visibilité des régions dont la vitesse de récession a toujours été > c

[pachacamac]

Oui mais tu dis au départ que cet exercice est mathématiquement plus simple et à la fin tu dis que tu es même pas sur qu'il y a une solution analytique mais si oui elle est compliquée..

Aussi je sais pas vraiment écrire en LaTex

Dans la formule H^2 est équivalent à (devrait en toute rigueur s'écrire (H(t))^2 et a^2 a(t) 2 ) non ?
Dans ce cas si je répond que H(t) est égale à la racine carré ( ou à la puissane1/2) du membre de droite je suis à côté de la plaque ?


Pourrais tu récrire la formule avec une lettre pour la constante 8 pi G/3 devant ( rho)m ? et éliminer k puisqu'il vaut moins (en changeant le signe de la fraction devant laquelle il se trouve ?

Merci
-----

[yves95210]

Oui mais tu dis au départ que cet exercice est mathématiquement plus simple et à la fin tu dis que tu es même pas sur qu'il y a une solution analytique mais si oui elle est compliquée..

C'est la solution de l'équation avec les 2 termes (en rho et en k) qui est compliquée (d'ailleurs je pense que j'ai dit une bêtise, et qu'elle n'a pas de solution analytique). Mais l'équation que je te proposais de résoudre au départ est celle avec un seul terme (H²=kc²/a²).

Aussi je sais pas vraiment écrire en LaTex

En l'occurrence ce n'est pas indispensable. Mais tu devrais t'y mettre, ce n'est pas très compliqué, et si tu veux parler équations sur le forum (que ce soit en maths ou en astro*), c'est quand-même plus pratique.

Dans la formule H^2 est équivalent à (devrait en toute rigueur s'écrire (H(t))^2 et a^2 a(t) 2 ) non ?

Oui, bien sûr, sans oublier rho(t). Désolé, j'ai pris des habitudes de physicien et oublié mes habitudes de matheux (d'il y a plus de 40 ans)...

Dans ce cas si je répond que H(t) est égale à la racine carré ( ou à la puissane1/2) du membre de droite je suis à côté de la plaque ?

Tu as évidemment raison...

Pourrais tu récrire la formule avec une lettre pour la constante 8 pi G/3 devant ( rho)m ? et éliminer k puisqu'il vaut moins (en changeant le signe de la fraction devant laquelle il se trouve ?

Pas besoin pour l'équation que je te proposais de résoudre, et que je donnais à la fin du message : H²(t) = c²/a²(t)

[pachacamac]

On a :
1) H(t) = c/a(t)
2 ) a(t) = c/H(t)

Après je suppose que tu veux que je trouve H(t) = fonction du temps seulement et pas aussi fonction de a(t)
idem pour a(t)

Il faudrait que je remplace dans 1) a(t) par sa valeur en f(t) seulement et dans 2) H(t) par sa valeur en f(t) seulement mais justement c'est ce qu'on cherche à trouver donc j'arrive à une impasse

( sauf si je considérai qu'on est aussi dans un espace-temps spatialement homogène et isotrope, empli de "poussière" (pression du rayonnement nulle), de sections spatiales "plates" et avec constante cosmologique nulle car tu m'a donné la solution.)
- le taux d'expansion est H(t) = 2/3 t-1
- le facteur d'échelle est a(t) = a0 (t/t0)2/3

Je sèche et j'abandonne quitte a avoir 0/10 en calcul cosmologique par contre je serai intéressé par la solution.
Pour compenser ma mauvaise note je m'autoattribue un 10/10 en compréhension du problème de la fourmi sur l'élastique

Pour le LaTex je te répondrai ultérieurement. Je vais essayer de retrouver auparavant un de mes rares essais que j'avais fais il y a plus de 5 ans sur un FLOT/MOOC de FUN " Des particules aux étoiles " -U. Paris Saclay ( dans lequel j'avais reçu une mention particulière de l'organisateur malgré mon pauvre niveau en math :

"Nous avons été impressionné par votre ténacité et vos nombreuses questions pertinentes sur le forum. Merci à tous. A ce sujet, mention particulière à Gérard (moi ) et Damien" qui ont grandement animé ce forum ! Avez-vous pensé à une carrière de chercheur ?"

