système de coordonnées global

[invite5456133e]

La question que je voudrais poser ici, à savoir "qu'est-ce qu'un système de coordonnées globales (ou global?)?" est née dans la discussion sur "le temps et l'espace", mais d'abord posons-nous celle-ci: qu'est-ce qu'un système de coordonnées du point de vue mathématique?
En physique moderne la description des phénomènes se fait en langage mathématique; aussi est-t-il nécessaire de rattacher les descriptions pphysiques à des notions mathématiques. À ma connaissance, un système de cooordonnées est une notion physique qui ne correspond à aucune définition mathématique, mais peut-être est-il possible de faire cette liaison; ce qui nous permettrait de passer d'une approche physique de l'espace à sa définition mathématique.
Merci d'avance de vos réponses!
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[invite5456133e]

qu'est-ce qu'un système de coordonnées du point de vue mathématique?

En suivant mmy et Wikipedia on obtient cette définition "En mathématiques, un système de coordonnées permet de faire correspondre à chaque point d'un espace à N dimensions, un N-uplet de scalaires."
La question résiduelle serait donc dans le local et le global: existe-t-il des coordonnées locales et des coordonnées globales, ou existerait-il un système local et un système global?

[invitea29d1598]

salut,

La question que je voudrais poser ici, à savoir "qu'est-ce qu'un système de coordonnées globales (ou global?)?"

un système de coordonnées qui recouvre tout l'espace(-temps). On sait que dans le cas d'un espace(-temps) courbe cela n'existe pas nécessairement. Par exemple, il n'y en a pas pour une sphère (en tant qu'espace bidimensionnel): si tu prends la latitude et la longitude, tu es obligé d'exclure un pôle et il te faut deux "cartes" (c'est le nom que donnent les mathématiciens aux systèmes de coordonnées locaux) pour recouvrir l'ensemble de la sphère.

qu'est-ce qu'un système de coordonnées du point de vue mathématique?

la définition de wikipédia me semble assez claire.

À ma connaissance, un système de cooordonnées est une notion physique qui ne correspond à aucune définition mathématique,

[invitea29d1598]

salut

croisement entre nos messages

La question résiduelle serait donc dans le local et le global: existe-t-il des coordonnées locales et des coordonnées globales, ou existerait-il un système local et un système global?

il existe toujours au moins un système local (si tu considères un espace "continu", ce que l'on nomme une variété), mais pas toujours un système global. Cf. la sphère.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

La définition du Wiki me semble demander quelques développements.

Petit essai :

Je proposerais la définition suivante : un système de coordonnées global d'un espace topologique E est un homéomorphisme entre cet espace et un sous-ensemble de Rⁿ muni de la topologie induite de la topologie usuelle de Rⁿ.

Avec cette définition, le système latitude/longitude est exclu : c'est bien une bijection entre S₂ et, par exemple, ]-pi, pi[x[0,2pi[ + (pi, 0) + (-pi, 0), mais ce n'est pas un homéomorphisme.

Dans la définition proposée, n n'est pas précisé. Si on accepte n'importe quel n, il y a des s.c.g. de la sphère, en prenant n=3 par exemple.

La contrainte "n est la dimension de l'espace E" reste donc à clarifier. Pour cela on impose une structure de variété topologique, avec la contrainte suivante : tout point de E possède un voisinage qui est homéomorphe à Rⁿ tout entier.

D'où finalement :

1) Soit E une variété topologique de dimension n, c'est à dire un espace topologique tel que tout point de E possède un voisinage qui est homéomorphe à Rⁿ tout entier.

2) Un système global de coordonnées est un homéomorphisme entre E et un sous-ensemble de Rⁿ.

[On pourrait amoindrir la définition, en se contentant d'une application continue de Rⁿ dans E. Cela permet par exemple d'avoir un s.g.c. pour le tore. Et peut-être même pour la sphère?]

Cordialement,

[invite0fb72cf8]

Dans la définition proposée, n n'est pas précisé. Si on accepte n'importe quel n, il y a des s.c.g. de la sphère, en prenant n=3 par exemple.

La contrainte "n est la dimension de l'espace E" reste donc à clarifier.

Effectivement, ça pose problème. Je crois que le mieux, pour définir la dimension, c'est de dire que la dimension de l'espace est la dimension de son plan tangent en n'importe quel point. Là, tu n'as plus cette ambiguité.

