Quid des géodésiques de type espace en relativité générale (RG)?

[ordage]

Bonjour

C'est sans doute parce qu'on se demande à quoi elles peuvent servir et comment leur donner une interprétation physique que cette classe de géodésiques est peu étudiée en RG.
On en parle à propos des trous de ver (connectant les régions I et IV en métrique de Kruskal) dans les TN statiques, puisque les lignes d'univers les traversant sont de type espace, ce qui nous renseigne sur la structure, pas évidente, de cet espace-temps .

https://preposterousuniverse.com/wp-...otes-seven.pdf, (p. 188-190)


Pour calculer les géodésiques de type espace dans un TN, en métrique de Schwarzschild par exemple, En suivant:
https://preposterousuniverse.com/wp-...otes-seven.pdf ( particulièrement p. 173-179)

qui utilise la méthode générale, avec les constantes du mouvement (énergie = E, moment angulaire = L, qui sont conservés sur une géodésique, car la métrique ne dépend ni de t ni de phi).
La forme obtenue en (7.48) P.174 est pratique pour déterminer les géodésiques circulaires.

On connait le résultat correspondant aux racines d'une équation du second degré, paires de géodésiques, pour une valeur du moment angulaire, une stable et une instable, et pas de solution pour r < 3 GM) pour les géodésiques circulaires de type temps et 1 seule géodésique instable nulle pour r = 3GM,où l'invariant métrique est spécifié de type temps ou nuL L'énergie associée est positive.

Pour les géodésiques de type espace il faut poser que l'invariant métrique est de type espace. Concernant les constantes du mouvement elles sont de même "type" mais adaptées pour le paramètre affine (appelons e et l l'énergie et le moment angulaire "spatial").

Il y a débat sur l'adaptation.

Si on considère que l est réel on obtient des géodésiques circulaires de type espace entre r = 2 GM et r = 3 GM et dans ce cas l'énergie est "imaginaire" ( E² < 0).

La question est: doit-on considérer le moment angulaire "spatial" l réel , ou imaginaire auquel cas on obtient une autre solution. J'ai des doutes à ce niveau.

Aide bienvenue.

Cordialement
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[ordage]

Bonjour

C'est sans doute parce qu'on se demande à quoi elles peuvent servir et comment leur donner une interprétation physique que cette classe de géodésiques est peu étudiée en RG.
On en parle à propos des trous de ver (connectant les régions I et IV en métrique de Kruskal) dans les TN statiques, puisque les lignes d'univers les traversant sont de type espace, ce qui nous renseigne sur la structure, pas évidente, de cet espace-temps .

https://preposterousuniverse.com/wp-...otes-seven.pdf, (p. 188-190)


Pour calculer les géodésiques de type espace dans un TN, en métrique de Schwarzschild par exemple, En suivant:
https://preposterousuniverse.com/wp-...otes-seven.pdf ( particulièrement p. 173-179)

qui utilise la méthode générale, avec les constantes du mouvement (énergie = E, moment angulaire = L, qui sont conservés sur une géodésique, car la métrique ne dépend ni de t ni de phi).
La forme obtenue en (7.48) P.174 est pratique pour déterminer les géodésiques circulaires.

On connait le résultat correspondant aux racines d'une équation du second degré, paires de géodésiques, pour une valeur du moment angulaire, une stable et une instable, et pas de solution pour r < 3 GM) pour les géodésiques circulaires de type temps et 1 seule géodésique instable nulle pour r = 3GM,où l'invariant métrique est spécifié de type temps ou nuL L'énergie associée est positive.

Pour les géodésiques de type espace il faut poser que l'invariant métrique est de type espace. Concernant les constantes du mouvement elles sont de même "type" mais adaptées pour le paramètre affine (appelons e et l l'énergie et le moment angulaire "spatial").

Il y a débat sur l'adaptation.

Si on considère que l est réel on obtient des géodésiques circulaires de type espace entre r = 0 et r = 3 GM .

Cordialement

Modifications du post précédent et compléments.

Points clés extrait du document cité.
Constantes du mouvement
1- Conservation de l’énergie :

2- Conservation de moment angulaire :

3- Invariant métrique :

L'invariant métrique vaut:
1 pour les intervalles d'espace-temps de type temps
0 pour les intervalles d'espace-temps de type nul (lumière)
-1 pour les intervalles d'espace-temps de type espace
Equation « géodésique » sous forme « hamiltonienne »



Qu’on écrit :



On reconnait une « forme Hamiltonienne » avec une énergie totale E²/2, somme de l’énergie cinétique (premier terme du membre de droite) et une énergie potentielle V(r)



Pour déterminer les orbites circulaires de rayon rc on cherche les extrema du potentiel, pour cela on prend sa dérivée par rapport à r, ce qui donne :



Equation du second degré qu’il est simple de résoudre pour les différents types d’espace-temps. Dans la référence citée c’est fait pour :



Cas des géodésiques de type temps et de type nul (voir les résultats dans la référence)

Pour , l’équation est



Dont les solutions sont :



Une racine est positive:

2GM < rc <3 GM pour L > 1 et 0< rc <2 GM pour pour L < 1

La racine négative donne une solution où : 0 > rc > -∞.

Si on l’interprète comme une solution dans « l’anti-univers » (le trou blanc), où r serait négatif, ce qui a un sens dans la métrique de Painlevé, par exemple, (mais pas dans celle de Schwarzschild), alors ce n’est pas incohérent puisqu’on sait que la phénoménologie décrite par les mathématiques est « répulsive » dans le trou blanc.

Cela ne préjuge en rien du caractère physique de cette solution.

Cordialement