sauf à l'infini) que tu ne peux PAS interpréter les notations habituelles comme "dr", "dt", ou "dr/dt" comme des "longueurs", des "temps" ou des "vitesses physiques" . Je pense que depuis le début c'est ce que tu ne comprends pas.

[Deedee81]

Salut,

les coordonnées polaires dans un plan

Exemple tout simple mais très bel exemple, très parlant. Je le ressortirai

[externo]

Je propose à Bernarddo et à tout le monde ce livre gratuit très complet qui a l'air vraiment très bien et qui répond à toutes les questions sur la RG. (Sauf ondes gravitationnelles)
Les phénomènes de la RG sont expliqués en détail. Il y a à la fois les calculs et la description intuitive.
http://bouteloup.pierre.free.fr/lica...e_generale.pdf
http://bouteloup.pierre.free.fr/
Je vais y étudier le gravitoélectromagnétisme...

[mach3]

à la simple exception que l’on aimerait savoir ce qui sépare une vitesse radiale coordonnée de la même vitesse simplement radiale, alors qu’elles ont strictement la même expression mathématique dans la métrique

Ben, non, justement, elles n'ont pas la même expression mathématique en relativité générale. Pour que ce soit le cas, il faudrait pour un observateur voisin de l'objet dont on évalue la vitesse que les variations de t et de r soient des durées propre et des distances propres. Or ce n'est pas le cas.
C'est explicitement écrit dans la métrique, pour un observateur statique à la coordonnée radiale :
- à un correspond une durée propre
- à un correspond une distance propre (approximation au premier ordre, on considère un suffisamment petit)
La vitesse radiale, pour un observateur statique à la coordonnée radiale , d'un objet passant à la coordonnée radiale est donc .
En l'occurence, pour cet observateur statique à la coordonnée radiale , la vitesse de la lumière est de 1 (on prend c=1), donc .
En conséquence, on a pour la "vitesse radiale coordonnée" de la lumière :

Une vitesse c'est le rapport entre une distance propre et une durée propre (mesurées par le même observateur situé sur place), alors qu'une vitesse coordonnée, c'est le rapport entre une variation de coordonnée spatiale ( distance) et une variation de coordonnée temporelle ( durée)

Donc, aucun évènement ne peut exister, (et on ne peut donc observer aucun passage de quoi que ce soit, dans quel sens que ce soit), sur la sphère spatiale de Schwarzschild (Rs), à aucun moment, (t), qui puisse faire l’objet d’une datation précise.

Oui, les évènements de la sphère de Schwarzschild n'ont pas de coordonnée t définie (c'est un peu comme le pôle nord qui n'a pas de longitude définie)

Et il en accepte la raison, à la fois nécessaire et bien suffisante, donnée par la métrique, qui est que, à cette frontière, la composante radiale de la vitesse de tout corps, (et aussi de la lumière), est nulle.

la composante radiale de la vitesse coordonnée est nulle.

- Pour tout un chacun, la chose est entendue : la sphère spatiale constitue une frontière infranchissable dans les deux sens, il n’existe aucune continuité d’espace temps de part et d’autre de la frontière

Il faut avant bien s'entendre sur le sens de "sphère spatiale". Si on parle de la sphère de Schwarzschild, les seules lignes d'univers qui la traversent proviennent de la région IV et aboutissent directement en région II. Aucune ligne d'univers provenant de la région I ne peut y aboutir (elle peuvent par contre passer successivement de IV à I puis à II, sans discontinuité), seule certaines lignes de genre espace de la région I passent par la sphère pour aboutir en région III (et cela sans discontinuité).

- Pour Schwarzschild, c’est la justification de la nécessité qu’il a éprouvée d’imposer sa condition de continuité.

Mais c'est ici de continuité dans la carte dont il est question. Il voulait une carte qui était R4 privé d'une ligne, et une carte doit forcément être continue (sinon c'est qu'on a plusieurs cartes...), donc en conséquence il déplace la discontinuité à la frontière de la carte. Cela a déjà été discuté en long en large et en travers et on ne reviendra pas dessus.

