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Récurrence et démonstration spé maths



  1. #1
    zoultaka

    Récurrence et démonstration spé maths


    ------

    Bonjour
    Pour chacune des affirmations suivantes dites si elle est vraie ou fausse en justifiant.

    1- Si n>2, n(n+1)(n+3) est divisible par 12.
    Récurrence mais je bloque a l'hérédité.

    2- Pour tout entier naturel *, 2n^2+11 a pour reste 11 dans la division par n.

    3- Si a et b ont meme reste dans la division par c, alors a^2 et b^2 ont aussi meme reste dans la division par c.

    Je ne sais comment faire merci de votre aide ..

    -----

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  3. #2
    Tryss

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    Tu aura du mal à montrer que n(n+1)(n+3) est divisible par 12, puisque 4(4+1)(4+3) = 4*5*7 qui ne peut pas être divisible par 12=4*3

    Pour la 2, quel est le reste de la division de 2n par n? Puis le reste de la division de 2n*n par n, et enfin le reste de la division de 2n²+11 par n?

    Pour la 3, il faut écrire a=k*c + r et b = k'*c + r, calcule alors a² et b²

  4. #3
    zoultaka

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    Oui, mais pour la récurrence on commence a n=3 donc dois je commencer la recurrence et dire ensuite qu'elle est fausse ou je calcule pour n=3 et ensuite n=4 ?

    Reste de 2n par n = 2, reste de 2n*n par n = 2n , reste de 2n²+11 par n = 2n + 11 ?

    a²= (k*c)² + r² et b² = (k'*c)² + r²

  5. #4
    Tryss

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    Oui, mais pour la récurrence on commence a n=3 donc dois je commencer la recurrence et dire ensuite qu'elle est fausse ou je calcule pour n=3 et ensuite n=4 ?
    Il ne sert à rien de faire une récurrence pour montrer qu'un truc est faux. En maths, un contre exemple suffit.

    Donc tu dis simplement "L'affirmation est fausse, car pour n=4, n(n+1)(n+3) n'est pas divisible par 12"

    Reste de 2n par n = 2, reste de 2n*n par n = 2n , reste de 2n²+11 par n = 2n + 11 ?
    Non. Quel est le reste de la division de 10=2*5 par 5? Le reste de la division de 14=2*7 par 7?

    Si tu prends un nombre quelconque a, que tu le multiplie par n, est ce que a*n ne serrait pas divisible par n?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    phys4

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    Question 1 : il est possible de montrer que pour n pair, n(n+1)(n+3) n'est pas divisible par 12

    Question 2 : la proposition pour tout entier naturel n'exclut pas les nombres de 1 à 11, pour lesquels le reste ne peut pas être 11

    Question 3 : très simple avec la méthode Tryss.

    Au revoir à vous.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  8. #6
    zoultaka

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    10=2*5 par 5 ==> 5 ? 14=2*7 par 7 ==> 7 ? et pour a*n je ne comprends pas

  9. Publicité
  10. #7
    phys4

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    Le reste de la division de 2*n*n par n vaut évidemment zéro, les restes de la division de 11 par 5 ou 7 lui ne vaut pas 11.

    Pour la question 3 il faut poser la division de r*r par c : r*r = c*q' + r' et en déduire le reste commun de a*a et b*b.

    Courage.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  11. #8
    zoultaka

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    Pourquoi le reste de la division de 2n*n vaut O ? J'ai pas trop compris là ..

  12. #9
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    ################ faute de frappe
    Dernière modification par ansset ; 16/10/2011 à 11h39.

  13. #10
    phys4

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    Citation Envoyé par zoultaka Voir le message
    Pourquoi le reste de la division de 2n*n vaut O ? J'ai pas trop compris là ..
    La formule générale de la division c'est dividende = diviseur * quotient + reste
    La solution quotient, reste étant unique avec reste < diviseur

    La division de 2*n*n par n donne : 2*n*n = n *(2*n) + 0
    donc le reste vaut zéro.
    Je ne peux faire plus clair.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  14. #11
    zoultaka

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    Donc me suffit de dire : Comme dans la division de 2n*n par n, le reste vaut 0, dans la division de 2n*n+11 le reste vaut 0 ?

    Et pour le 3 je fais comment ?
    Merci

  15. #12
    zoultaka

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    2n^2+11
    n=1
    2*1^2+11 / 1 = 13
    donc la propriété est fausse ?

  16. Publicité
  17. #13
    phys4

    Re : Récurrence et démonstration spé maths

    Citation Envoyé par zoultaka Voir le message
    Donc me suffit de dire : Comme dans la division de 2n*n par n, le reste vaut 0, dans la division de 2n*n+11 le reste vaut 0 ?
    Non, quand le dividende est une somme, le reste est la somme des restes s'il est plus petit que le diviseur, par conséquent le reste de la division de 2n*n +11 est le reste de la division de 11 par n.
    Il vaut 11 si n > 11, mais pour n <= 11, le reste vaut 11 -n. La proposition telle que vous l'avez formulée est donc fausse.
    Et pour le 3 je fais comment ?
    Merci
    Faites comme disait Tryss et n'oubliez pas le double produit dans les carrés. Vous trouverez deux termes dans lesquels c est en facteur. Le dernier terme est r*r

    Les restes des divisions des carrés sont donc aussi le reste de division de r*r par c. Est ce suffisant ?
    Comprendre c'est être capable de faire.

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