visibilité des régions dont la vitesse de récession a toujours été > c

[Gilgamesh]

@ les dérivées et les intégrales oui, les équations différentielles aussi, mais pas les différentielles me semble t'il.

Différentielles et dérivées c'est la même chose.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rentielle
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[pachacamac]

Non! ( enfin je crois que non )
C'est ce que je pensais jusqu’à hier mais gg0 animateur mathématique sur le forum de math de futura m'a dit ( sur un post concernant le pb de la fourmi sur l'élastique )


- " Non, la dérivée de t+1 est 1. d(t+1) est la différentielle de t+1. Ne pas confondre."

- "La dérivée de ln(t+1) est 1/(t+1), et d(t+1)=dt."


- " La différentielle de u (la variable étant x) est le produit de la dérivée de u (fonction de x) par rapport à x et de dx (différentielle de u quand u=x) du = u' dx. C'est une notation qui a des interprétations dangereuses très utilisées par certains "non mathématiciens", en particulier en physique"


j'ai lu aussi que :

" la différentielle en un point est une application linéaire, alors que la dérivée en un point est un nombre."

Plus de détail sur le fil différentielle et dérivée par exemple post #13

Je suis incapable de trancher entre ce que tu dis avec le soutient de wikipédia et ce qui est dit sur futura math...pour l'instant mon choix balance vers ce que disent les mathématiciens...
Si tu veux tu peux en discuter avec gg0 sur le forum de math

Perso pour l'instant je jette l'éponge.

[Archi3]

C'est "pratiquement la même chose" dans la mesure où la différentielle df(x) c'est "juste" la dérivée multipliée par dx (ou dt ou du suivant le nom de la variable dont tu prends la fonction )

df = f'(x) dx

reste à savoir ce que c'est que ce "dx" . Intuitivement et historiquement, c'était pensé comme "un accroissement infinitésimal de la variable x" , à la limite tendant vers 0, donc une toute petite variation de x. Ce qui permet de retrouver la dérivée comme un quotient de deux accroissements, celui de f divisé par celui de x : f'(x) = df/dx . Par exemple la vitesse c'est dx/dt, du coup la distance parcourue pendant un "tout petit temps" dt, c'est dx = v dt ; dx et dt sont respectivement des petits accroissements de la distance, et du temps.

Mais bon "accroissement infinitésimal" c'est pas très rigoureux mathématiquement, et les matheux ont donné une structure formelle plus rigoureuse aux différentielles en les définissant par des applications linéaires : dx devient juste l'application identité (qui est la base des applications linéaires considérées comme un espace vectoriel) . du coup df devient l'application qui à x associe f'(x).x Cette définition permet d'étendre la notion de différentielle à des fonctions de plusieurs variables et à des espaces plus compliqués comme des variétés courbes. dx s'interprète alors comme le projecteur d'un vecteur tangent sur la coordonnée x . Mais franchement pour ce que tu pourras en faire la première définition suffit très bien, on peut continuer à la penser comme "un petit accroissement de la fonction f quand la variable augmente de dx" .

[yves95210]

Aussi tu parlais des expressions mathématiques et du comportement des intégrales nécessaires pour comprendre pourquoi l'expansion a d’abord décéléré puis s'est accéléré.
S'il suffit d'un peu de math je serai curieux de voir ça et ravi de plonger dans ces équations.

C'est bien pour ça que j'ai rappelé l'équation de Friedmann, dont on peut trouver des solutions analytiques simples lorsqu'un seul des paramètres (rho, k, Lambda) est non nul.
Or, dans le modèle d'espace-temps censé représenter notre univers, la courbure spatiale est nulle (ou en tout cas le terme de l'équation de Friedmann qui dépend de cette courbure est négligeable par rapport aux autres termes). Il ne reste donc que deux paramètres, rho et Lambda.

