Zénon, une fois de plus

[Amanuensis]

Salut à tous,

Une variante du paradoxe de Zénon, avec la course poursuite.

Soit trois particules A, B, C aux sommets d'un triangle équilatéral de côté de longueur d, chacune se déplaçant à une vitesse de module constant v et orientée vers la suivante (A vers B, B vers C et C vers A).

On montre qu'elles se rencontrent au centre O en un temps fini d/v, et donc parcourent une longueur finie d.

Pourtant, si on regarde leur mouvement autour du centre, on calcule qu'au bout d'un tour elles sont à kh du centre pour un certain k<1 et h la distance au centre au début, au bout du second à k²h, du troisième à k³h, etc. Autrement dit, chaque tour fait perdre la même fraction de la distance au centre au début du tour. Cette distance ne peut être réduite à 0 qu'au bout d'un nombre infini de tours.

Comment peuvent-ils atteindre le centre en un temps fini ?

On a là le paradoxe de Zénon, bien sûr, mais avec une particularité qui est que le découpage en tranches n'est pas artificiel, mais parfaitement physique : ce découpage est déterminé par les rotations autour du centre.

Que se passe-t-il physiquement, alors?

[En espérant que c'est nouveau sur ce forum ???]
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[Médiat]

Que se passe-t-il physiquement, alors ?

En parlant de particule et de "physiquement", pour maintenir une vitese à module constant, n'allez-vous pas avoir besoin d'une énergie infinie (en considérant les particules comme ponctuelles, mais sinon la distance au centre ne peut être égale à 0, donc plus d'infini) ?

[invite29cafaf3]

On montre qu'elles se rencontrent au centre O en un temps fini d/v, et donc parcourent une longueur finie d.

Et si la particule est un photon ?

[Amanuensis]

En parlant de particule et de "physiquement", pour maintenir une vitesse à module constant, n'allez-vous pas avoir besoin d'une énergie infinie (en considérant les particules comme ponctuelles, mais sinon la distance au centre ne peut être égale à 0, donc plus d'infini) ?

Comme la vitesse reste constante en module, l'énergie cinétique est constante.

Et, oui, effectivement, l'hypothèse "ponctuelles" est cruciale. (Ce qui est la raison pour laquelle j'ai choisi des particules plutôt que des chiens qui se courent après, ou autre présentation usuelle de la course poursuite).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je corrige une erreur de mon message #1 : la distance parcourue est d dans le cas de quatre poursuiveurs en carré. Le nombre de poursuiveurs n'a aucune importance dans le "paradoxe", pour peu qu'ils se disposent en un polygone régulier, mais le nombre influence des valeurs comme la distance à parcourir.

[Amanuensis]

Comme la vitesse reste constante en module, l'énergie cinétique est constante.

Pour développer ce point, la vitesse étant de module constant, l'accélération est toujours perpendiculaire à la vitesse, il n'y a pas de transfert d'énergie via cette force.

Reste à voir l'énergie potentielle, ce qui amène des questions difficiles sur l'origine de la force qui courbe les trajectoires. Mais même dans ce cadre, je ne vois pas de raison pour l'apparition d'une énergie infinie.

Ce qui n'implique pas, évidemment, l'inexistence d'autres infinis physiquement douteux !

[Médiat]

Pour développer ce point, la vitesse étant de module constant, l'accélération est toujours perpendiculaire à la vitesse, il n'y a pas de transfert d'énergie via cette force.

Je vous fais confiance sur ce point, mais je ne m'explique toujours pas :

l'origine de la force qui courbe les trajectoires. Mais même dans ce cadre, je ne vois pas de raison pour l'apparition d'une énergie infinie.

Et pourtant le rayon de courbure diminue et tend vers 0, cela peut-il se faire sans apport d'énergie (ou d'autre chose) ?
En tout état de cause, la vitesse angulaire, elle tend vers l'infini, j'imagine que cela doit poser des problèmes.

[invitebdf515f4]

Bonjour,

Il me semble que le module de la vitesse linéaire est constant, mais la vitesse angulaire elle, augmente. Donc, la durée d'un tour diminue. Il s'agit donc bien du paradoxe de Zénon : en considérant un tour après l'autre, on fige le temps. Considérer un nombre infini de tours n'est pas obligatoirement "non physique", a partir du moment ou la durée d'un tour tend vers 0 (c'est un calcul de convergence que je vous laisse).

A part ça, il y a peut-être d'autres considérations physique qui empêchent cette expérience, comme la nature de cette force centrale. Mais, en première approche, je ne vois pas d'impossibilité physique évidente.

[Amanuensis]

J
Et pourtant le rayon de courbure diminue et tend vers 0, cela peut-il se faire sans apport d'énergie (ou d'autre chose) ?

Je ne pense pas, c'est à dire je n'arrive pas à voir où cela serait nécessaire, mais il se peut que je manque quelque chose.

En tout état de cause, la vitesse angulaire, elle tend vers l'infini, j'imagine que cela doit poser des problèmes.

