Les standards de la démonstration de maths ont-il changé ?

[invite452d5a24]

Bonjour,

Pourquoi je pose la question : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90195m/f54.image

p 50-51, dans le cours de Cauchy, une démonstration du TVI, qui n'est plus une démonstration selon nos standards actuelle.

J'ai appris (par Michel Coste) que Cauchy avait commis des erreurs dans ce cours, donc cela ne constitue pas une preuve du changement de standard entre notre époque et celle de Cauchy.

Mais j'ai appris, également, par le professeur David Roberts que :

Euclid assumed things he never even stated as axioms.

He assumes in proposition 1 that circles intersect in points. But Euclid's stated axioms are satisfied by , IIRC. More generally, mathematicians used to assume things that followed from physical intuition.

Sachant que Michel Coste (prof émérite à Rennes) soutient mordicus, qu'il n'y a pas de changement dans le standard de la démonstration.

Et vous, qu'en pensez-vous ?
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[invitedd63ac7a]

J'ai appris (par Michel Coste) que Cauchy avait commis des erreurs dans ce cours, donc cela ne constitue pas une preuve du changement de standard entre notre époque et celle de Cauchy

Il y a le problèmes de la rigueur notion toute relative et liée à une époque. Cauchy faisaient des démonstrations rigoureuses, conformes de son point de vue et aux connaissances qu'il avait. Par exemple, les concepts de fonctions continues et dérivables sont, à son époque, embryonnaires, il est normal qu'ils ne se pose pas trop de questions et reste souvent intuitif à leur sujet dans ses démonstrations : il ne se rend pas compte des problèmes liés parce que les outils et concepts qui pourraient l'aider ne sont pas encore créés. On peut donc dire qu'il n'y a pas de changement de standard de la démonstration. Aujourd'hui les démonstrations de Cauchy ne nous paraissent plus correctes.

[invite452d5a24]

Bonjour,

Prenons la première proposition d'Euclide dans les éléments :
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bp...Euclide.langFR





Il utilise sans supposer l'existence dans les axiomes, d'une fonction choix dans un ensemble de 2 sommets qui donneraient tout 2 un triangle équilatéral.

Je rappelle que disposer d'une fonction choix sur l'ensemble des parties de R, avec 2 éléments (2 parties de R), permet de fabriquer un bon ordre sur R, ce qui constitue une forme faible d'axiome du choix.

Bonne journée.

[invite9dc7b526]

ah non ça n'a rien à voir avec l'axiome du choix.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite452d5a24]

ah non ça n'a rien à voir avec l'axiome du choix.

Pouvoir choisir entre 2 éléments d'un ensemble (de 2 éléments) n'est pas anodin, en effet pouvoir le faire sur l'ensemble des parties de R entraine la construction d'un bon ordre sur R, ce qui constitue une forme faible d'axiome du choix.

[invite9dc7b526]

L'existence d'un bon ordre sur un ensemble à deux éléments ne nécessite aucun axiome supplémentaire.

[Médiat]

L'existence d'un bon ordre sur un ensemble à deux éléments ne nécessite aucun axiome supplémentaire.

Vous savez bien qu'il est inutile de perdre son temps avec les trolls (volontaires ou involontaires)

[invite51d17075]

Il me semble que Dattier a pris cela comme idée de référence :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome...d%C3%A9pendant
sauf que je ne vois pas le lien avec son fil initial, ni même sa propre interprétation.

[invite452d5a24]

L'existence d'un bon ordre sur un ensemble à deux éléments ne nécessite aucun axiome supplémentaire.

Non, il ne s'agit pas de cela, je mets en gras la partie importante, à laquelle tu n'as pas prêté suffisamment attention :

Pouvoir choisir entre 2 éléments d'un ensemble (de 2 éléments) n'est pas anodin, en effet pouvoir le faire sur l'ensemble des parties de R entraine la construction d'un bon ordre sur R, ce qui constitue une forme faible d'axiome du choix.

Je rappelle que disposer d'une fonction choix sur l'ensemble des parties de R, avec 2 éléments (2 parties de R), permet de fabriquer un bon ordre sur R, ce qui constitue une forme faible d'axiome du choix.