Aujourd'hui le rapport les termes en rho et en Lambda de l'équation est ~0,3/0,7. Mais Lambda étant constante et rho (la densité de matière) évoluant en a^-3 (où a est le facteur d'échelle), lorsque a était 1000 fois plus petit qu'aujourd'hui (à l'époque de l'émission du CMB), ou même 5 fois plus petit (il y a quelques milliards d'années), on constate que le terme den Lambda était négligeable. Autrement dit, dans les premiers milliards d'années de l'histoire de l'univers, en bonne approximation l'équation de Friedmann se réduit à

qu'on peut écrire (en notant la dérivée de par rapport au temps)
, où et sont les valeurs de la densité d'énergie de la matière et du facteur d'échelle à l'époque actuelle.
Je te laisse essayer de résoudre cette équation par tes propres moyens, pour trouver les expressions de et de en fonction de .

D'autre part, la densité d'énergie de la matière va continuer de diminuer, au point de finir par devenir négligeable par rapport à la densité d'énergie sombre (le terme en Lambda de l'équation). Dans un avenir lointain (des milliards d'années), l'équation de Friedmann se réduira donc à

Le taux d'expansion sera donc constant, et la croissance du facteur d'échelle (des distances entre objets comobiles) sera exponentielle.

[ArchoZaure]

Donc aucun modèle simple de R(t) n'est applicable, et aucun ne correspond à un élastique qui croitrait en progression arithmétique ou géométrique (sauf l'état asymptotique avec la constante cosmologique mais on n'y est pas encore vraiment).

En revanche le résultat qualitatif qui est qu'un photon allant "localement à c" peut rejoindre un objet distant même si sa vitesse de récession a toujours été > c reste valable et est similaire au moins qualitativement au problème de la fourmi sur l'élastique.

Donc ok.
Mais alors pour essayer de bien poser le problème.
Si on imagine un élastique qui s'étend avec accroissement constant ou exponentiel, qu'importe puisque si je comprends bien ce que vous dites c'est pareil.
Imaginons maintenant que la fourmi ne marche pas sur l'élastique mais à côté.
On est bien d'accord que dans ce cas la fourmi ne pourra jamais atteindre un point éloigné de cet élastique si la vitesse de la fourmi est inférieure à la vitesse de récession de ce point éloigné de l'élastique ?
Mais si la fourmi marche sur l'élastique alors elle pourra rejoindre ce point éloigné.
Donc ce qui fait que la fourmi puisse atteindre ce point éloigné, sans rentrer dans de grands calculs, c'est que la fourmi est entrainée par l'élastique, que sa vitesse s'ajoute à la vitesse d'expansion de l'élastique.
Si ce point est acquis ok.

Mais maintenant ça me pose un problème.
Qu'on puisse ajouter des vitesses aux vitesses dans une mécanique classique pour une fourmi ou un escargot fort bien, mais peut-on ajouter la vitesse de la lumière à une autre vitesse ?
Cette possibilité ne rentrerait-elle pas en contradiction avec la loi d'addition des vitesses relativistes de la relativité restreinte ?
Est-ce que le cas de la lumière est assimilable aussi facilement avec le cas de la fourmi ?

[yves95210]

Qu'on puisse ajouter des vitesses aux vitesses dans une mécanique classique pour une fourmi ou un escargot fort bien, mais peut-on ajouter la vitesse de la lumière à une autre vitesse ?
Cette possibilité ne rentrerait-elle pas en contradiction avec la loi d'addition des vitesses relativistes de la relativité restreinte ?
Est-ce que le cas de la lumière est assimilable aussi facilement avec le cas de la fourmi ?

Ce qu'il faut comprendre c'est que les objets entraînés par l'expansion (même s'ils s'éloignent les uns des autres) ne sont pas en mouvement dans l'espace, c'est l'espace qui s'expand.

Localement, dans un référentiel dans lequel un de ces objets est immobile (ses coordonnées spatiales ne varient pas avec le temps), la vitesse de la lumière est toujours égale à c, et la loi d'addition des vitesses relativistes n'intervient pas (ou si tu préfères, on additionne une vitesse nulle et la vitesse c du photon, ce qui donne toujours c).

