5+7=12

[BIG136]

Bonjour,

Est-ce 5+7=12 une connaissance expérimentale ou à priori (comme le dit Kant) ?

-Expérimental? Pour quoi?
-A priori? Pour quoi?

D'avance merci.
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[Deedee81]

Salut,

A part répondre sur l'aspect historique ou sur la formalisation théorique (Peano, etc.) je vois mal comment répondre à ça. La philosophie n'est pas autorisée sur Futura.

[polo974]

c'est noté sur combien?

le coté expérimental en maths, c'est soit pour l'enseignement (introduction d'une notion), soit pour explorer des objets mathématiques (chouette dossier) sous forme de jeu ou de recherche.

sinon, ton assertion 5+7=12 n'est juste qu'en base 10...

[Deedee81]

Salut,

Il y a je pense trois aspects.
- D'une part : d'où viennent les nombres en mathématiques et les propriétés qu'on leur attribue. La réponse est évidemment historique (on a observé, compté, et plaqué sur ce comptage les nombres connus)
- D'autre part la représentation des nombres. 5, 7, 12 ne sont que des symboles qu'on met en relation avec les nombres au sens abstrait. Sans cette relation, 5+7=12 n'est ni plus expérimental ni plus a priori que table + atchoum = glaglagla. Et évidemment la question dépend de si on considère cette représentation littérale ou les propriétés des nombres abstraits. La remarque que tu fais sur la base rentre tout à fait dans cette catégorie car la base fait partie des représentations de ces nombres. Et bien entendu j'ignore ce à quoi Kant faisait référence (*).
- Enfin, il y a la formalisation qu'on en a fait avec Peano et ses axiomes. https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

(*) La question fait référence à Kant mais en dit très peu. Impossible de trancher sur une citation et encore moins sur un "comme le dit".
Donc amha on ne peut répondre à la question posée qu'en se plongeant dans les écrits de Kant. Ce que je ne peux que conseiller à BIG136 s'il veut avoir une bonne note Mais qu'on ne pourra pas approfondir ici. Non pas qu'on n'aide pas pour les devoir. Mais parce que c'est de la philo, c'est hors thématique sur Futura.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

- D'autre part la représentation des nombres. 5, 7, 12 ne sont que des symboles qu'on met en relation avec les nombres au sens abstrait.

Le plus simple est de l'écrire s(s(s(s(s(0))))) + s(s(s(s(s(s(s(0))))))) = s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0))))) ))))))) (pas de problème de symboles non clairement défini, ni de base)

C'est donc un savoir déduit d'un système déductif et d'axiomes)

[minushabens]

on peut avancer que 12 est une notation pour 10+2, et donc le résultat en question est que 5+7=10+2. C'est un savoir certainement ancien.

[noir_ecaille]

sinon, ton assertion 5+7=12 n'est juste qu'en base 10...

Elle reste vraie avec d'autres bases mais s'écrit différemment.

Ex :
- en base octale on l'écrit 5 + 7 = 14
- en base hexadécimale on l'écrit 5 + 7 = C

NB : En l'absence de précision à quelque endroit que ce soit, c'est à considérer en base 10.

[noir_ecaille]

- D'une part : d'où viennent les nombres en mathématiques et les propriétés qu'on leur attribue. La réponse est évidemment historique (on a observé, compté, et plaqué sur ce comptage les nombres connus)

Les nombres sont un peu plus "concrets" que ça. La notion de nombre nu est abstraite ; la quantité correspondant à ce nombre, beaucoup moins C'est aussi vieux que les premiers animaus à avoir pu compter -- soit c'est une synapomorphie héritée d'un ancêtre commun avec les arthropodes, soit de toute évidence plusieurs ancêtres dans plusieurs lignées ont découvert les "nombres"/quantités dénombrables par homologie.

- D'autre part la représentation des nombres. 5, 7, 12 ne sont que des symboles qu'on met en relation avec les nombres au sens abstrait.

Pour résumer : une représentation. Ces représentations (écritures) sont même des idéogrammes à la base, au contraire d'un alphabet qui représente des sons (phonèmes ou syllabes) ou des signes de ponctuation qui représentent un découpage (rythme de lecture, articulation des prépositions, ets).

La remarque que tu fais sur la base rentre tout à fait dans cette catégorie car la base fait partie des représentations de ces nombres.

