Une pépite d'inflaton

[pachacamac]

Bonjour,

Dans son livre " La magie du cosmos " Brian Greene ( un grand expert de la théorie de supercordes ) nous dit en substance, en quelques lignes et sans justification :

" quelques petits calculs nous montrent qu'une pépite d'inflaton de 10 kg mais contenu dans un volume de 10^ -26 m3 serait suffisant pour provoquer l'inflation telle qu'elle a été"
Cela m' intrigue...

Si quelqu'un, de plus familier que moi avec les inflatons et le champs d'inflaton ) pouvait m'eclaire sur les prémisses de ces calculs ce serait le Pérou.
Merci

Aussi est t'il correct de dire : C'est une brisure de symétrie dans le champs d'inflaton qui a provoquée l'inflation ?

Merci encore
-----

[Gilgamesh]

Bonjour,

Dans son livre " La magie du cosmos " Brian Greene ( un grand expert de la théorie de supercordes ) nous dit en substance, en quelques lignes et sans justification :

" quelques petits calculs nous montrent qu'une pépite d'inflaton de 10 kg mais contenu dans un volume de 10^ -26 m3 serait suffisant pour provoquer l'inflation telle qu'elle a été"
Cela m' intrigue...Si quelqu'un, de plus familier que moi avec les inflatons et le champs d'inflaton ) pouvait m'eclaire sur les prémisses de ces calculs ce serait le Pérou.
Merci

Je pense que c'est 10 kg dans (10^-26 m)³, soit de l'ordre de 10⁹⁶ J/m³, qui est la densité d'énergie de Grand Unification, ce qui est pressenti comme échelle d'énergie de l'inflation.

L'échelle d'énergie est motivée par le gain de facteur d'échelle nécessaire pour résoudre le problème de la platitude et de l'homogénéité de l'univers.

Or le ratio des rapports d'échelle est l'inverse de celui des températures. Si on passe d'un état 1 de rapport d'échelle a₁ et de température T₁ à un état 2 de rapport d'échelle a₂ et de température T₂ :

a₂/a₁ = T₁/T₂

Si la taille de l'univers est multipliée par 10, la température est divisée par 10.

Ici on a besoin qu'entre le début et la fin de l'inflation a₂/a₁ ~ 10²⁶. Cela nous mène à des températures un peu en dessous de la température de Grand Unification.

La densité d'énergie correspondante est ρ ~ T⁴

Lorsque cette densité d'énergie n'est pas encore sous la forme du plasma chaud mais encore dans le potentiel d'un champ remplissant le vide (inflaton), alors le taux d'expansion est H ~ √ρ et on a inflation.

Plus de détails ici.

Aussi est t'il correct de dire : C'est une brisure de symétrie dans le champs d'inflaton qui a provoquée l'inflation ?

Je pense qu'on trouvera des scénario dans ce sens en cherchant bien, mais a priori il faut séparer les deux affaires.

[pachacamac]

Merci pour ces précisions.

[pachacamac]

Bonjour Gilgamesh et bonjour les autres,

J'ai lu entièrement les douze pages du cours que tu as donné en lien, en sautant allègrement les formules mais non sans y avoir jeté un coup d’œil rapide.

Une formule à retenue mon attention, il s’agit de celle de l'action du champs d'inflaton (supposé être un champs scalaire)



Dans ce qui me semble être le lagrangien de l'inflaton, je me pose la question de savoir ce que représente le g dans racine carré de -g

le sais tu ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Probablement le déterminant de la métrique. A vérifier.

m@ch3

[pachacamac]

Merci. J'ai été voir ce que signifie le déterminant d'une métrique, j'ai trouvé :" Nous dirons ici que le déterminant de la
métrique est une densité scalaire (tensorielle) de poids -2 " dans ce très bon cours sur les tenseurs sous transformation


Par contre j'ai une autre question sur cette formule de l'action de l'inflaton

C'est normal qu'il n'y a pas de "bornes" à l'intégrale ? sait ton entre où et où ou entre quand et quand elle doit être calculée ?

Merci

[Antonium]

Bonjour,

Plus concrètement la métrique peut être représentée sous forme de matrice 4x4 et le déterminant est simplement le déterminant de cette matrice.

Les bornes de l'intégrale sont entre moins l'infini et l'infini pour chaque variable. Autrement dit c'est une intégrale sur tout l'espace-temps (ou du moins la partie recouverte par les coordonnées x). La dépendance en x des fonctions qui sont intégrées n'est pas explicitement notée, mais la métrique en dépend donc g=g(x) et de même phi = phi(x).

[pachacamac]

Merci.
J'avais vérifié (wikipedia + un autre site ) que g est bien le déterminant de la métrique ( du tenseur metrique).
En fait sauf confusion de ma part ce tenseur metrique est le fameux Gmu,nu que l'on trouve partout en relativité


Une dernière question sur cette formule avant de l'abandonner vu sa trop grande complexité pour moi.

Le d puissance 4 représente quoi ?

Merci

[mach3]

En fait sauf confusion de ma part ce tenseur metrique est le fameux Gmu,nu que l'on trouve partout en relativité

Attention, il y a g mu nu et G mu nu, le premier est le tenseur métrique et le second est le tenseur d'Einstein.