Mais entre t et t+Δt, la distance propre (celle qu'on mesurerait en alignant des règles si on pouvait se déplacer instantanément d'un point à l'autre de l'espace) d'un objet lointain augmente de D(t) à D(t)+H(t).D(t).Δt, où H(t) est le taux d'expansion à l'instant t du temps cosmique (en supposant que la variation de H durant Δt est négligeable, ce qui n'est vrai que pour D "pas trop grande"; sinon il faut passer par un calcul d'intégrale).

Si le temps de parcours d'un photon émis par le premier objet pour atteindre le second est Δt, à l'instant où il l'atteint la distance propre entre les deux objets est D(t)+H(t).D.Δt. Comme s'il avait parcouru la distance séparant les deux objets avec une vitesse (D+H.D.Δt)/Δt = D/Δt + H.D. Et si on choisit Δt tel que D=c.Δt, on constate que cette vitesse apparente est supérieure à c, puisqu'elle vaut c+H.D. Exactement comme pour la fourmi sur l'élastique...

C'est ce qui permet aux photons, issus de galaxies (ou du CMB) se trouvant aujourd'hui (en distance propre, non observable) à plusieurs dizaines de milliards d'années-lumière de la Voie Lactée de nous parvenir, alors que leur temps de parcours est inférieur à 13,8 milliards d'années (l'âge de l'univers).

[pachacamac]

@ArchoZaure : il faut bien évidemment que la fourmi marche sur l’élastique si elle veut profiter de l’allongement de celui-ci.
De même dans le problème (similaire sauf les valeur numériques ) de la voiture qui roule sur une route qui s'allonge de 200 km/s il faut que l'allongement de la route se fasse comme celui d'un élastique qu'on étire, par contre si pendant que la voiture roule à l'autre bout, par des travaux on allonge la route de 200 km/s ça marchera pas.

Pour ton problème, c'est parce que l'expansion de l'espace n'est pas une vrai vitesse, il n'y a déplacement de rien sauf que l'espace et donc les distances s’agrandit.

EDIT : grillé par yves95210

[pachacamac]

@yves95210. merci j'ai tout compris à ce que tu as dis.

par contre pour le : "Je te laisse essayer de résoudre cette équation" je pense que c'est dans mes cordes mais j'ai tellement perdu l'habitude de ces calcul que j'ai peur de me lancer.
D'autre part je sais pas trop ce qu'il faut montrer...on cherche quoi ?



N.B. dans le post ci dessus il faut remplacer 200km/s par 200km/h

[ArchoZaure]

Ok je vois enfin peut-être.

Pour ton problème, c'est parce que l'expansion de l'espace n'est pas une vrai vitesse, il n'y a déplacement de rien sauf que l'espace et donc les distances s’agrandit.

Dans ce cas si c'est pas une vrai vitesse pourquoi on a un vrai effet ?
Le redshift de la lumière n'est pas causée par une vrai vitesse ?

[pachacamac]

@Archi3 : si "c'est pratiquement la même chose" mais pas entièrement on peut tomber d'accord.

Parce que en sixième ou en cinquième mon prof nous avait dit : en mathématique on appelle un chat un chat donc si c’était strictement identique ça devrait avoir le même nom.

Après j'ai compris tout ce que tu as dis c'est et en effet f'(x) = df/dx c 'est très pratique et très utilisé.( même par moi dans ma jeunesse )

Par contre df =f'(x) dx me pose maintenant quelques soucis.

Si la dérivée f'(x) c'est quasi la même chose que le différentielle df alors on devrait avoir
f'(x) = f'(x)dx

donc si dx est très petit on devrait avoir f'(x)> f'(x)dx
ça recommence à faire des noeuds dans mon cerveau

aussi d'après gg0 on a

la dérivée de t+1 est 1. ( okay)
d(t+1)=dt. = why ???