[invitea29d1598]

salut,

Dans la définition proposée, n n'est pas précisé.

bah si : il est dit que c'est la dimension de l'espace considéré

Si on accepte n'importe quel n, il y a des s.c.g. de la sphère, en prenant n=3 par exemple.

euh, oui mais non... par définition quand on a un système de coordonnées, il y a un point pour tout n-uplet. C'est une bijection. Si tu prends un système à 3 coordonnées indépendantes pour décrire un espace à 2 dimensions, ça tient pas la route... ce que tu fais c'est considérer la sphère comme plongée dans un espace de plus grande dimension, mais cela n'a plus rien à voir avec un système de coordonnées sur la sphère.

Cela permet par exemple d'avoir un s.g.c. pour le tore. Et peut-être même pour la sphère?

si tu en trouves un je pense qu'il faut pas que tu attendes pour publier

Effectivement, ça pose problème. Je crois que le mieux, pour définir la dimension, c'est de dire que la dimension de l'espace est la dimension de son plan tangent en n'importe quel point. Là, tu n'as plus cette ambiguité.

non, c'est l'inverse : on démontre en géo dif que l'espace tangent a la même dimension que la variété. Et pas l'inverse.

[invite5456133e]

Je proposerais la définition suivante : un système de coordonnées global d'un espace topologique E est un homéomorphisme entre cet espace et un sous-ensemble de Rⁿ muni de la topologie induite de la topologie usuelle de Rⁿ.

Quand en physique on dit qu'il existe un système de coordonnées, ne faut-il donc pas lire qu'il existe d'abord un espace topologique E de dimension n et ensuite un homéomorphisme entre E et Rⁿ? Ce que je veux dire c'est qu'on parle surtout de l'homéomorphisme en oubliant l'espace E et sa structure, notions que je trouve plus explicites quant à la description du monde.
Salut!

[invité576543]

bah si : il est dit que c'est la dimension de l'espace considéré

Sans définir la notion...

Je ne cherchais pas à contredire la définition, juste à la préciser.

si tu en trouves un je pense qu'il faut pas que tu attendes pour publier

Je pense que tu as mal lu le message. Je parlais d'une définition amoindrie, non bijective.

Genre pour le tore, f(x,y) = f(x+a, y+b). C'est bien continu, mais pas une bijection. A part le côté non bijectif, cela a toutes les propriétés d'un système de coordonnées, et cela peut être utile.

Cordialement,

[invité576543]

Ce que je veux dire c'est qu'on parle surtout de l'homéomorphisme en oubliant l'espace E et sa structure, notions que je trouve plus explicites quant à la description du monde.

Bien d'accord. Les notions majeures sont variété topologique et dimension 4, pas la notion de coordonnées.

Cordialement,

[invitea29d1598]

salut,

Sans définir la notion...

parce que la notion de dimension d'un espace est assez claire, non ? je veux dire : dans chaque définition où le mot dimension apparaît, il est logique de ne pas retrouver la définition de ce terme...

Je pense que tu as mal lu le message. Je parlais d'une définition amoindrie, non bijective.

Genre pour le tore, f(x,y) = f(x+a, y+b). C'est bien continu, mais pas une bijection. A part le côté non bijectif, cela a toutes les propriétés d'un système de coordonnées, et cela peut être utile.

oui, effectivement. Et c'est parfois aussi appelé "système de coordonnées" même si c'est mal défini en certains points. Mais la bijection est importante pour pouvoir définir la notion de différentiabilité sur une variété. Autrement dit, on peut effectivement utiliser des coordonnées globales tels que tu le proposes pour le tore (ça marche même très bien pour la sphère), mais après on a pas mal de problèmes pour étudier le comportement de fonctions définies sur cet espace.

[invité576543]

parce que la notion de dimension d'un espace est assez claire, non ?

De fait, non. Cette discussion a été démarrée suite à des questions sur le sujet. Dans la discussion originale la personne ayant démarré le fil semble avoir des difficultés avec la notion.

Et donner des réponses claires pas trop techniques n'est pas facile.

La seule définition claire que je connaisse est celle que j'ai indiquée, la notion de voisinage homéomorphe à Rⁿ tout entier. Mais je classe cela comme technique. Une définition plus "intuitive", plus "vulgarisation", serait utile.

Par ailleurs, cela fait des années que je me pose des questions de fond sur cette notion, à cause du rôle très particulier qui est ainsi donné à R, et cette importance centrale de R dans nombre d'aspects de la topologie (dont les variétés!) m'intrigue, alors que R est usuellement défini algébriquement. (Cette interrogation est visible dans quelques fils que j'ai lancé dans les années qui précèdent, visant à une définition topologique de R qui justifierait sa pré-éminence.