Le d puissance 4 représente quoi ?

Ca indique qu'on intègre sur 4 dimensions.

m@ch3

[pachacamac]

Merci Gilgamash, mach3 et Antonium pour vos réponses qui m'ont éclairé sur les symboles utilisés dans la formule de l'action de l'inflaton.

Je pensais en terminer là mais une nouvelle question me trotte dans la tête à propos de cette formule...

En gros, est t'elle "calculable" ? (je pense que non mais je suis trop ignorant en ce domaine pour que mon avis ait une quelconque importance) Peut t'on l'utiliser pour en déduire "quelque chose" ?

aussi au niveau symbole un terme de la formule me dépasse encore c'est :



Je crois reconnaitre ici , avec l'indice mu en bas ( contravariant) puis en haut (covariant) une sommation d' Einstein avec l'indice mu qui prendrait successivement les valeurs 1 2 3 et 4....

Serait t'il possible de m'expliquer en gros en quoi consiste cette opération, et quel sera la forme de son resultat ?

Merci

[Antonium]

Bonjour,

Je vais essayer d'être très explicite.

L'action n'est pas vraiment un nombre, c'est une fonctionnelle (une fonction dont les arguments sont des fonctions et pas des nombres, mais qui retourne un nombre). Ici le plus précis est d'écrire


Ici ce n'est pas encore totalement explicite car il faudrait encore faire un choix pour la fonction V(phi). Pour être vraiment concret on peut choisir V(phi) = m^2 phi^2/2 tel que


Maintenant on voit bien que S est une machine qui "mange" des fonctions phi(x) et g_munu(x) et qui ressort un nombre, que l'on calcule en faisant l'intégrale. En revanche l'utilité principale de l'action est le principe de moindre action. Il spécifie que les fonctions "physiques" phi(x) et g_munu(x) sont celles pour lesquelles l'action est minimale. Il s'agit donc d'un problème de minimisation de fonctionnelle très similaire aux problèmes de minimisation de fonctions que l'on voit au lycée (je crois).

Notons que ici on a seulement l'action pour le champ phi(x), il faudrait ajouter l'action de la gravitation pour obtenir

où R est le scalaire de Ricci obtenu en prenant des traces du tenseur de Riemann, lui même obtenu en fonction de la métrique g_munu(x), c est la vitesse de la lumière et G est la constante de gravitation de Newton. Si on effectue maintenant le calcul de minimisation, obtenu en prenant ce que l'on appelle des dérivées fonctionnelles de l'action par rapports aux fonctions phi(x) et g_munu(x) on obtient les equations




La première équation sont les équations de champ d'Einstein, avec le tenseur énergie impulsion représentant la matière est donné par la deuxième équation. La 3e equation est appelée équation de Klein-Gordon et est une équation d'onde pour le champ phi. J'ai utilisé la dérivée covariante qui dépend de la métrique.

Il y a beaucoup de solutions à ces équations, correspondant au fait que l'action S a plusieurs minimums. Etant donnée une solution, on peut évaluer l'action en injectant les solutions dans sa formule et on obtient un nombre, qui est donc calculable. Un exemple trivial est la solution phi=0 et g_munu = Minkowski, pour laquelle l'action vaut juste zéro. La solution générale n'est pas connue mais on connaît plusieurs solutions particulières. Et on peut à chaque fois calculer l'action.

--------------------------------------------

Pour résumer, on voit que l'utilité de l'action est d'obtenir les équations de la physique. Pour chacune des lois physiques que l'on connaît il existe une action. Cette action est une fonctionnelle dont les arguments sont les quantités physiques (par exemple champ gravitationnels, champs électrique et magnétiques, particules etc). Le principe de moindre action stipule comment obtenir les équations du mouvement pour ces quantités à partir de l'action. Ces équations du mouvement sont les "lois physiques". On peut ensuite, si on veut, obtenir un nombre à partir de l'action en injectant les solutions et en calculant l'intégrale.

[pachacamac]

Un très grand merci Antonium pour cette réponse très détaillée et ta patience pour m'expliquer des notions si ardues.
J'arrive à en comprendre, plus ou moins, les grandes lignes et grosso modo le résumé mais pour vraiment comprendre il me manque quelques années d’étude en math/physique

On peut ensuite, si on veut, obtenir un nombre à partir de l'action en injectant les solutions et en calculant l'intégrale.

Si on veut ou plutôt si on peut car calculer cette intégrale s'apparente encore pour moi à un tour de magie : on a numériquement que quelques constantes (G et c ) et des symboles abstraits reliés par des relations et hop on en tire un nombre comme un lapin qui sort d'un chapeau

En tout cas bravo à ceux qui savent comprendre tout cela.

Merci encore.

[pachacamac]

Bonjour,

Je voudrais juste rajouter que je trouve très impressionnant que l'on puisse retrouver l' équation d'Einstein et celle de Klein -Gordon à partir de la minimisation de l'action de ce champs scalaire.

Et aussi, qu'après plusieurs relectures, je trouve que le texte d' Antonium est un petit chef d’œuvre de vulgarisation/explications.