Je vais attendre pour voir si tu peux (veut) donner une réponse à mes interrogations, sinon je pense que je vais retourner dans le forum de math pour poser ces questions à gg0.

[pachacamac]

N.B.
d(t+1) = d(t)+ d(1) = d((t) + 0 = d(t)
mais ça reste différent de (t+1)' = 1

[yves95210]

par contre pour le : "Je te laisse essayer de résoudre cette équation" je pense que c'est dans mes cordes mais j'ai tellement perdu l'habitude de ces calcul que j'ai peur de me lancer.
D'autre part je sais pas trop ce qu'il faut montrer...on cherche quoi ?

J'avais précisé qu'on cherche à déterminer les fonctions a(t) et H(t).

En repartant de la dernière expression de l'équation, on obtient



Le membre de droite de l'équation est une constante, et est la dérivée par rapport à t de . On obtient donc

et finalement (puisqu'il s'agit d'un modèle de big bang avec a=0 lorsque t=0),

où est la date d'aujourd'hui en temps cosmique, et par définition.

En utilisant cette expression de a(t), on obtient


C'est le modèle d'espace-temps d'Einstein-de Sitter, dont tu entendras probablement parler ailleurs, auquel se ramène en bonne approximation le modèle LambdaCDM dans les premiers milliards d'années suivant le découplage (et l'émission du CMB), tant que la densité d'énergie sombre reste négligeable par rapport la densité d'énergie de la matière.

[yves95210]

Dans ce cas si c'est pas une vrai vitesse pourquoi on a un vrai effet ?
Le redshift de la lumière n'est pas causée par une vrai vitesse ?

Extrait de la page wikipedia sur le décalage vers le rouge :

Actuellement, constatant un décalage vers le rouge de la lumière émise par des sources cosmologiques quasiment proportionnel à leur distance, les modèles cosmologiques dominants l'interprètent comme un effet de l'expansion de l'Univers.

Il ne s'agit donc plus d'un effet Doppler, comme on le présente encore parfois aujourd'hui, mais bien d'un effet de relativité générale qui se comprend quantitativement en disant que l'expansion, en « allongeant » l'Univers, allonge aussi la longueur d'onde de tous les photons de l'Univers. Il y a « comobilité » des galaxies qui sont entraînées par cette expansion.

Le décalage vers le rouge dû à l'expansion de l'Univers s'écrit alors :
,
où a(t) est le facteur d'échelle à l'époque où l'objet a émis la lumière qui nous parvient et a₀ la valeur actuelle du facteur d'échelle.

[yves95210]

N.B.
d(t+1) = d(t)+ d(1) = d((t) + 0 = d(t)
mais ça reste différent de (t+1)' = 1

Normal puisque, en posant f(t)=t+1, on a bien f'(t) = (t+1)'= 1 et df(t) = d(t+1) = dt
J'ai l'impression que tu te fais des nœuds au cerveau pour rien...

Cette distinction ne prend en fait tout son sens que si on s'intéresse à une fonction de plusieurs variables, par exemple un champ scalaire f dans un espace euclidien de dimension 3, dont l'accroissement infinitésimal (la différence entre la valeur de f au point de coordonnées x+dx, y+dy, z+dz et sa valeur au point de coordonnées x,y,z) s'écrit à partir de ses dérivées partielles par rapport à chacune des variables :



Dans ce cas on ne peut évidemment pas écrire df = f' dx .

[pachacamac]

Merci Yves pour le calcul des fonction a(t) et H(t).

Pour f'(t) = (t+1)'= 1 et df(t) = d(t+1) = dt

ça fait des noeuds uniquement quand on dit que la dérivée est égale à la différentielle d'où l'on déduit 1 = dt pour moi ça reste mystérieux.

Aussi est ce que le symbole d veut dire à chaque fois différentielle ? par exemple dans f'(x) = df/dx
Est ce df et dx qui se comprennent facilement comme une petite variation de f et de x peuvent être appelée différentielle de f et de x ?