Maintenant, la vitesse angulaire dont il est question dépend du point d'origine choisi. Pour tout objet on peut choisir un "point origine" pour obtenir une vitesse angulaire aussi grande que l'on veut, suffit de le choisir proche sur la perpendiculaire à la tangente, la vitesse angulaire étant alors , avec r la distance entre le point de référence et le mobile. Vu comme cela, la vitesse angulaire contient une part d'arbitraire, et l'infini est artificiel, non physique.

Par ailleurs, même si l'objet n'était pas ponctuel, on peut toujours supposer une rotation propre nulle, autrement dit ne pas exiger que le chien ait toujours son axe queue-tête dans la direction du mouvement. Ce qui supprime l'évolution vers l'infini de la résultante du torseur cinématique. Malcommode, certes, mais physiquement acceptable.

[Amanuensis]

Donc, la durée d'un tour diminue. Il s'agit donc bien du paradoxe de Zénon : en considérant un tour après l'autre, on fige le temps.

Pour moi, c'est différent : on ne "fige" pas le temps, justement. On se contente de noter les instants de passage sur une droite radiale par exemple. C'est une observation objective, il n'y a pas justement de choix arbitraire d'instants de mesure, qui est ce que je comprends par "figer le temps".

Considérer un nombre infini de tours n'est pas obligatoirement "non physique", a partir du moment ou la durée d'un tour tend vers 0 (c'est un calcul de convergence que je vous laisse).

Aucun doute que le modèle mathématique montre la convergence de la série !

A part ça, il y a peut-être d'autres considérations physique qui empêchent cette expérience, comme la nature de cette force centrale. Mais, en première approche, je ne vois pas d'impossibilité physique évidente.

C'est bien la question.

[Médiat]

Pour tout objet on peut choisir un "point origine" pour obtenir une vitesse angulaire aussi grande que l'on veut

J'avoue n'avoir pas pensé à cela, mais,

Maintenant, la vitesse angulaire dont il est question dépend du point d'origine choisi.

Le centre de courbure de la trajectoire n'est-il pas un point privilégié ?

[Amanuensis]

J'avoue n'avoir pas pensé à cela, mais,
Le centre de courbure de la trajectoire n'est-il pas un point privilégié ?

Oui.

Ce qui met en avant la courbure de la trajectoire et ses implications physiques. Le centre du cercle osculateur peut être vu comme une construction mathématique, ainsi que le cercle lui-même, il me semble (pas de relation physique particulière entre le mobile et ce point) ; mais la courbure de la trajectoire est certainement un attribut significatif de la trajectoire.

Et la courbure, inverse du rayon du cercle osculateur, tend vers l'infini dans le cas traité...

[invite15928b85]

Bonjour.

Personnellement, je ne connais aucune loi physique qui contraigne la cinématique pure d'un mouvement.
Je ne vois pas en quoi une vitesse angulaire tendant vers l'infini serait un problème, dans les limites du modèle bien entendu ....

[Amanuensis]

Ici l'accélération diverge indéfiniment en module.

En effet, à module de vitesse constant, le module de l'accélération est proportionnel à la courbure de la trajectoire.

La question suivante est donc si une accélération non bornée déroge à une loi physique.

J'ai lu quelque part que oui, via la relativité générale. Faut que je retrouve la source.

[invite15928b85]

D'accord sur la divergence de l'accélération mais cela signifie simplement, à mon sens, qu'un modèle basé sur le concept de particule ponctuelle s’avère insuffisant pour décrire la situation de bout en bout.

Des particules réelles finiront par interagir, par entrer en collision. Si elles ont une charge électrique, elles rayonneront et perdront de l'énergie... On ne s'est d'ailleurs pas préoccupé de la façon dont un tel mouvement pouvait être obtenu.

Je n'ose pas parler de relativité générale, par incompétence.

Plus généralement,tout problème de cinématique, et donc de géométrie, est-il tel quel la solution d'un problème de mécanique, je n'en suis pas persuadé.

Cordialement

[Amanuensis]

D'accord sur la divergence de l'accélération mais cela signifie simplement, à mon sens, qu'un modèle basé sur le concept de particule ponctuelle s’avère insuffisant pour décrire la situation de bout en bout.

Des particules réelles finiront par interagir, par entrer en collision. Si elles ont une charge électrique, elles rayonneront et perdront de l'énergie... On ne s'est d'ailleurs pas préoccupé de la façon dont un tel mouvement pouvait être obtenu.

Tout à fait d'accord !

C'est en ligne avec mon idée sur la question depuis le début.

Plus généralement,tout problème de cinématique, et donc de géométrie, est-il tel quel la solution d'un problème de mécanique, je n'en suis pas persuadé.

J'irais plus loin : cet exemple, plus que le paradoxe de Zénon usuel, fait apparaître un infini qui semble "observable". Et je pense qu'il y aura toujours dans la physique une "obstruction" à ce genre de chose.

La question pour moi était de cerner où pouvait bien être cette obstruction, et je pense que la divergence à l'infini de l'accélération est la bonne piste.