Presque ? Disons que la relation reste vraie mais son écriture peut varier. Cependant c'est toujours préciser quelque part quand on s'écarte de la base numérique par défaut.

Et bien entendu j'ignore ce à quoi Kant faisait référence (*).

(*) La question fait référence à Kant mais en dit très peu. Impossible de trancher sur une citation et encore moins sur un "comme le dit".
Donc amha on ne peut répondre à la question posée qu'en se plongeant dans les écrits de Kant. Ce que je ne peux que conseiller à BIG136 s'il veut avoir une bonne note Mais qu'on ne pourra pas approfondir ici. Non pas qu'on n'aide pas pour les devoir. Mais parce que c'est de la philo, c'est hors thématique sur Futura.

D'après Kant, tout ce qui est analytique est "déjà connu a priori", faisant fi justement de l'analyse elle-même. Pour lui seule l'expérience serait une acquisition de connaissance. Très discutable car un développement analytique n'est pas qu'une récitation même "explicative". Justement les mathématiques et la logique sont très friandes de développements analytiques et autres démonstrations, d'où nous tirons après coup (donc pas "a priori") des conclusions. En sorte que faire participer Kant à l'analyse des mathématiques, c'est limite comme lasser ses deux chaussures ensembles et s'appréter à sprinter derrière.

[noir_ecaille]

Le plus simple est de l'écrire s(s(s(s(s(0))))) + s(s(s(s(s(s(s(0))))))) = s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0))))) ))))))) (pas de problème de symboles non clairement défini, ni de base)

C'est donc un savoir déduit d'un système déductif et d'axiomes)

Quelle est cette notation ? J'aimerais en comprendre la logique

[mach3]

Quelle est cette notation ? J'aimerais en comprendre la logique

voir ici par exemple :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_successeur

m@ch3

[Médiat]

Quelle est cette notation ? J'aimerais en comprendre la logique

C'est la définition "logique" de nombre entier (cf. le lien de mach3, et Peano), une connaissance minimale pour en parler, non ?

[Deedee81]

En sorte que faire participer Kant à l'analyse des mathématiques, c'est limite comme lasser ses deux chaussures ensembles et s'appréter à sprinter derrière.

Celle là je note.

[noir_ecaille]

@Médiat et mach3

Merci C'est plus facile à lire maintenant

[karlp]

D'après Kant, tout ce qui est analytique est "déjà connu a priori", faisant fi justement de l'analyse elle-même. Pour lui seule l'expérience serait une acquisition de connaissance. Très discutable car un développement analytique n'est pas qu'une récitation même "explicative". Justement les mathématiques et la logique sont très friandes de développements analytiques et autres démonstrations, d'où nous tirons après coup (donc pas "a priori") des conclusions. En sorte que faire participer Kant à l'analyse des mathématiques, c'est limite comme lasser ses deux chaussures ensembles et s'appréter à sprinter derrière.

Bonjour Noir Ecaille, bonjour à tous.

Pardonnez moi, Noir Ecaille, d'apporter une petite correction. Une mauvais traduction de la CRP a pu vous laisser croire qu'il n'y avait,selon Kant, d'acquisition de connaissances qu'avec l'expérience. Il s'oppose au contraire aux empiristes en affirmant la possibilité de jugements synthétiques a priori: "5+7 = 12" est justement un exemple d'un tel jugement synthétique a priori (Kant estime que la représentation des nombres est a priori et que c'est par l'application des catégories pures a priori de l'entendement à ces représentations a priori que sont obtenus les jugements arithmétiques).
La meilleure objection que l'on puisse lui adresser consiste à constater que l'intuitionnabilité des objets n'est pas une condition sine qua non de la construction mathématique (cf. géométries non euclidiennes).
Amicalement.

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,

l'intuitionnabilité des objets n'est pas une condition sine qua non de la construction mathématique (cf. géométries non euclidiennes).

Je voudrais préciser deux points :

1) L'intuition, en tant qu'outil de la création mathématiques, n'est, non seulement, pas requise, mais peu aussi être un obstacle à cette création
2) L'intuition, toujours en tant qu'outil, évolue en permanence, à la première marche elle s'appuie sur "l'expérience", "le monde sensible", mais chaque marche suivante s'appuie sur les précédentes, dont le monde sensible peut paraitre totalement exclu (l'intuition de l'infini chez un logicien n'a rien de comparable, avec celle d'un physicien (par exemple)).