Tout cela pour dire qu'Euclide utilise une fonctions choix sur l'ensemble des ensembles avec 2, une fonction qui a toutes ensembles {a,b} de 2 points dans le plan, associe f({a,b}) un point dans {a,b}, sans supposer son existence dans les axiomes.

[Deedee81]

Salut,

Tout cela pour dire qu'Euclide utilise une fonctions choix sur l'ensemble des ensembles avec 2, une fonction qui a toutes ensembles {a,b} de 2 points dans le plan, associe f({a,b}) un point dans {a,b}, sans supposer son existence dans les axiomes.

C'est très loin d'être la seule lacune dans ses axiomes.
Compare les axiomes d'Euclide et ceux de Hilbert.
Y a pas photo.

[invite452d5a24]

Bonjour,

C'est très loin d'être la seule lacune dans ses axiomes.
Compare les axiomes d'Euclide et ceux de Hilbert.

Aujourd'hui, le standard des démonstrations de maths ne sont pas les même que des siècles en arrière, car par exemple plus rigoureuses.
Dans l'exemple d'Euclide, il fait le choix implicite d'intégrer dans ces axiomes, des choses issues de l'intuition physique et qui aujourd'hui devraient être déclaré, explicitement,dans la liste des axiomes.

Bonne journée.

[Deedee81]

C'est plutôt la rigueur qui a changé.

[mtheory]

Bonjour,



Aujourd'hui, le standard des démonstrations de maths ne sont pas les même que des siècles en arrière, car par exemple plus rigoureuses.
Dans l'exemple d'Euclide, il fait le choix implicite d'intégrer dans ces axiomes, des choses issues de l'intuition physique et qui aujourd'hui devraient être déclaré, explicitement,dans la liste des axiomes.

Bonne journée.

Les problèmes dans l'axiomatique d'Euclide, que je saches, ont été éliminés par Hilbert.
https://archive.org/details/foundati...00hilb/page/n5

[Deedee81]

Salut,

Oui, et je crois d'ailleurs que les mathématiciens ont toujours été conscient de la nécessité de la rigueur. Mais lors de la naissance d'une discipline, c'est difficile.
Outre la géométrie, on la vu aussi avec l'analyse (la justification rigoureuse des infinitésimaux par exemple, les fondations des calculs des intégrales avec les mesures, etc...) ou les ensembles (constructions axiomatiques, problèmes de consistance et de complétude, ...). Il a quand même fallu énormément de temps et de travail pour se rendre compte du caractère indécidable de certains axiomes qui ont une place centrale (comme le postulat des parallèles).

Il n'y a pas eut d'évolution des standards des démonstrations, même en plus de deux mille ans.
Tout ce qu'on a c'est la mise en place de théories mathématiques, et de leur amélioration au cours du temps. Ni plus, ni moins.

La seule véritable différence est qu'on en sait beaucoup plus maintenant (accumulation du savoir) et qu'il y a beaucoup plus de mathématiciens actuellement (faut dire que maintenant on est sept milliards sur Terre, de quoi avoir beaucoup de mathématiciens, ils étaient moins nombreux du temps d'Euclide ).
La différence est quantitative, pas qualitative.
Et oui, on constate une augmentation de la rigueur au cours du temps, mais là aussi c'est quantitatif et pas qualitatif et cela résulte amha de ce que je viens de dire : beaucoup plus de connaissances, beaucoup plus de mathématiciens. Les idées floues ne le restent pas longtemps et sont vites critiquées. ........ Même sur Futura

[invite452d5a24]

Bonjour,

Les problèmes dans l'axiomatique d'Euclide, que je saches, ont été éliminés par Hilbert.
https://archive.org/details/foundati...00hilb/page/n5

Justement, cela n'était pas un problème au 18e et avant, car la rigueur qu'on attend d'une démo de math n'est pas la même à ces époques et à la notre.
Ainsi à ces époques on acceptaient d'utiliser dans une démo de maths les "intuition physique" (comme Cauchy ou Euclide le font dans leurs démos) ce qui n'est plus le cas de nos jours, il faut que cela soit déclaré explicitement.

