Le temps dans un champ gravitationnel très fort

[Tartempion314]

### cette discussion dérive du fil : https://forums.futura-sciences.com/q...tres-fort.html ###

La réponse de Gilgamesh me laisse perplexe quand il invoque l'expansion de l'univers pour expliquer la dilatation du temps

Que l'expansion modifie la longueur d'onde de la scène; ça c'est clair, mais la question porte sur le temps dont la mesure est modifiée par la gravitation.

Si l'on fait cuire l'oeuf (j'adore l'exemple) à proximité d'un trou noir (donc avec un champ gravitationnel intense) et que l'on observe la scène à une distance constante de 100 al. (donc là il n'y a pas d'expansion qui intervienne) L'observateur va bien mesurer que l'oeuf met plus que 3 mn à cuire ?

L'expansion crée une espèce de déplacement "apparent" puisque la distance entre deux points augmente au fil du temps (toutes choses égales par ailleurs) .
Du coup cette augmentation de la distance dans le temps génère une vitesse "apparente". En supposant la vitesse d'éloignement constante (ce qui n'est pas le cas en réalité) est ce que l'on a du coup un effet relativiste sur la mesure du temps ?
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[JPL]

Si l'on fait cuire l'oeuf (j'adore l'exemple) à proximité d'un trou noir (donc avec un champ gravitationnel intense) et que l'on observe la scène à une distance constante de 100 al. (donc là il n'y a pas d'expansion qui intervienne) L'observateur va bien mesurer que l'oeuf met plus que 3 mn à cuire ?

Non, parce que sa montre sera dans le même champ gravitationnel que l’œuf. Donc ce sera 3 minutes.

Et cela n’a rien à voir avec l’expansion de l’univers qui ne concerne que l’univers en général, où la gravitation n’a globalement qu’un influence négligeable, sans prendre en compte les détails locaux, comme au voisinage d’un trou noir où, au contraire, l’espace temps est fortement courbé.

[ThM55]

Incidemment, ce fil montre que l'oeuf est bien arrivé avant la poule! (ben oui, il n'y avait pas de poule à l'époque du big bang).

[Tartempion314]

Je me suis peut être mal exprimé

Le cuistot qui fait cuire l'oeuf près du trou noir, sa montre indique 3m de cuisson
Pour celui qui observe à 100 al. , donc disons hors du champ gravitationnel du trou noir, sur sa montre il comptera plus de 3 mn. Par contre à la fin de son observation il verra que sur la montre du cuistot il y a d'indiqué 3 mn. C'est l'influence de la gravitation sur le temps (illustrée par exemple dans le film Interstellar)

Par contre l'expansion n'a rien à voir; je suis bien d'accord. Mais en lisant la réponse de Gilgamesh il me semblait qu'il disait le contraire.
Alice appuie sur le chronomètre au moment même où elle voit Bob mettre l’œuf dans la casserole (elle peut également voir que l’eau est en ébullition). Mais au moment où elle voit Bob retirer l’œuf, il ne s’est pas écoulé 3 minutes, mais 55 heures, c’est-à-dire 1100 τ. Et pourtant, quand Bob ouvre délicatement la coquille, l’œuf est parfaitement à point, le jaune encore liquide. Et quand elle zoome sur la montre-bracelet de Bob, elle voit qu’il s’est écoulé 3 minutes du temps propre de Bob.

Ce facteur 1100 est le redshift cosmologique z, et tu as cette relation très simple à retenir

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

il ne s’est pas écoulé 3 minutes, mais 55 heures

Tu reçois la lumière du moment où Bob a mis l'oeuf. La lumière a mis un certain temps à te parvenir. 3 minutes plus tard (du point de vue de Bob), l'Univers s'est dilaté.
Donc la lumière qu'il t'envoie pour te signaler la fin de la cuisson a du parcourir une distance plus grande.

Tu aurais exactement le même phénomène si Bob s'éloignait de toi en train ultra-silencieux et que tu entendes un bip en début de cuisson et un bip en fin. Non seulement les bips seraient décalés vers le grave mais le 2nd t'arriverait après plus de 3 min.

[mach3]

Tout cela relève formellement du même mécanisme de base commun à l'effet Doppler, au décalage d'Einstein et au redshift cosmologique : le transport parallèle de la 4-vitesse de l'objet observé le long de géodésiques nulles jusqu'à l'évènement d'observation sur la ligne d'univers de l'observateur.

Après le transport, on se retrouve avec triangle consistant en u, la 4-vitesse transportée, w, un vecteur tangent à la géodésique nulle de transport, et kv, un vecteur tangent à la ligne d'univers de l'observateur avec v la 4-vitesse de l'observateur. C'est dans la veine du "k-calculus" de Bondi : https://en.wikipedia.org/wiki/Bondi_k-calculus

La 4-vitesse transportée correspond à un étalon de durée de l'objet (on peut par exemple considérer qu'il se produit un tic d'horloge au pied du vecteur et que le tic d'horloge suivant se produit sur la flèche du vecteur) et le vecteur tangent à la ligne d'univers de l'observateur correspond à la durée apparente de cet étalon de durée de l'objet pour l'observateur (au pied du vecteur le premier tic est reçu et à la flèche du vecteur le second tic est reçu, les tics voyageant le long de la géodésique nulle servant au transport et qui n'est autre que la ligne d'univers de la lumière allant de l'objet à l'observateur).