Note : on dérive un peu de la question initiale, mais vu que le problème est maintenant entièrement résolu on peut travailler un peu les math nécessaires à sa résolution.

[yves95210]

Pour f'(t) = (t+1)'= 1 et df(t) = d(t+1) = dt

ça fait des noeuds uniquement quand on dit que la dérivée est égale à la différentielle d'où l'on déduit 1 = dt pour moi ça reste mystérieux.

Aussi est ce que le symbole d veut dire à chaque fois différentielle ? par exemple dans f'(x) = df/dx

C'est pour éviter cette confusion qu'on utilise (ou on devrait utiliser...) un symbole différent (le "d rond" ) pour représenter les dérivées partielles...

Est ce df et dx qui se comprennent facilement comme une petite variation de f et de x peuvent être appelée différentielle de f et de x ?

Pour f oui, puisque (implicitement) c'est une fonction.
Pour x (implicitement une variable), non. "Petite variation" ou "accroissement infinitésimal" me semblent plus adaptés.

Mais je ne suis pas mathématicien (enfin, je ne le suis plus, puisque j'ai fait il y a très longtemps des études de maths, mais ai oublié la plupart des notions qui ne m'ont pas servi depuis)...

[pachacamac]

@yves95210,

"j'ai oublié la plupart des notions qui ne m'ont pas servi"
Remarque que tu as de beaux restes par rapport à moi qui n'est pas fait d'études supérieures en math ( à l’exception d'un C4 de biomathématiques ). Cela fait plus de 30mn que je me penche sur ton calcul en #72 sans arriver à le comprendre

Dés le début j'arrive pas à comprendre comment tu passes de la première ligne à la seconde.
Aussi je vois pas trop l’intérêt au niveau de la seconde ligne de sortir le terme en a0 de la parenthèse et puisque sur cette ligne le second membre est une constante ne serait t'il pas plus simple de lui donner un nom , par exemple K, cela simplifierai ensuite beaucoup l’écriture.

Au niveau physique, a0 le facteur d'échelle aujourd’hui vaut 1 par convention me semble t'il, donc pourquoi on ne l'enlève pas puisqu'il n'apparait que dans des multiplications ?

[yves95210]

Cela fait plus de 30mn que je me penche sur ton calcul en #72 sans arriver à le comprendre

Dés le début j'arrive pas à comprendre comment tu passes de la première ligne à la seconde.

En prenant la racine carrée (ou la puissance 1/2) des deux membres de l'équation.

Aussi je vois pas trop l’intérêt au niveau de la seconde ligne de sortir le terme en a0 de la parenthèse et puisque sur cette ligne le second membre est une constante ne serait t'il pas plus simple de lui donner un nom , par exemple K, cela simplifierai ensuite beaucoup l’écriture.

L'intérêt de sortir a₀ est de faire ensuite apparaître le rapport a/a₀.
J'ai bien pensé à substituer un nom de constante (le même que toi, K) au terme (8 pi G rho₀)/3, mais il aurait fallu faire la substitution inverse à la fin pour donner la relation entre t₀ et rho₀, qui apporte aussi une information utile (la densité de matière évolue comme t^-2 ).

Au niveau physique, a0 le facteur d'échelle aujourd’hui vaut 1 par convention me semble t'il, donc pourquoi on ne l'enlève pas puisqu'il n'apparait que dans des multiplications ?

Justement parce que ce n'est qu'une convention. Une fois obtenue la forme générale de a(t), rien n'empêche d'appliquer la convention...

Bref, tout ça est affaire de goût, et ça ne doit pas nuire à la compréhension.

[pachacamac]

Merci beaucoup de ta patience.
Pour le passage de la première à la seconde ligne s'était pourtant facile.

[Archi3]

Après j'ai compris tout ce que tu as dis c'est et en effet f'(x) = df/dx c 'est très pratique et très utilisé.( même par moi dans ma jeunesse )

Par contre df =f'(x) dx me pose maintenant quelques soucis.