Cordialement,

[invitea29d1598]

salut,

pas le temps de relire tout ce qui à mené à ça donc je réponds juste sur quelques points :

Et donner des réponses claires pas trop techniques n'est pas facile.

si on parle pas d'espaces mathématiques trop sioux, je vois pas de difficulté

Mais je classe cela comme technique. Une définition plus "intuitive", plus "vulgarisation", serait utile.

et celle qui consiste à traduire avec les mains ce que tu disais avant n'est pas clair ? : "tu as n dimensions s'il te faut au minimum n nombres indépendants pour repérer sans ambiguïté la position d'un point"... ça me paraît pas si technique que ça...

Par ailleurs, cela fait des années que je me pose des questions de fond sur cette notion

laquelle ? celle de dimension ou de coordonnées ?

[invité576543]

et celle qui consiste à traduire avec les mains ce que tu disais avant n'est pas clair ? : "tu as n dimensions s'il te faut au minimum n nombres indépendants pour repérer sans ambiguïté la position d'un point"... ça me paraît pas si technique que ça...

C'est à peu de chose près la proposition qui a amené Rik a lancé ce fil, ou Médiat à en questionner les bases mathématiques.

Mais la définition par le voisinage est locale : c'est déterminer sans ambiguïté la position d'un point "pas trop loin" (avec une notion de "loin" mal définie).

Le théorème qui dit que la dimension d'une variété topologique est unique ne paraît pas simple (je n'arrive pas à la suivre).

laquelle ? celle de dimension ou de coordonnées ?

Dimension. Pourquoi R. La relation entre dimension et degré de liberté.

Plus profondément, mais faudrait quelques dizaines de lignes pour développer, le fait (il me semble) qu'une variété topologique peut être munie d'une infinité de structures différentielles distinctes. Qu'une trajectoire (une sous-variété de dimension 1 dans une variété topologique de dimension >1) puisse avoir une tangente dans une structure différentielle mais pas dans une autre.

Cela est basée sur l'existence, qui me semble correcte (mais j'en cherche une...), de fonctions de R dans R continues nulle part dérivables : un passage d'une structure différentielle à une autre. Qu'est-ce qui détermine le choix de la structure différentielle de l'espace-temps? (Mon idée de réponse : rien, elles sont équivalentes, on en choisit une sans savoir qu'on la choisit, comme outil pour des calculs, rien d'autre.)

Mais la question de la différentiabilité est un cran plus loin que la notion de système de coordonnées... Pour un autre fil, un jour!

Cordialement,

[invite0fb72cf8]

Bonjour à tous,

Je ne suis pas trop d'accord avec tout les commentaires qui disent que seule la topologie de l'univers compte. Ce n'est pas vrai, je développerais ce point plus tard...

Plus profondément, mais faudrait quelques dizaines de lignes pour développer, le fait (il me semble) qu'une variété topologique peut être munie d'une infinité de structures différentielles distinctes.

Exact, et c'est facile à voir. Si tu prends une variété différentielle, et que tu la déforme avec une fonction différentiable, tu trouveras une autre variété différentiable qui aura la même topologie que l'autre. Si tu déformes par une fonction continue mais pas nécessairement différentiable, tu auras une nouvelle variété topologique, mais elle n'aura pas nécessairement de structure différentielle (facile à voir si tu envoie une sphère sur un cube: tu perds la tangente sur les arêtes).

Qu'est-ce qui détermine le choix de la structure différentielle de l'espace-temps? (Mon idée de réponse : rien, elles sont équivalentes, on en choisit une sans savoir qu'on la choisit, comme outil pour des calculs, rien d'autre.)

Non, toutes les structures différentielles ne sont pas équivalentes, parce que de ta structure différentielle va découler le tenseur métrique qui sera contraint par les équations d'Einstein. Maintenant, il existe de nombreuses solutions (différents systèmes de coordonnées), mais ces systèmes de coordonnées donneront toujours la même physique.

A+

Ising

[invité576543]

Si tu déformes par une fonction continue mais pas nécessairement différentiable, tu auras une nouvelle variété topologique

Il me semble que c'est la même variété topologique.

, mais elle n'aura pas nécessairement de structure différentielle

Mais pas la même variété différentielle.

Et c'est là que le système de coordonnées intervient : la "structure différentielle" est donnée, du moins dans la présentation usuelle, par un système de coordonnées.