Après avoir confirmé que ces candidates entrantes ne peuvent atteindre Rs, (puisqu'il est pour elles une asymptote sur la carte), ce qui règlerait une fois de plus définitivement le problème,

Ben non, rien de tel n'a été confirmé. Pour faire un parallèle, dans une projection de Mercator, il semble que les méridiens ne peuvent atteindre les poles, situés à l'infini, mais pourtant on peut bien atteindre les pôles et sans parcourir une distance finie (et cette distance est donnée par la métrique de la sphère et cela même si elle est exprimée dans les coordonnées de Mercator qui sont longitude,tan(latitude)).
Ce n'est pas parce que la représentation d'une ligne d'univers est une courbe infinie que cette ligne d'univers est elle-même infinie et on peut aussi avoir l'inverse, une ligne d'univers infinie qui est représentée par une courbe finie. C'est la métrique qui permet de savoir si une telle ligne est finie ou infinie.
Un exemple qui illustre les deux cas : si on utilise tanh(t) comme coordonnée temporelle plutôt que t, les lignes d'univers sont toutes représentées par des courbes finie (sauf celle qui arrivent de ou partent vers un r arbitrairement grand), même celles d'objets qui restent éternellement à une même coordonnée radiale, alors que ce sont bien des lignes d'univers infinie. Dans ce cas de figure, les lignes d'univers entrantes sont représentées par des courbes finies qui sortent toutes de la carte en tanh(t)=1 et r=r_s.

la suite n’est qu’une impossible tentative d’explication d’existence de trajectoires entrantes, et qui affirme, au mépris de la logique la plus élémentaire, le contraire de tout ce qui précède,

le tout basé, (à ce que j’ai cru comprendre), sur la création d’une confusion entre longueurs et durées, longueurs effectivement finies de ces lignes d’univers radiales au voisinage de Rs, et trompeusement assimilée ici à leur durée propre

La métrique donne la durée propre d'un segment de ligne d'univers, c'est-à-dire ce que mesure effectivement une horloge le long de ce segment. C'est un principe de base en relativité générale. Si ce principe est refusé, il n'est pas utile de discuter (précisons que le refuser c'est être hors-charte pour théorie personnelle). Si ce principe n'est pas compris, alors il faut voir à quel niveau, et pour savoir à quel niveau, il aurait fallu, pour commencer, répondre au test proposé il y a un mois et demi :

https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6913438

https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6913664

A propos de ce test, l'absence de réponse à l'époque peut aisément s'interpréter par une absence de volonté de progresser sur le sujet et, donc, à une volonté d'imposer ses vues foireuses. Il ne tient qu'à l’intéressé de prouver le contraire, en répondant au test ici même par exemple, ce qui permettra peut-être d'identifier un point de blocage.

m@ch3

[Archi3]

Quand il mesure sa vitesse en marchant dans la rue, Bernarddo doit diviser la différence entre les numéros des maisons, par le temps mis pour le parcourir.

Et il doit croire que tout le monde fête le Nouvel An sur Terre à minuit donc en même temps

[ThM55]

Quand je tombe sur ce genre de question, je propose toujours d'étudier le chapitre 3 du livre de Chandrasekhar sur les trous noirs (The Mathematical Theory of Black Holes). Ce chapitre est consacré à la solution de Schwarzschild et c'est à mon avis la meilleure dérivation possible car elle attaque le problème d'emblée en évitant le piège des singularités de coordonnées.

L'idée est de définir ce qu'est une variété espace-temps à symétrie sphérique comme un produit cartésien S2 X U2, où S2 est la sphère à 2 dimensions et U2 une variété pseudo-riemanienne à 2 dimensions dans laquelle des coordonnées (u,v) sont choisies de telles sortes que les lignes u=Cte et v=Cte soient de genre nul. En appliquant une méthode définie dans le chapitre 2 du même livre, il définit alors la métrique la plus générale sur cet espace-temps.

Le point important est qu'à partir de cette métrique la solution des équations d'Einstein donne directement la solution en coordonnées de Kruskal! Ce court-circuit tue dans l'oeuf toutes les erreurs de raisonnement dans lesquelles on tombe quand on manipule légèrement les coordonnées de Schwarzschild, puisqu'il s'agit d'une solution mathématique rigoureuse des équations d'Einstein dans des coordonnées adaptées. Et pour la même raisons cela tue aussi dans l'oeuf tous les arguments fallacieux qui prétendent montrer que les coordonnées de Kruskal seraient illégitimes (je me souviens que des liens vers ce genre d'arguments erronés ont été publiés sur ce forum). Ensuite si on le souhaite on peut faire la transition vers les coordonnées de Schwarschild et on voit alors clairement que ces coordonnées ne sont applicables que pour une partie de l'espace-temps de Kruskal et donc où sont leurs limitations et pour quelles raisons.