[yves95210]

Je sèche et j'abandonne quitte a avoir 0/10 en calcul cosmologique par contre je serai intéressé par la solution.

As-tu pensé à remplacer H par son expression en fonction de a : H=(da/dt)/a ?

[pachacamac]

Bon j'avance pour le LaTex





Mais c'est plutôt à base de recopiage car je connais pas vraiment la syntaxe élémentaire.
Pour des formules compliquer si je veux en parler j'utilise plutôt des images.
Et il est très rare que je discute des calculs eux même, vu que je suis incapable de vraiment les comprendre donc je me contente de lire et souvent de survoler les calculs fais par les pros et les experts.


Aussi dans les calculs notamment en mécanique quantique, j'avais remarqué un truc étonnant Par exemple dans le livre de Franck Laloé, Tannoudji et Dieu, très souvent ils se lancent dans des calculs très compliqués de plus d'une page et à la fin, bing comme par enchantement il y a pleins de simplications et le résultat apparait sous une forme simple.

[pachacamac]

H(t) = c/a(t)

J'avais pensé à remplacer H par a/a0 mais ç'est une impasse (me semble t'il )

donc puisque H = a'/a

on a

H(t) = a'/a = c/a

d'où a' = c

et en intégrant par rapport à t on obtient

a(t) = ct

Correct ?


Puisque a(t) = ct

H(t) = c/a(t) = c/ct = 1/t

Correct ?


Merci

[pachacamac]

Rem : post sur le Latex sur Fun " Des particules aux étoiles => ici (accessible uniquement aux anciens participants de ce FLOT/MOOC )

[mach3]

Concernant la syntaxe du LaTeX sur le forum, il y a un fil dédié : https://forums.futura-sciences.com/f...e-demploi.html

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

Quand je fais du latex, neuf fois sur dix, je fais un copier coller et j'adapte

Désolé pour le petit hs.

[yves95210]

H(t) = c/a(t)

J'avais pensé à remplacer H par a/a0 mais ç'est une impasse (me semble t'il )

Evidemment, puisque c'est faux.

donc puisque H = a'/a

on a

H(t) = a'/a = c/a

d'où a' = c

et en intégrant par rapport à t on obtient

a(t) = ct

Correct ?


Puisque a(t) = ct

H(t) = c/a(t) = c/ct = 1/t

Correct ?

Bien sûr.
A un détail près : tu ne t'es pas posé la question de la valeur de la constante d'intégration, puisque, de manière générale, lorsque les dérivées de deux fonctions sont identiques, ces deux fonctions ne sont identiques qu'à une constante près. Implicitement, en écrivant a(t)=ct, tu fais l'hypothèse que a(0)=0.

[pachacamac]

Let see pour la constante d'intégration :

= a(t) - a0 = a(t) -1 = ct

donc a(t) = ct +1 (si c'est correct ça change pas grand chose )

Note : avec Latex quand on est pas habitué ça fait souvent quelques bavures dans l'écriture

Ce qui me gène dans a(t) = ct c'est que croyais savoir que le facteur d'echelle etait un nombre sans unité hors ici il a les dimensions d'une distance...

Si H(t) = 1/t cela veut dire que dans ce modèle en temps très grand l'expansion s’arrête (H -> 0 )

aussi pareil pour les unités de H , il me semble que l'équation aux dimensions est correcte mais des Mpc/s et par unité de distance me semble différent de l'inverse d'un temps.

[yves95210]

Let see pour la constante d'intégration :

= a(t) - a0 = a(t) -1 = ct

donc a(t) = ct +1 (si c'est correct ça change pas grand chose )

Pas tout à fait... Si tu intègres le membre de gauche de l'équation entre t₀ et t, il faut faire de même pour le membre de droite :

Donc

Ce n'est que si tu supposes que le modèle (avec densité de matière nulle et courbure spatiale négative) est correct depuis t=0 que ça donne a(t)=ct.