Il n'y a pas eut d'évolution des standards des démonstrations, même en plus de deux mille ans.
Tout ce qu'on a c'est la mise en place de théories mathématiques, et de leur amélioration au cours du temps. Ni plus, ni moins.

Non, et je ne demande pas que l'on me croit sur parole, j'en ai apporté la preuve avec la démo d'Euclide, que de nos jours on ne peut plus considérer comme démo de maths au vu du fait que l'"intuition physique" utiliser par Euclide n'est pas déclaré explicitement, comme le confirmait le professeur Roberts.

Bonne journée.

[Deedee81]

Non, et je ne demande pas que l'on me croit sur parole, j'en ai apporté la preuve avec la démo d'Euclide, que de nos jours on ne peut plus considérer comme démo de maths au vu du fait que l'"intuition physique" utiliser par Euclide n'est pas déclaré explicitement, comme le confirmait le professeur Roberts.

Peu importe la preuve : tu confonds standard des démonstrations et rigueur.
- Les méthodes de démonstration suivent toujours le même principe (inférences logiques, comme dans le style des syllogisme d'Aristote)
- La rigueur a largement augmenté (ce qui évite en effet de considérer certaines intuitions physique comme étant une évidence mathématique, ce fut longtemps le cas du postulat des parallèles)
Nul part il était écrit que "l'intuition physique peut servir de base à une démonstration mathématique". On ne trouve ça dans aucun écrit (*). Par contre, si on manque de rigueur on tombe facilement dans le piège de ce type d'intuition.
(*) Au contraire : on trouve dans les écrits de Aristote, Démocrite, Lucrèce, etc... des raisonnements purement logiques tentant de justifier certaines observations physique.
On trouve même ce type de raisonnement encore chez Descartes.
Preuve qu'ils ne confondaient pas.
(bon, le fait qu'ils se soient plantés dans les grandes largeurs, tous, même Descartes, est un autre problème )

Donc, bien entendu qu'une démonstration de l'époque ne serait plus acceptée. On ne dit pas le contraire.
Mais tu interprètes mal les raisons.

[invite452d5a24]

Donc, bien entendu qu'une démonstration de l'époque ne serait plus acceptée.

Cela tombe bien, car je ne signifie par autre chose, en disant les standards de la démonstration de math on changé.

Ainsi une démo correct à l'époque d'Euclide, peut-être à notre époque une démonstration qui ne serait plus accepté.

Bilan : il existe des démos de maths qui ont été accepté un jour et qui de nos jours ne son plus acceptés.

[invite9dc7b526]

Ce qui est intéressant c'est qu'à mesure que l'exigence de rigueur s'affermissait, les démonstrations jugées peu rigoureuses des mathématiciens passés (on cite souvent Euler ou Cauchy) ont été reprises, mais je crois que très peu de leurs résultats ont été invalidés. Ca ne signifie pas que la rigueur est inutile, parce que peut-être qu'ils étaient arrivés au bout de ce que leurs méthodes leur permettaient, mais en tout cas son absence a l'air de conduire rarement à des erreurs.

[Deedee81]

Cela tombe bien, car je ne signifie par autre chose, en disant les standards de la démonstration de math on changé.

Si c'est l'amélioration de la rigueur au fur et à mesure qu'on en savait plus que tu appelles "standard de démonstration", on est d'accord.
(on se demande quand même parfois où tu vas chercher tes expressions bizarres)

Mais ce n'est pas ce que tu disais, tu disais qu'ils acceptaient d'utiliser des infos issues de la physique (message 11 où tu dis qu'Euclide en a fait le choix). Or c'est faux : il n'a pas choisi du tout, c'était juste une erreur inconsciente due au manque de rigueur.

Mais bon, choix conscient ou pas c'est un détail sans doute

[Médiat]

Bonjour Deedee

Si c'est l'amélioration de la rigueur au fur et à mesure qu'on en savait plus que tu appelles "standard de démonstration", on est d'accord.