La structure en elle-même est juste la variété topologique. Elle devient une structure différentielle par un choix de système de coordonnées. Et c'est troublant dans le cas de l'espace-temps, parce que le système de coordonnées n'est pas un objet physique. C'est quelque chose que nous, observateurs, ajoutons pour organiser la variété topologique.

D'où la question de fond : comment choisit-on la structure différentielle?

Non, toutes les structures différentielles ne sont pas équivalentes, parce que de ta structure différentielle va découler le tenseur métrique

Mais la notion de tenseur métrique est aussi un ajout. Comme le choisit-on, d'où vient-il? C'est la même question en fait.

qui sera contraint par les équations d'Einstein.

Comment peux-tu montrer qu'il n'existe pas deux structures différentielles non compatibles (i.e., se transformant continument l'une en l'autre mais -au pire- nulle part dérivablement) et toutes deux respectant une telle équation?

toujours la même physique

Comment définis-t cela rigoureusement?

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J'ai une proposition de réponse personnelle : même physique = même prédictions au-delà d'une certaine échelle. Et alors oui, deux structures différentielles d'une même variété topologique vont donner "la même physique" à condition de les modifier d'une manière qui ne change que les prédictions en-dessous une certaine échelle.

Si on prend le cas d'un cube et d'une sphère, il est facile de transformer très légèrement le système de coordonnées du cube pour en faire un dérivable dans le système de coordonnées de la sphère en gardant les propriétés du cube au-delà d'une certaine échelle.

Vu comme cela, le choix de R, le choix de définir les variétés topologiques à partir de R est dirigé par le but d'en faire une variété différentielle permettant un modèle dans lequel des équations différentielles permettent des calculs (et donc des prédictions), mais ce au-delà d'une certaine échelle.

Et, in fine, pour revenir au fil, ce n'est pas nécessairement correct de dire qu'un système de coordonnées permet de repérer chaque point de l'espace-temps : seulement une zone d'une taille inférieure à une certaine échelle, adaptée aux sortes de prédictions considérée comme intéressante.

Ou encore, en parlant de système de coordonnées on se repère non pas dans l'espace-temps, mais dans une approximation plus ou moins grossière de l'espace-temps, approximation définie par le système de coordonnées lui-même, puisque c'est le système de coordonnées qui détermine la structure différentielle.

Cordialement,

[invite0fb72cf8]

Salut Michel (mmy)

Effectivement, pour mon premier exemple, j'ai du laisser passer une coquille. Quand tu déformes une variété différentielle par une fonction continue, ta structure topologique va rester identique, mais tu pourras changer voir détruire ta structure différentielle.

Si tu déformes ta variété avec une fonction dérivable, tu obtiendras la même variété, à un changement de coordonnées près. En ce sens, les changement de coordonnées ne sont pas physiques, parce qu'ils laissent la structure différentielle intacte.

C'est la même chose pour l'univers. Tu sembles dire que l'univers n'a qu'une structure topologique, et que c'est nous qui lui donnons une structure différentielle en choisissant un système de coordonnées. Je pense que c'est inexact: d'un coté, il existe des espaces topologiques qui n'admettent pas de structure différentielle (par exemple, le cube, mais on peut trouver des trucs bien pires), et surtout, la structure différentielle est nécessaire pour définir certains objets physiques naturels, comme des vitesses ou des champs de vecteurs (via le plan tangent).

Là où je suis d'accord avec toi, c'est pour dire que le choix de coordonnées n'est pas physique. Ce qui est physique, c'est grosso modo et de façon pas du tout rigoureuse les classes d'équivalences de systèmes de coordonnées.

Cordialement,

Ising

ps: je continuerais mon message plus tard. Là, je dois filer

[invité576543]

C'est la même chose pour l'univers. Tu sembles dire que l'univers n'a qu'une structure topologique, et que c'est nous qui lui donnons une structure différentielle en choisissant un système de coordonnées. Je pense que c'est inexact:

Je ne sais pas ce qui est exact ou inexact. Mon interrogation est de comprendre d'où vient la structure différentielle.

d'un coté, il existe des espaces topologiques qui n'admettent pas de structure différentielle (par exemple, le cube, mais on peut trouver des trucs bien pires)

Pas d'accord du tout. Le cube, en tant que variété topologique, peut être muni d'une structure différentielle, celle de la sphère.

, et surtout, la structure différentielle est nécessaire pour définir certains objets physiques naturels, comme des vitesses ou des champs de vecteurs (via le plan tangent).

C'est évidemment le but. Mais qu'est-ce qui permet de parler d'objets physiques naturels? Ce sont certainement des notions utiles à l'activité de modélisation, mais le mot naturel a d'autres connotations.