En revanche, si on part d'un modèle plus "réaliste", avec Ω_m=0,2 et Ω_k=0,8 (comme certains l'envisageaient dans les années 1980-90), ce n'est que dans le futur (lointain) que le terme densité de matière deviendra négligeable devant le terme de courbure, et ce n'est donc qu'à partir d'une date t_i future (et non à partir de t₀) qu'on peut utiliser la solution ci-dessus par approximation.

Note : avec Latex quand on est pas habitué ça fait souvent quelques bavures dans l'écriture

Ouaip. Je déteste écrire en TeX directement sur le forum. Mais avec un bon éditeur LaTeX ça va beaucoup mieux...

Et, au fait, tu n'as pas utilisé le bouton qui génère directement les balises TEX et /TEX (je vois que ces balises sont en minuscules dans ton message). Faut dire que si ton navigateur (comme le mien) n'affiche pas l'icône de ce bouton, faut encore savoir où il se trouve... C'est l'avant-dernier de la dernière ligne de boutons au-dessus de la fenêtre de saisie du message (tu vois apparaître "Ajouter la balise TEX" quand tu passes la souris dessus)

Ce qui me gène dans a(t) = ct c'est que croyais savoir que le facteur d'echelle etait un nombre sans unité hors ici il a les dimensions d'une distance...

Au contraire, selon l'écriture usuelle(*) de la métrique FLRW, ds²=-c²t²+a²(t)[dr²/(1-kr²)+r²dΩ²] avec k=-1, 0 ou 1, ce n'est que lorsque la courbure spatiale est nulle qu'on peut faire arbitrairement le choix de donner la dimension d'une longueur à la coordonnée r ou au facteur d'échelle.
Dans le cas général (avec courbure) r est obligatoirement sans unité, à cause du terme (1-kr²) et a(t) a obligatoirement la dimension d'une longueur.
Ce que tu peux voir aussi dans l'équation de Friedmann, où le terme ka²/c² doit avoir la même dimension que H², donc l'inverse du carré d'un temps.

(*) Attention, ce n'est pas la seule - et c'est parfois source de malentendu, en particulier au sujet de cette histoire de dimensionnement du facteur d'échelle...

Si H(t) = 1/t cela veut dire que dans ce modèle en temps très grand l'expansion s’arrête (H -> 0)

Attention, H tend vers 0 ne veut pas dire que l'expansion s'arrête (que les distances entre objets comobiles cessent de grandir) puisque a(t)=ct.

aussi pareil pour les unités de H , il me semble que l'équation aux dimensions est correcte mais des Mpc/s et par unité de distance me semble différent de l'inverse d'un temps.

H est une vitesse divisée par une distance (et est habituellement exprimé en (km/s)/Mpc). C'est bien homogène à l'inverse d'un temps.

[yves95210]

En revanche, si on part d'un modèle plus "réaliste", avec Ω_m=0,2 et Ω_k=0,8 (comme certains l'envisageaient dans les années 1980-90), ce n'est que dans le futur (lointain) que le terme densité de matière deviendra négligeable devant le terme de courbure, et ce n'est donc qu'à partir d'une date t_i future (et non à partir de t₀) qu'on peut utiliser la solution ci-dessus par approximation.

De la même façon que, dans le modèle LambdaCDM, on dit que la croissance du facteur d'échelle deviendra exponentielle, ce qui ne sera vrai que lorsque la densité d'énergie de la matière sera devenue négligeable devant la densité d'"énergie sombre" (constante).
Mais cela interviendra beaucoup plus vite dans ce modèle que dans le modèle ci-dessus, puisque le rapport Ω_m/Ω_Λ diminue beaucoup plus vite (en a^-3) que le rapport Ω_m/Ω_k (en a^-1).

[pachacamac]

Merci.

Si a(t) = ct pour t très grand a(t) va être immense...