Scoop incroyable, les mathématiques ont évoluées depuis 2500 ans, mais scoop encore plus incroyable, la physique aussi, il paraît que le soleil ne tourne (à prendre au sens de l'époque) plus autour de la terre depuis quelques temps déjà, je crois que les chimiste ne cherche plus la pierre qu'il est possible de frotter sur du plomb pour le transformer en or, les biologistes pensent que la génération spontanée, pourtant bien pratique, ne serait que chimère, mais pire encore, il y a fort à parier que les pièces de Shakespeare ne seraient pas publiées aujourd'hui (vocabulaire désuet, tournure de phrases inutilement complexe, le tout donnant une allure de dandy prétentieux), sans compter qu'au moins une de ses pièces, si par miracle elle était publiée, se verrait immédiatement assignée en justice.

Passons sur le fait que l'on ne saurait pas choisir dans une paire de réels (ou dans une famille de paires de réels), ce point pouvant être compris dès le collège.

Une fois de plus quelle perte de temps pour les lecteurs et de crédibilité pour FSG...

[JPL]

Une fois de plus quelle perte de temps pour les lecteurs et de crédibilité pour FSG...

Pitié, ne confonds pas Dattier avec le forum !

[invite452d5a24]

Si c'est l'amélioration de la rigueur au fur et à mesure qu'on en savait plus que tu appelles "standard de démonstration", on est d'accord.

Ceux que je veux dire par là, c'est ceci :

Donc, bien entendu qu'une démonstration de l'époque ne serait plus acceptée.

1/ Passons sur le fait que l'on ne saurait pas choisir dans une paire de réels (ou dans une famille de paires de réels), ce point pouvant être compris dès le collège.

2/ Une fois de plus quelle perte de temps pour les lecteurs et de crédibilité pour FSG...

1/ Non, cette représentation du plan (comme couple de réels) n'était pas connu des grecs anciens, c'est me semble-t-il Descartes qui l'introduisit (repère cartésien)

2/ Je rappelle qu'il y a des matheux qui ne sont pas d'accord avec ce point, pour eux une démonstration accepté comme correct un jour, est accepté comme correct pour toujours, donc oui il y a matière à débat, sauf peut être pour toi, tu sembles d'accord avec ce point et tant mieux, mais ton point de vue ne représente pas celui de tous les lecteurs de ce forum, et si tu estimes que le sujet est sans intérêt, alors montre le en y participant pas, sinon si tu as des éléments nouveaux à apporter n'hésite pas.

3/ Je suis conscient que mon point de vue est minoritaire, mais il est solidement motivé, je n'attends qu'une chose, vos contre arguments ou l'accord de la modération sur :

une démonstration accepté comme correct un jour n'est pas forcément accepté comme correct pour toujours.

Si c'est le cas, alors le sujet peut-être clos, puisse que le débat serait terminé, sur un accord unanime avec mon point de vue.

[Médiat]

alors le sujet peut-être clos

Oui, mais on peut en ouvrir un autre : est-ce que l'eau mouille, moi je dis oui, mais j'attends vos contradictions.

A la modération : Beware the Trojan horse !

/1

Méthode habituelle du dattier en perdition

[pm42]

une démonstration accepté comme correct un jour n'est pas forcément accepté comme correct pour toujours.

Neige en novembre, Noël en décembre.

On doit pouvoir en faire pas mal comme ça. Ce qui est marrant effectivement et comme le remarquait Mediat, c'est qu'il a déjà dit ça plus haut, que présenté comme ça c'est excessif pour être gentil, du nawak Dattier canal habituel pour être réaliste...

Mais qu'il va continuer. Il ne faut pas le confondre avec le forum certes mais la tolérance envers les trolls récurrents qui n'apportent rien pourrait laisser un doute à quelqu'un qui passerait par là par hasard, aurait vu de la lumière et serait rentré.

[JPL]

Le problème est qu’il n’en est pas à son premier pseudo. Chassez-le par la porte, il revient par la fenêtre.

[JPL]

Discussion fermée.