Différentielle et dérivée

invite4d7a50e8 · 04/06/2008, 13h20

Bonjour! voila je voulais savoir concrètement qu'elle est la différence entre
la dérivée dy/dx et la différentielle dy=(dy/dx)*dx car je sais qu'on simplifie par dx le membre gauche. on m'a tjrs dit que c'est le produit de la dérivée par une petite variation dx de la variable. mais je vois pas c'est quoi exactement donc si il y en a qui peuvent m'aider ça serait gentil

Cordialement,

**Romain-des-Bois** · 04/06/2008, 14h13

Salut,

posons convenablement les définitions :

- si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est dérivable en $\text{[math]}$ si la limite $\text{[math]}$ existe (est finie) quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ .

- si $\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ est un ouvert de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ un point de cet ouvert.)

$\text{[math]}$ est différentiable en $\text{[math]}$ s'il existe une application linéaire $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ tend vers 0 quand $\text{[math]}$ tend vers 0.
L'application linéaire est appelée quand elle existe $\text{[math]}$ : c'est la différentielle (au point $\text{[math]}$ )

Ce qu'il faut retenir : la différentielle en un point est une application linéaire, alors que la dérivée en un point est un nombre.

Romain

invite4d7a50e8 · 04/06/2008, 14h24

ah ok la différentielle est une application alors que la dérivée c'est un nombre en un point d'une courbe oki j'ai compris!! merci

**Romain-des-Bois** · 04/06/2008, 14h27

Envoyé par Karim35

ah ok la différentielle est une application alors que la dérivée c'est un nombre en un point d'une courbe oki j'ai compris!! merci

La différentielle en un point est une application linéaire, et la dérivée en un point est un nombre.

Tu noteras que les applications ne sont pas définies sur les mêmes ensembles de départ.

Romain

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite4d7a50e8 · 04/06/2008, 14h30

cela veut dire que pour chaque point d'une courbe on trouvera un nombre la dérivée puis une application la différentielle? par exemlpe on trouvera df(2)=f'(2)dx pour la différentielle d'une fonction f définie sur R et au point 2 c'est ca?

**Romain-des-Bois** · 04/06/2008, 14h34

Je t'avoue que je ne comprends pas grand chose à tes questionnements... Si tu prenais un exemple explicite ?

invite4d7a50e8 · 04/06/2008, 14h41

ok désolé^^ alors soit une fonction f définie sur R par f(x)=3x²+4x-2
donc si je calcule la dérivée au point d'abscisse 2 j'aurais dy/dx=6x+4
et f'(2)=16 et donc la différentielle de f au point d'abscisse 2 sera df(2)=f'(2)dx c'est ça?

**Romain-des-Bois** · 04/06/2008, 14h52

Envoyé par Karim35

ok désolé^^ alors soit une fonction f définie sur R par f(x)=3x²+4x-2
donc si je calcule la dérivée au point d'abscisse 2 j'aurais dy/dx=6x+4
et f'(2)=16 et donc la différentielle de f au point d'abscisse 2 sera df(2)=f'(2)dx c'est ça?

OK, sur l'exemple, on va bien comprendre :
f'(2)=16 (c'est un nombre) (j'ai pas vérifié)

et df(2) (h) = f'(2) h = 16h

(comme c'est une application, tu l'appliques à un vecteur h)
$\text{[math]}$
et $\text{[math]}$

Tu m'as l'air d'avoir compris, mais ton écriture n'est pas très rigoureuse.

invite4d7a50e8 · 04/06/2008, 16h40

Oki si j'ai bien compris le h que tu cites ça correspond à mon dx et si je remplace par dx j'ai df(2)(dx)=16dx même si c'est plus moche! mais un moment tu dis que tu appliques ça à un vecteur. la petite variation dx ou h c'est un vecteur du coup?

edit: ah mais je viens de regarder sur wikipédia et pour la généralisation en dimension finie de R^n ça se transforme en vecteur.

**Gwyddon** · 04/06/2008, 17h05

dx n'est pas remplacé par h, dx est une fonction (techniquement une forme linéaire)

Il se trouve que sur IR, dx(h) = h, h est un nombre réel.