Pour H(t) j'ai bien vu que l’équation aux dimensions de H était homogène mais autant des km/s)/Mpc est parlant autant quand c'est exprimé seulement avec l'inverse d' un temps cela me trouble et j'ai du mal à y voir un accroissement par unité de distance ou un taux d'accroissement

Et comment fais tu donc pour avoir accès aux balises LaTex que j'ai utilisé ? ( je suppose que tu as donc aussi accès au code et si c'est le cas ça peut être pratique )

[yves95210]

Et comment fais tu donc pour avoir accès aux balises LaTex que j'ai utilisé ? ( je suppose que tu as donc aussi accès au code et si c'est le cas ça peut être pratique )

En faisant "répondre avec citation".

[yves95210]

Pour H(t) j'ai bien vu que l’équation aux dimensions de H était homogène mais autant des (km/s)/Mpc est parlant autant quand c'est exprimé seulement avec l'inverse d' un temps cela me trouble et j'ai du mal à y voir un accroissement par unité de distance ou un taux d'accroissement

C'est bien pour ça qu'on exprime habituellement H en (km/s)/Mpc (et que je préfère cette notation à km.s^-1.Mpc^-1)...

Mais pour un taux d'accroissement en fonction du temps, quelle que soit la grandeur considérée, l'unité est bien l'inverse d'un temps ! (la dérivée par rapport au temps d'une grandeur, divisée par cette grandeur)

Et pour ne pas se mélanger les pinceaux entre les km, les années-lumière et les parsecs (et pourquoi pas les ua...), il vaut mieux exprimer H en secondes^-1 et toutes les distances en mètres... Surtout que, quand il s'agit de faire des calculs, c'est dans ces unités que sont exprimées les constantes dont on connaît les valeurs "par cœur", comme c ou G.

[yves95210]

Si a(t) = ct pour t très grand a(t) va être immense...

Bon, enfin, on a le temps, ou on l'aurait si ce modèle représentait notre univers.

On l'a déjà un peu moins avec le modèle LambdaCDM (i.e. si l'accélération de l'expansion observée est bien due à une "énergie sombre" de densité constante, ou à une constante cosmologique).

Mais il ne faut pas oublier que les distances entre galaxies (ou amas) éloignées sont déjà 1000 fois plus grandes qu'entre les fluctuations de densité du CMB dont elles sont issues, ou plus de 100 fois plus grandes qu'à l'époque où les premières galaxies se sont formées, il y a un peu plus de 13 milliards d'années.

Alors que, même en faisant l'approximation que l'accroissement de ces distances est déjà "presque" exponentiel maintenant, le taux d'accroissement (le facteur de t dans l'exponentielle) est de l'ordre de 2x10^-18 s^-1, donc il faudra une durée ~5 fois plus grande que l'âge actuel de l'univers (13,8 milliards d'années ~ 4,3x10¹⁷s) pour que les distances soient multipliées par e (~2,7).

[pachacamac]

Merci de ces précisions. Il y a de quoi cogiter

" le taux d'accroissement (le facteur de t dans l'exponentielle )
de quelle exponentielle parles tu ?

> "répondre avec citation".
J'ai beau chercher je ne trouve aucune option pour " répondre avec citation"

[yves95210]

Merci de ces précisions. Il y a de quoi cogiter

" le taux d'accroissement (le facteur de t dans l'exponentielle )
de quelle exponentielle parles tu ?

De celle que tu vas trouver pour a(t) si tu essaies de résoudre l'équation de Friedmann pour un espace-temps vide de matière, de sections spatiales plates, et avec constante cosmologique non nulle.

> "répondre avec citation".
J'ai beau chercher je ne trouve aucune option pour " répondre avec citation"

Dans la liste des messages d'une discussion, c'est une des options pour répondre (boutons en-dessous de chaque message).

[mach3]

Dans la liste des messages d'une discussion, c'est une des options pour répondre (boutons en-dessous de chaque message).