Si la dérivée f'(x) c'est quasi la même chose que le différentielle df alors on devrait avoir
f'(x) = f'(x)dx

donc si dx est très petit on devrait avoir f'(x)> f'(x)dx

ben non sinon ce serait "la même chose" et pas "quasi la même chose" ... mais c'est pas tout à fait la même chose

dans aucun formalisme l'équation f'(x) = f'(x)dx n'est correcte. C'est toujours df = f'(x)dx qui est correcte. La raison est que dans aucun formalisme "dx" n'est un nombre ordinaire. Que ce soit un petit accroissement, une application linéaire ou dans un autre formalisme un "nombre non standard", ce n'est jamais un réel. Mais c'est toujours une base d'un espace vectoriel, c'est à dire que tu peux le multiplier par f'(x) qui est un réel pour donner autre chose qui est de même nature que dx... qu'on appelle df. Mais ça ne donnera jamais un réel donc ça ne peut pas être égal à f'(x).

[pachacamac]

Voila, la boucle est bouclée, les nœuds dans mon cerveau ont disparus. merci

[pachacamac]

En fait il me reste un petit problème à résoudre avant de pouvoir dire que j'ai vraiment tout compris dans ce fil.
En regardant la suite du calcul de Yves, je m'aperçois qu 'un trou noir est apparu dans mes neurones qui avaient appris à faire des intégrations

Je comprend pas, ci-dessous, comment on passe de la première ligne à la seconde et pourquoi la constante entre parenthèse a disparu dans l'expression de a(t)

[yves95210]

Je comprend pas, ci-dessous, comment on passe de la première ligne à la seconde et pourquoi la constante entre parenthèse a disparu dans l'expression de a(t)

Pièce jointe 473645

donc

et on obtient l'expression de en prenant la puissance 2/3 des deux membres de l'équation.

[pachacamac]

Okay, là aussi le calcul était simple mais encore fallait t'il y penser, par contre c'est le coté physique qui était compliqué parce que c'est pas à la porté du premier venu de trouver que l'expression entre parenthèse est égale à 1/t0 (quoique que tu l'avais précisé )

Merci

[yves95210]

Okay, là aussi le calcul était simple mais encore fallait t'il y penser, par contre c'est le coté physique qui était compliqué parce que c'est pas à la porté du premier venu de trouver que l'expression entre parenthèse est égale à 1/t0 (quoique que tu l'avais précisé )

L'expression est nécessairement égale à 1/t₀.
En effet et par définition a(t) vaut a₀ lorsque t vaut t₀,
donc

Quelques exercices de maths niveau terminale ne te feraient pas de mal

Quant au côté physique il se résume à dire que, dans un espace-temps spatialement homogène et isotrope, empli de "poussière" (pression du rayonnement nulle), de sections spatiales "plates" et avec constante cosmologique nulle,
- le taux d'expansion est H(t) = 2/3 t^-1
- le facteur d'échelle est a(t) = a₀ (t/t₀)^2/3
- la densité d'énergie de la matière est ρ(t) = ρ₀ (a₀/a(t))³ = ρ₀ (t/t₀)²

Résultats on ne peut plus simple. C'est dommage que notre univers ne ressemble pas exactement à ça...
Mais c'était le modèle privilégié (avec matière noire histoire de compenser la "masse manquante") jusque dans les années 80.

[pachacamac]

Okay. Maintenant tout est clair.
N.B. Dans le forum de math, on m'a conseillé de revoir les cours de premières

Merci

[curiossss]

Eh bien non !

Le problème de la fourmi sur un élastique est un puzzle mathématique dont la solution semble paradoxale ou du moins contre-intuitive :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%...%C3%A9lastique

Peut-on transformer ce problème en celui-ci ? :

L'élastique n'est pas étiré du tout mais chaque pas de la fourmi est deux fois plus petit que le précédent (elle fait des pas de plus en plus petits).