On aura la relation vectorielle w=-u+kv. Son carré scalaire donne
w²=u²-2ku.v+k²v²
w est de genre nul donc w²=0
u et v sont des 4-vitesses donc u²=v²=1
le produit scalaire u.v est simplement le facteur de Lorentz, cosh eta, avec tanh eta la vitesse relative entre l'objet transporté parallèlement et l'observateur
Il vient donc k²-2k cosh eta+1=0, dont la résolution donne k = exp(eta), avec eta positif si w est dans le sens passé vers futur et négatif sinon.
J'accorde que ce serait plus clair avec un schéma. Peut-être demain.

Dans le cas d'un espace-temps plat, le transport parallèle est une simple translation et un facteur de Lorentz entre objet transporté et observateur est supérieur à 1 si et seulement si il y a une variation de distance entre l'objet et l'observateur.
eta>0 correspond à une distance qui augmente, 1 seconde de l'objet est vue en k=exp(eta)>1 seconde par l'observateur, c'est le redshift
eta<0 correspond à une distance qui diminue, 1 seconde de l'objet est en k=exp(eta)<1 seconde par l'observateur, c'est le blueshift

Quand l'espace-temps est courbe, les choses se compliquent parce que le transport parallèle n'étant plus une simple translation, il n'y a plus de lien direct entre facteur de Lorentz et variation de distance : on peut avoir variation de distance avec facteur de Lorentz valant 1 et distance constante avec facteur de Lorentz supérieur à 1.
Par exemple, pour le décalage d'Einstein, l'objet et l'observateur sont stationnaires à des altitudes différentes au-dessus d'un astre, leur distance reste constante, mais après transport parallèle le long d'une géodésique nulle, la 4-vitesse de l'objet est comme si celui-ci s'éloignait si il est en-dessous de l'observateur, et comme si il se rapprochait si il est au-dessus.

Pour le redshift cosmologique, l'objet et l'observateur sont comobiles, donc leur distance augmente proportionnellement à l'augmentation du facteur d'échelle a. Après transport parallèle le long d'une géodésique nulle, la 4-vitesse de l'objet est comme si celui-ci s'éloignait, et à une vitesse qui ne correspond pas à l'augmentation de distance (sans quoi on pourrait simplement se dire que l'objet et l'observateur s'éloignent simplement dans un espace-temps plat)
En effet, si on a k=1+z=1/a, la vitesse apparente de récession sera sauf erreur de tanh(ln(1/a)), avec a le facteur d'échelle à l'époque où est observé l'objet (et qui vaut 1 par convention à l'époque où l'observateur reçoit la lumière de l'objet).
On pourrait exhiber des cas particuliers intéressants dans un univers en expansion, par exemple, celui d'un objet non comobile tel que sa distance à l'observateur ne varie pas mais qui pourtant est vu avec un redshift ou un blueshift (il faudrait calculer pour savoir et la réponse dépendra peut-être du modèle et/ou de l'époque), ou celui d'un objet non comobile qui est vu sans redshift mais dont la distance à l'observateur est pourtant en train de varier (pareil, il faudrait calculer pour savoir dans quel sens).

m@ch3

[Gilgamesh]

La réponse de Gilgamesh me laisse perplexe quand il invoque l'expansion de l'univers pour expliquer la dilatation du temps

Que l'expansion modifie la longueur d'onde de la scène; ça c'est clair, mais la question porte sur le temps dont la mesure est modifiée par la gravitation.

Si l'on fait cuire l'oeuf (j'adore l'exemple) à proximité d'un trou noir (donc avec un champ gravitationnel intense) et que l'on observe la scène à une distance constante de 100 al. (donc là il n'y a pas d'expansion qui intervienne) L'observateur va bien mesurer que l'oeuf met plus que 3 mn à cuire ?

L'expansion crée une espèce de déplacement "apparent" puisque la distance entre deux points augmente au fil du temps (toutes choses égales par ailleurs) .
Du coup cette augmentation de la distance dans le temps génère une vitesse "apparente". En supposant la vitesse d'éloignement constante (ce qui n'est pas le cas en réalité) est ce que l'on a du coup un effet relativiste sur la mesure du temps ?

Application numérique pour illustrer tout ça :

Si on imagine que Bob poursuive ses activités culinaires à proximité de Sgr A* le trou noir central de la Voie Lactée,
de masse M = 4,3.10⁶ M_☉
et de rayon de Schwarzschild R_s = 2GM/c² ~ 12 Mkm
et qu'il se place à l'altitude h ~ 10 km au dessus de l'horizon, le décallage d'Einstein sera de :

dt/dⲧ = 1/√(1 – R_s/(R_s+h)) ~ 1100

avec dt le temps coordonnée (mesuré au chronomètre d'Alice) et dⲧ le temps propre (mesuré à la montre-bracelet de Bob).

Bon, techniquement ce point d'altitude h est en dessous du rayon de la dernière orbite stable pour un trou noirs statique, donc Bob ne pourra stationner à cette altitude que si Sgr A* est à sa rotation maximale (ce qu'on ignore).


Dernière solution : Bob embarque dans une fusée qui l'amène à une vitesse v/c = 0,999999586776773 par rapport à Alice.
Le décallage relativiste sera là encore de :

dt/dⲧ = 1/√(1 – (v/c)²) ~ 1100

[Tartempion314]

Merci tous les deux de m'avoir rafraichi l'esprit sur le décalage d'Einstein.

Je suis maintenant d'accord avec les deux versions de la cuisson de l'oeuf proposées par Gilgamesh

Pour mach3, c'est bien complet en examinant plusieurs situations mais j'ai effectivement du mal à me représenter le triangle u,v,w.
POur ce qui est des cas particuliers proposés à la fin, oui effectivement ils sont surprenants