Le seul inconvénient que je puisse voir est que cette approche est un peu plus longue et compliquée que la dérivation classique en coordonnées (r,t). Il utilise aussi le formalisme de Newman-Penrose, qui n'est pas des plus simples. D'ailleurs Chandra redérive aussi la solution dans les coordonnées de Schwarzschild par le calcul classique dans le but d'obtenir directement les composantes du tenseur de Riemann dans ces coordonnées. Mais c'est l'étude des géodésiques dans cet espace-temps qui élucide les questions troubles, et ce livre est aussi une excellente référence sur ce sujet.

[mach3]

Quand je tombe sur ce genre de question, je propose toujours d'étudier le chapitre 3 du livre de Chandrasekhar sur les trous noirs (The Mathematical Theory of Black Holes).

Existe-t-il une alternative en ligne et gratuite qui présente la même démarche que ce chapitre 3 ?

Perso, j'ai démontré une expression de la métrique qui unifie et généralise celles de Schwarzschild, Painlevé et Eddington, un travail sûrement déjà fait par d'autres bien sûr, mais je n'ai pas encore de bonnes pistes pour démontrer Kruskal de façon directe (je connais par contre une méthode indirecte, celle donnée dans le MTW, à partir de l'expression d'Eddington et de changements de variables adéquats).

m@ch3

[bernarddo]

Bonjour, et en réponse à mach3

Il faudra d’abord s’entendre sur le fait que si l’établissement de la métrique doit correspondre aux observations astronomiques prévues par la théorie de la relativité générale, une fois qu’elle a été établie et qu’elle a fait la preuve de son efficience, (et c’est le cas de la solution extérieure de Schwarzschild sur le périhélie de Mercure), nous sommes en présence d’une banale équation mathématique à 4 inconnues.

C’est aussi le cas ici dans sa forme simplifiée permise par la symétrie sphérique liée à l’unicité de la masse placée à l’origine du système de coordonnées sphériques adopté par Sch (symétrie qui autorise à laisser de côté 2 des dimensions spatiales, θ et φ, colatitude et longitude), et nous nous trouvons en présence d’une banale équation à 2 inconnues, r et t, correspondant respectivement à la coordonnée radiale et au temps, dont la représentation exacte est possible dans un plan.

Dans le cas encore plus particulier où nous considérons des intervalles de temps propre nuls, il faut également s’entendre sur le fait qu’on est en présence de lignes d’univers associées à la lumière.
Si nous sommes d’accord sur ces points (et je vous engage à faire toutes remarques qui les contrediraient), cela signifie que vos arguments sont hors sujet car :

A - On n’a pas plus besoin d’un observateur ici que dans un procès où tous les éléments matériels du crime sont connus et quantifiés, cet observateur ne pourrait qu’égarer les jurés hors d’une vérité dont tous les éléments sont connus.

B – On n’a nul besoin de cartes complexes comportant divers secteurs présentant entre eux des interfaces difficilement explicables, puisque la représentation exacte est possible sur une carte unique.

On se retrouve donc banalement avec une équation à 2 inconnues comportant une dérivée dr/dt représentant tout aussi banalement la vitesse radiale de la lumière, et dont l’évolution peut être tracée en fonction de la coordonnée radiale (c pris égal à 1), tracé qui présente deux particularités remarquables :

- Passage par 0 sur le rayon Rs (ou 2M suivant votre notation), de quelque côté que ce rayon soit abordé par la lumière.

- Vitesse radiale montant à l’infini au point origine.

Cela pose 2 incompatibilités avec la théorie classique :

1 - Alors que la théorie du trou noir admet qu’aucune lumière ne puisse s’échapper de la sphère en trajectoire sortante, ce qui est cohérent avec le passage par 0 à r = 2M de la lumière sortante sur le tracé, elle considère que cette lumière peut y pénétrer (ainsi que tout autre objet qui serait d’ailleurs violemment aspiré à l’intérieur), ce qui lui est clairement interdit par cette même courbe.