Dans ce nouvel exemple la fourmi aura parcouru à la 'fin' d'un temps infini la distance de.... 1 pas !
(1/2 + 1/4 + 1/8 + ..... = 1). Donc elle n'arrivera jamais au bout de l'élastique (s'il est plus long que un pas).

Maintenant si on dit que la longueur de chaque pas ne change pas mais que c'est l'élastique qui double sa longueur à chaque pas de la fourmi.... la fourmi ne devrait jamais arriver au bout de l'élastique non plus !

Alors où est l'erreur ? ^^ (il y a un piège)

[pachacamac]

Si elle le peut mais pas toujours. Cela dépend de la longueur du pas ( donc de sa vitesse propre) par rapport à la longueur initiale de l'élastique)

Le problème de l’élastique qui double de longueur est traité en détail sur ce fil sur le dernier post #27

La démonstration au niveau mathématique pique un peu les yeux ( en tous cas pour les pas ou plus trop fort en math ) mais voici le résultat :

[pachacamac]

N.B. ça peut piquer un peu les yeux pour certain(e)s mais pas trop quand même puisque j'ai compris. Y a que des log et une intégration.

[yves95210]

Salut,

Okay. Maintenant tout est clair.
N.B. Dans le forum de math, on m'a conseillé de revoir les cours de premières

Maintenant que tu as compris la démarche, je peux te proposer un autre exercice (mathématiquement encore plus simple). Saurais-tu traiter le cas d'un espace-temps de Friedmann-Lemaître (spatialement homogène et isotrope), dont les sections spatiales à t constant ont une courbure négative, la densité d'énergie de la matière est nulle (ou négligeable par rapport à la "densité de courbure"), où la constante cosmologique est nulle ?

NB : ce n'est pas un exemple totalement abstrait. Lorsqu'on a commencé à avoir des estimations de la densité de matière dans l'univers récent, et qu'il s'est avéré qu'elle était très inférieure à la densité critique (celle qui conduit à une courbure spatiale nulle) même en comptant la matière noire, l'accélération de l'expansion n'avait pas encore était découverte - ou confirmée par les observations (à l'aide des supernovas), et les observations du CMB (aujourd'hui compatibles avec une courbure spatiale nulle) n'étaient pas encore assez précises.
Faute d'atteindre la densité critique (et de loin), pour que le modèle de Friedmann-Lemaître reste valide il fallait faire l'hypothèse d'une courbure spatiale négative ou celle d'une constante cosmologique non nulle (ou les deux). Et sans autres contraintes issues des observations (ou des modèles d'inflation qui avaient déjà été publiés), la première hypothèse paraissait tout aussi raisonnable que la deuxième. Certains cosmologistes envisageaient donc un modèle dont l'équation de Friedmann se réduisait à

avec k=-1, correspondant à une courbure spatiale négative, et avec un rapport ~0,2/0,8 à l'époque actuelle entre les paramètres de densité de matière Ω_m et de courbure Ω_k. J'en profite pour introduire ces "paramètres de densité" (que tu as sans-doute déjà rencontrés), dont la somme est égale à 1 : il s'agit simplement des valeurs actuelles des termes du membre de droite de l'équation de Friedmann, divisées par H₀², où H₀ est la valeur actuelle du taux d'expansion. Le modèle ci-dessus correspond donc à Ω_m=0,2 et Ω_k=0,8.

Je crois me rappeler qu'il y a une solution analytique permettant de déterminer les expressions de H(t) et a(t) dans ce modèle, mais elle est compliquée. Mais, la densité de matière continuant de diminuer (comme a^-3) elle finira par devenir négligeable par rapport au terme de courbure (en a^-2), et l'équation de Friedmann se réduira à

Pour se faire une idée de l'avenir (pour t ≫ t₀) d'un univers représenté par un tel modèle, il suffit donc de déterminer H(t) et a(t) à partir de cette équation. C'est l'exercice que je te propose.