Mais pour un vecteur, mettons de IR², h est un vecteur et dx(h) ne vaut pas h (ça n'aurait aucun sens, puisque dx(h) doit être un nombre réel), mais vaut la composante en x du vecteur h.

Donc

df(2)(dx)=16dx

Cette écriture n'a pas de sens, et du coup je ne suis pas sûr que tu aies bien compris ce qu'a dit Romain

invite4d7a50e8 · 04/06/2008, 17h10

oula^^ lol

invite4d7a50e8 · 17/06/2008, 12h43

Hmm non je n'ais pas bien compris

je suis un petit peu pomé^^

**God's Breath** · 17/06/2008, 14h28

Envoyé par Karim35

Hmm non je n'ais pas bien compris

je suis un petit peu pomé^^

Il est vrai que ce n'est pas immédiat à comprendre...

Je prends un exemple, volontairement un peu plus compliqué qu'une fonction polynomiale, en considérant $\text{[math]}$ .
Cette fonction est définie sur $\text{[math]}$ , ce que l'on note :

$\text{[math]}$

mais elle n'est dérivable que sur $\text{[math]}$ , de dérivée :

$\text{[math]}$

Au point $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , et la différentielle en ce point, notée $\text{[math]}$ est l'application linéaire :

$\text{[math]}$

On note la variable $\text{[math]}$ et non plus $\text{[math]}$ pour bien signifier que cette différentielle est une application définie sur $\text{[math]}$ , et pas seulement sur le domaine de définition de $\text{[math]}$ ou de $\text{[math]}$ .
En tout point $\text{[math]}$ en lequel $\text{[math]}$ est dérivable, on définit de même la différentielle en $\text{[math]}$ , notée $\text{[math]}$ , qui est l'application linéaire :

$\text{[math]}$

.

Il faut bien comprendre que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ET $\text{[math]}$ sont des applications ; ce sont leurs valeurs $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui sont des nombres.
De plus $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ont des ensembles de définition à déterminer dans chaque cas particulier, alors que $\text{[math]}$ est toujours définie sur $\text{[math]}$ tout entier.

invite4d7a50e8 · 17/06/2008, 14h48

ok j'y vois un peu plus clair déja merci

**God's Breath** · 17/06/2008, 14h52

Dans mon dernier message, il faut lire la dernière phrase ainsi :
De plus $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ont des ensembles de définition à déterminer dans chaque cas particulier, alors que $\text{[math]}$ est toujours définie sur $\text{[math]}$ tout entier.

Je rajouterai que, comme dans mon exemple, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ peuvent avoir des ensembles de définition différents.

invite4d7a50e8 · 17/06/2008, 15h33

merci beaucoup j'ai tout compris!!!

invite4d7a50e8 · 17/06/2008, 15h40

et si j'ai bien compris dans ce cas $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

**Seirios** · 17/06/2008, 19h51

Envoyé par Karim35

et si j'ai bien compris dans ce cas $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Si j'ai également compris, c'est bien cela.

Une petite question sur l'extrapolation pour les fonctions de deux variables :

On pose, pour exemple, $\text{[math]}$ .

On a alors $\text{[math]}$

Et au point de coordonnées (3,2) : $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ les composantes en x et y du vecteur de coordonnées (3,2).

Est-ce bien cela ?

invite49b54ac2 · 17/06/2008, 21h27

ta notation du df n'est pas correcte au lieu du delta X et Y, c'est dx et dy.

**Seirios** · 17/06/2008, 21h41

ta notation du df n'est pas correcte au lieu du delta X et Y, c'est dx et dy.

Exact, il faudrait lire $\text{[math]}$ , et remplacer tous les $\text{[math]}$ par dx et dy.

Mis à part cette erreur de notation, le raisonnement est bon ?