2- Encore plus grave, elle n’explique pas que, sur le tracé, la vitesse radiale devienne supraluminique à l’intérieur de la sphère, et s’envole même à l’infini à l’origine, ce qui n’a pas de sens sur le plan de la physique classique.

La seule solution à ce jour qui donne une solution ne souffrant pas de difficulté d’exposition et assise sur un concept de continuité est celle donnée par Schwarzschild qui démontre par cette exigence qu’il n’y a pas d’espace temps à l’intérieur de la sphère.

La solution de Schwarzschild est de plus en plein accord avec les constatations astronomiques, suivant lesquelles les concentrations de masse entraînent autour d’elles la formation de lentilles gravitationnelles convexes par courbure des rayons lumineux, qui ferait que la densité infinie de la masse ponctuelle entraînerait le même phénomène dans son voisinage immédiat, (< Rs), jusqu’à introduire une courbure limite qui y interdirait la présence de la lumière jusqu’à créer un « no espace temps land » .

[Archi3]

On se retrouve donc banalement avec une équation à 2 inconnues comportant une dérivée dr/dt représentant tout aussi banalement la vitesse radiale de la lumière

sauf que non parce que comme r n'est pas une vraie distance et t n'est pas un vrai temps, dr/dt n'est pas une vraie vitesse physique. Ca fait combien de fois qu'on te l'écrit ?

[Deedee81]

Bonjour,

Ca fait combien de fois qu'on te l'écrit ?

Je ferme.

Car : en effet, cela a déjà été dit plusieurs fois. Et les explications en long et en large ont été données sur la raison pour laquelle dr/dt n'est PAS la vitesse physique.

Deux possibilités :
- Ou Bernarddo ne lit pas les réponses
- Ou il ne comprend pas les explications

Dans les deux cas c'est plutôt incorrect et pour le deuxième cas il aurait mieux valu citer le passage mal compris en demandant un complément d'explication. Cela aurait été mieux que de lâcher une nouvelle tartine avec la MEME ERREUR. Information pour Bernarddo : répéter encore et encore les mêmes erreurs ne va pas en faire des vérités.

Puisque Bernarddo semble incapable autant de corriger ses erreurs que de discuter normalement comme le veux un forum : autant fermer. On n'avancera pas.

Merci,

[mach3]

Je me permets juste deux points, parce que j'avais commencé à rédiger avant que Deedee ne ferme :

nous nous trouvons en présence d’une banale équation à 2 inconnues, r et t, correspondant respectivement à la coordonnée radiale et au temps, dont la représentation exacte est possible dans un plan.

r est une coordonnée radiale, oui, mais n'est pas une distance, point qu'il va falloir admettre. t n'est pas le temps, c'est une coordonnée temporelle, pas un temps, idem il va falloir admettre ce point. Si r et t étaient une distance et un temps, la métrique serait en (et dr/dt serait alors une vitesse)
Les coordonnées r et t peuvent se représenter de façon "exacte" dans un plan, mais ce n'est pas le cas des distances et des durées : leur représentation exacte est impossible.
C'est comme sur un planisphère, on peut y représenter de façon exacte les longitudes et les latitudes, mais la représentation des distances est incorrecte.
C'est à ça que sert une métrique, à pouvoir obtenir des distances (et des durées) correctes malgré leurs représentations incorrectes.

On n’a pas plus besoin d’un observateur ici que dans un procès où tous les éléments matériels du crime sont connus et quantifiés, cet observateur ne pourrait qu’égarer les jurés hors d’une vérité dont tous les éléments sont connus.

Si, parce que la vitesse ne se définit que comme une relation entre deux lignes d'univers à leur point d'intersection. Et comme expliqué dans un message précédent, il n'y a pas de façon univoque de considérer une telle relation entre lignes d'univers ailleurs qu'à leur point d'intersection en espace-temps courbe.
Quand on dit que la vitesse de la lumière est invariante, c'est bien par rapport à un observateur local, c'est l'intersection entre la ligne d'univers de la lumière et la ligne d'univers de l'observateur local qui compte.
En espace-temps courbe quand on mesure la vitesse de quelque chose qui est loin, il y a différents effets qui jouent et qui peuvent varier suivant la façon de mesurer cette vitesse, et obtient quelque chose de différent d'un observateur local même si celui-ci est réputé immobile par rapport à nous.

m@ch3