Là où je suis d'accord avec toi, c'est pour dire que le choix de coordonnées n'est pas physique.

Tu écris cela, mais par ailleurs tu parles de vitesse comme "naturelle". Qu'est-ce qui permet de dire que si on muni (localement) l'espace-temps de deux systèmes de coordonnées non dérivables l'un par rapport à l'autre, la notion de vitesse est conservée?

Ce qui est physique, c'est grosso modo et de façon pas du tout rigoureuse les classes d'équivalences de systèmes de coordonnées.

Certes. Mais je suis en présence de deux équivalences : celle par simple continuité, non nécessairement dérivable (la variété topologique) et l'autre conservant la différentiation (variété différentielle).

Laquelle est physique?

Cordialement,

[invitea29d1598]

salut,

pas le temps de lire ou répondre donc je fais juste une remarque en passant :

Certes. Mais je suis en présence de deux équivalences : celle par simple continuité, non nécessairement dérivable (la variété topologique) et l'autre conservant la différentiation (variété différentielle).

Laquelle est physique?

tout dépend de la théorie dans laquelle tu te places. Car dans l'absolu, aucun des deux ne l'est. Toute théorie quantique de la gravitation (ce qui est donc "plus physique" que toutes les théories admises actuellement) semble impliquer que la notion d'espace-temps n'est pas fondamentale mais plutôt émergente. Auquel cas ni la continuité ni la différentiabilité ne sont "véritablement physiques". Si on reste en RG par contre, la différentiabilité est fondamentale pour pouvoir définir le tenseur de Riemann et ses amis.

[invite5456133e]

On pourrait amoindrir la définition, en se contentant d'une application continue de Rⁿ dans E.

Bon, OK ! mais alors quid du système de coordonnées local (ou locales)?
A+

[invité576543]

Bon, OK ! mais alors quid du système de coordonnées local (ou locales)?

Je ne comprends pas la question.

Cordialement,

[invite5456133e]

Salut à toi, mmy! et bonjour tout le monde!
Merci pour tes réponses. Je n'ai pas tout tout compris mais pour le global ça va à peu près; mais si "un système de coordonnées global d'un espace topologique E est un homéomorphisme entre cet espace et un sous-ensemble de Rⁿ ", comment est défini un système de coordonnées local (ou locales)? Quelle genre d'application définit ce système?
A+

[invité576543]

comment est défini un système de coordonnées local (ou locales)? Quelle genre d'application définit ce système?

C'est exactement pareil. Quand on parle de local, on se restreint à une sous-variété, et il suffit de la considérer en tant que variété, non?

Cordialement,

[invite5456133e]

Quand on parle de local, on se restreint à une sous-variété, et il suffit de la considérer en tant que variété, non?

Cordialement,

Mais t'es plus rapide que l'éclair, toi, pour répondre! "variété" c'est ce que je craignais; je ne maîtrise pas bien cette notion, je te remercie et je vais voir ça de plus près.
A+

[invité576543]

pour répondre! "variété"

J'aurais dû écrire "espace topologique", cela suffit.

Le point était surtout de dire que "local" à un espace, c'est la même chose que "global" à un sous-espace (ouvert). Ainsi, si on a bien défini la notion de système de coordonnées global, on a ipso facto défini la notion de système de coordonnées local.

Cordialement,

[invite5456133e]

Ainsi, si on a bien défini la notion de système de coordonnées global, on a ipso facto défini la notion de système de coordonnées local.

Bonjour tous les gens!
Est-ce que l'on pourrait-il avoir un exemple, pour comprendre?
Salut et merci de toute façon!

[invité576543]

Est-ce que l'on pourrait-il avoir un exemple, pour comprendre?

Si tu prends un sphère S2, un système de coordonnées local autour d'un point P sur cette sphère peut être vu comme s'appliquant à un ouvert contenant P, par exemple un domaine délimité par une ligne qui entoure strictement P .

Mais cet ouvert est une variété topologique, pour la topologie induite, et le système de coordonnées local, au sens de la sphère, est alors un système de coordonnées global de cette variété topologique.

Cordialement,

[invite5456133e]

Mais cet ouvert est une variété topologique, pour la topologie induite, et le système de coordonnées local, au sens de la sphère, est alors un système de coordonnées global de cette variété topologique.

Ben si tu le dis, c'est que ça doit être vrai!

[invite5456133e]

En d'autres termes ça ne m'éclaire en rien! C'est sûrement trop compliqué pour moi.
Merci quand même!