Bonjour :
Pouvez vous m'aider à démontrer cette propriété ? :
"Si un nombre a est divisible par n et m, n et m premiers entre eux, alors il est divisible par le produit nm"
Il existe un entier relatif k tel que a=nk
Il existe un entier relatif k' tel que a=mk'
n et m sont premiers entres eux, leur diviseur commun est 1 ou -1
je ne sais pas pas comment faire après : par combinaison linéaire, par l'absurde ?
Merci de votre aide
Bonjour.
nk est divisible par m et m et n sont premiers entre eux ....
Cordialement.
On a nk=mk' Or comme m et n sont premiers entre eux k=m et k'= n d'où nm=a.
Est ce ça car sinon il est impossible de trouver d'autres valeure pour n et m...
Merci de votre aide
"comme m et n sont premiers entre eux k=m" ???
2x35=5x10. 2 et 5 sont premiers entre eux.
Tu n'as pas un théorème à ce propos dans tes cours (relis-les) ?
J'ai un théorème qui dit qu'un entier naturel est premier s'il admet deux diviseurs, un autres sur l'ensemble des nombres premiers qui est infini et un autre sur la décomposition en facteurs premiers.
Je ne vois pas le rapport ici.
Bonjour,
Si tu as un theoreme sur l'existence et l'unicité de la décomposition d'un nombre entier en nombre premiers (celui auquel tu semble faire allusion), alors tu peux user de celui ci pour résoudre ta question. Ca prend une ligne.
Bonjour,
Un nombre entier se décompose sous la forme d'un produit d'entier premier.
donc k doit se décomposer ou alors on peut directement décomposer a ?
Ce qui compte dans le theo que je mentionne c'est l'unicité de la decomposition. As tu un tel resultat? Si oui, alors use de la decomposition et identifie les facteurs.
Sachant que a=nk et a=mk' avec n et m premier, a se décompose sous la forme d'un produit de nombre premier unique donc a=m^q*n^p
Bonjour,
Est ce ça ou pas du tout ???
Merci bcp
Désolé,
mais je ne comprends pas pourquoi tu dis a=m^q*n^p . D'ailleurs, rien ne dit que m ou n soit premier.
Au programme de la TS spé maths, il y a un "théorème de Gauss". Tu n'as pas ça dans ton cours ???
Bonjour,
Non nous n'avons pas fait le théorème de Gauss encore.
Enfaite on a dit que a=mk et a=nk' (d'après énnoncé). Or un entier se décompose de manière unique sous la forme d'un produit de facteurs premiers. n et m étant des facteurs premiers de a, a s'écrie donc a=nm (et on rajoute les puissances qui sont des entiers naturels). C'était ça ma démarche.
Cordialement
PS : notre prof ne nous a pas demandé de le démontrer mais comme j'ai croisé ce cas dans un exercice, j'ai voulu le démontrer.
" a s'écrie donc a=nm"ne pas confondre écrire et écrier.
"n et m étant des facteurs premiers de a" Non ! Encore une fois m et n n'ont pas de raison d'être des entiers premiers. Apprends tes leçons pour faire la différence entre "premier" et "premiers entre eux".
Et n'importe comment, même si m et n sont premiers, mn n'a aucune raison d'être égal à a : 54 est divisible par 2 et 3 et n'est pas égal à 6.
Tu me donnes l'impression de chercher à dire n'importe quoi en espérant que par hasard "ce soit ça". On dirait que tu n'as jamais calculé avec des entiers.
Dernière modification par gg0 ; 26/10/2015 à 11h20.
Je viens d'aller voir dans le livre.
En effet avec ce théorème c'est tout de suite beaucoup plus simple...
Cependant peut on le faire autrement qu'avec le théorème de Gauss car c'est pour cela que je cherchais dans tous les sens mais je ne trouve pas d'autres moyens.
tu as ta réponse.Envoyé par gg0
attention, je me demande si tu ne confonds pas "premiers" et "premiers entre eux".
oui mais à partir de ça, il faut utiliser le théorème de Gauss n'est ce pas ?
Bon, je te donne une solution detaillée n'utilisant pas le theoreme de Gauss (depuis quand ce resultat s'appelle theoreme de Gauss au lieu de lemme d'Euclide?)
Ecrivons n comme produit des p_k^a_k et m comme produit des q_k^b_k. Comme n et m sont premiers entre eux les q_k apparaissant avec a_k non nuls, sont differents de p_k apparaissants avec b_k non nuls.
Ecrivons a=produit des p_k^i_k q_n^j_n.a' avec a' premier avec tous les p_k et q_j
Comme n divise a on a i_k>=a_k et comme m divisie a on a j_n>=b_n et par suite on a nm divise a.