Et puis juste une petite remarque : $\text{[math]}$ n'est pas un delta

(c'est $\text{[math]}$ )

invite49b54ac2 · 18/06/2008, 07h25

Envoyé par Phys2

Et puis juste une petite remarque : $\text{[math]}$ n'est pas un delta

(c'est $\text{[math]}$ )

oui en effet, mais je trouvais plus le nom a ce moment la^^.

Tu as fait une erreur pour la derivée partielle en Y, tu as derivée comme ci c ete y³ alors que tu as mis y².

**Seirios** · 18/06/2008, 08h17

Tu as fait une erreur pour la derivée partielle en Y, tu as derivée comme ci c ete y³ alors que tu as mis y²

Oui effectivement, c'est erreur de recopiage ; j'avais écrit y³ sur mon papier. Je recopie l'exemple :

On pose $\text{[math]}$ .

On a $\text{[math]}$ , qui est donc une application.

Et au point de coordonnées (3,2) $\text{[math]}$ , qui est un scalaire, et où $\text{[math]}$ sont les composantes en x et y du vecteur de coordonnées (3,2), c'est-à-dire $\text{[math]}$

Maintenant, est-ce correcte ? (ou même s'il y a une erreur de calcul, au moins du point de vue de raisonnement)

invite49b54ac2 · 18/06/2008, 09h26

non, c pas juste car tu n'a pas la variation de x, ni de y. IL faut laisser l'appliacation avec le dx et dy. Le pt (3.2) indique que que la dérivé se calcule en ce point.
dx et dy signifie l'accroissement des variables, or tu n'as qu'un point, comment veux-tu qu'il y ait un accroissement.

Regarde la definition de la diffrentielle, tu remarqueras que df a une image si il y un delta x et delta y.

**Seirios** · 18/06/2008, 10h01

Je mettais appuyer sur la remarque de Gwyddon :

Mais pour un vecteur, mettons de IR², h est un vecteur et dx(h) ne vaut pas h (ça n'aurait aucun sens, puisque dx(h) doit être un nombre réel), mais vaut la composante en x du vecteur h.

On ne devrait alors pas avoir dx(3,2) qui est égale à la composante en x du vecteur de coordonnées (3,2) ?

**God's Breath** · 18/06/2008, 15h52

Tout d'abord il faut écrire $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ , au point de coordonnées (3,2), on a $\text{[math]}$ , qui est UNE APPLICATION LINEAIRE. Elle est définie par

$\text{[math]}$

.

Ce qui signifie que, au premier ordre, $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 18/06/2008, 17h01

D'accord, merci God's Breath

**Seirios** · 30/06/2008, 09h07

Une petite question qui me vient à l'esprit :

Quand on écrit $\text{[math]}$ , le dx est une différentielle ? Il me paraîtrait plutôt logique que ce soit un scalaire, donc ne serait-ce pas une simplification d'écrire dx, qui est une application linéaire (en considérant la fonction identité) ?

**God's Breath** · 30/06/2008, 10h02

Envoyé par Phys2

Une petite question qui me vient à l'esprit :

Quand on écrit $\text{[math]}$ , le dx est une différentielle ?

Dans une intégrale l'écriture l'élément dit "différentiel" dx ne sert qu'à préciser par rapport à laquelle se fait l'intégration, par eemple $\text{[math]}$ n'est pas du tout la même chose que $\text{[math]}$ ; il sert de plus à dire que l'intégration se fait par rapport à la mesure de Lebesgue.
On a conservé la notation différentielle, car elle est pratique pour les changements de variables.

**Seirios** · 30/06/2008, 10h25

il sert de plus à dire que l'intégration se fait par rapport à la mesure de Lebesgue.

Je ne connais pas la mesure de Lebesgue, je vais voir si je n'aurais pas un document dessus.

**Faror** · 08/04/2012, 13h09

Bonjour à tous!

Voila j'ai 2 petites questions concernant la notion de différentielle, dans un premier temps c'est bien une forme linéaire comme c'est une application linéaire de E dans R?
Aussi existe-il une differentielle pour une fonction qui va de E quelconque dans R³ par exemple, ou la différentielle existe-elle que si la fonction a pour ensemble d'arrivé R?

Merci d'avance

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