Pachacamac utilise peut-être (surement malgré lui) l'interface "moderne", celle qui est moche, où il manque plein de fonctions et qui est imposée par défaut aux nouveaux membres. Il y a un fil quelque part qui explique comment on change, je poste le lien quand je le retrouve.

m@ch3

[pachacamac]

Okay. merci mach3


sous chaque message je n'ai que ce bouton (le+ renvoie à réponse rapide mais est identique à Répondre

[mach3]

Voir ici : https://forums.futura-sciences.com/v...ml#post6362610

m@ch3

[pachacamac]

Je suis passé dans l'ancienne version. Merci c'est top pour copier du latex

[pachacamac]

> "De celle que tu vas trouver pour a(t) si tu essaies de résoudre l'équation de Friedmann pour un espace-temps vide de matière, de sections spatiales plates, et avec constante cosmologique non nulle."

Je pense pas avoir cette équation dans ma collection

Si j'ai bien compris cela correspond à notre notre univers si on rajoute la poussière.

[yves95210]

> "De celle que tu vas trouver pour a(t) si tu essaies de résoudre l'équation de Friedmann pour un espace-temps vide de matière, de sections spatiales plates, et avec constante cosmologique non nulle."

Je pense pas avoir cette équation dans ma collection

Si j'ai bien compris cela correspond à notre notre univers si on rajoute la poussière.

Oui, selon le modèle LambdaCDM, qui colle pas trop mal aux observations (bien qu'avec quelques tensions). Mais le propre de la poussière est de se diluer lorsque l'espace s'expand, alors que Lambda est constante. C'est déjà le terme en Lambda qui domine dans l'équation de Friedmann aujourd'hui, et le terme de densité de matière deviendra négligeable dans quelques dizaines de milliards d'années. En bonne approximation, l'équation de Friedmann se réduira alors à

Le taux d'expansion sera donc constant, et tu devrais pouvoir résoudre l'équation pour trouver l'expression de a(t), en remplaçant H par son expression en fonction de a :

Je te laisse volontairement le soin de trouver la solution... ça fait appel à des notions qu'on voyait en terminale (B, C, D ou E) à notre époque.

[pachacamac]

Voyons voir..


En remplaçant H par son expression en fonction de a :

On a :

H =

Le second membre de l'équation étant constant on la notera K , et on notera a' = da/dt


Donc



=> log (a) = k (t-to)

et donc


a(t) = exp k (t-t0)
(CQFD)

Correct ?


Aussi j'ai deux autres petites questions :


Tu as écris :

Dans le cas général (avec courbure) r est obligatoirement sans unité, à cause du terme (1-kr2) et a(t) a obligatoirement la dimension d'une longueur.

Soit a(t) à la dimension d'une longueur mais c'est la longueur de quoi ?

Aussi en révisant la loi de Hubble- Lemaître sur wikipédia j'ai lu : "depuis quelques milliards d'années, le facteur d'échelle d augmente plus vite que H diminue, donc il y a accélération de l'expansion"

Peut t'on en déduire que pour qu'il y ait expansion il faut que :

da(t)/dH(t) > 0

=> a(t) > H(t)
ou en écriture simplifiée : a > H

C'est correct ?

Merci

[yves95210]

=> log (a) = k (t-to)

et donc


a(t) = exp k (t-t0)
(CQFD)

Correct ?

Oui, si tu as posé implicitement a(t₀)=1. Perso je préfère garder a₀.

Soit a(t) à la dimension d'une longueur mais c'est la longueur de quoi ?

Si courbure spatiale il y a, c'est le rayon de courbure (à un facteur constant près, de l'ordre de l'unité). Autant dire que ça peut être très grand, parce que l'univers ne paraît pas très courbe...

(la suite plus tard, là c'est l'heure de l'apéro)

[pachacamac]

la première intégrale donne en toute rigueur log a - loga0
j'ai du supposer que loga0 = log1 = 0 pour m'en sortir

[yves95210]

la première intégrale donne en toute rigueur log a - loga0
j'ai du supposer que loga0 = log1 = 0 pour m'en sortir

Mais log(a)-log(a₀) = log(a/a₀) ...

[pachacamac]

Okay.

Erreur dans le post #117 il faut remplacer expansion par accélération de l'expansion dans : "Peut t'on en déduire que pour qu'il y ait expansion"