[karlp]

Bonsoir très cher Médiat

Bonjour très cher karlp,


Je voudrais préciser deux points :

1) L'intuition, en tant qu'outil de la création mathématiques, n'est, non seulement, pas requise, mais peu aussi être un obstacle à cette création
2) L'intuition, toujours en tant qu'outil, évolue en permanence, à la première marche elle s'appuie sur "l'expérience", "le monde sensible", mais chaque marche suivante s'appuie sur les précédentes, dont le monde sensible peut paraitre totalement exclu (l'intuition de l'infini chez un logicien n'a rien de comparable, avec celle d'un physicien (par exemple)).

1) Qu'il s'agisse de l'intuition au sens kantien (possibilité de se représenter un objet au travers de la forme a priori de l'espace ou du temps) ou au sens plus généralement retenu aujourd'hui, je suis définitivement convaincu que l'intuition est très souvent (voire un peu plus) un obstacle épistémologique majeur : toute l'histoire des mathématiques semble conspirer à le démontrer ! Je crois qu'il est effectivement fondamental de toujours garder ce fait à l'esprit (qu'on ne se voie pas refuser une hypothèse sous prétexte qu'elle serait "contre intuitive" ou que son objet ne serait pas "représentable à travers l'espace -euclidien: celui de notre sensibilité - ou le temps")

2) Ce que vous dîtes correspond tout à fait à ce que j'ai dû endurer lorsque j'ai pris des cours sur les transfinis
Je devais régulièrement m'arrêter, longuement, sur la marche où le vertige me prenait, avant de repartir

[Médiat]

(qu'on ne se voie pas refuser une hypothèse sous prétexte qu'elle serait "contre intuitive" ou que son objet ne serait pas "représentable à travers l'espace -euclidien: celui de notre sensibilité - ou le temps")

J'apprécie fortement cette remarque, puisqu'elle évoque irrésistiblement les travaux de Woodin pour savoir si l'hypothèse du continu est "vraie ou non", question que seul un platonicien fanatique () peut se poser et, comme dit Krivine, est du même ordre que la question du sexe des anges ; en effet Woodin et sont équipe chercheraient un axiome "qui ne soit pas contrintuitif" et qui permettrait de déduire HC ou son contraire (évidemment, pour lui (car c'est très personnel), l'hypothèse du continu elle-même, est contrintuitive).

(Personnellement, moi qui n'en avait pas (ou pas beaucoup ) je vois là un argument fort contre le platonisme mathématique)

[invite84127968]

Bonjour très cher karlp,


Je voudrais préciser deux points :

1) L'intuition, en tant qu'outil de la création mathématiques, n'est, non seulement, pas requise, mais peu aussi être un obstacle à cette création
2) L'intuition, toujours en tant qu'outil, évolue en permanence, à la première marche elle s'appuie sur "l'expérience", "le monde sensible", mais chaque marche suivante s'appuie sur les précédentes, dont le monde sensible peut paraitre totalement exclu (l'intuition de l'infini chez un logicien n'a rien de comparable, avec celle d'un physicien (par exemple)).

Cela me fait penser à cette démarche sans fin:


Dans la formule s(s(s(s(s(0))))) + s(s(s(s(s(s(s(0))))))) = s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0))))) ))))))) on peut se passer de zéro en le nommant autrement, par exemple n si on le défini tel que n=s(n)+p(n) ? p étant prédécesseur?

[Médiat]

on peut se passer de zéro en le nommant autrement

Je ne sais plus si c'est Boris Vian ou un autre pataphysicien qui l'a révélé, mais il paraît que William Shakespeare n'a jamais existé, ses pièces ont été écrites par un inconnu, du nom de William Shakespeare !

[invite84127968]

Je ne sais plus si c'est Boris Vian ou un autre pataphysicien qui l'a révélé, mais il paraît que William Shakespeare n'a jamais existé, ses pièces ont été écrites par un inconnu, du nom de William Shakespeare !

L'important est le fait qu'il soient pataphysiciens. Bref on peut ne pas écrire 0 ce sera 0 quand même.

[Médiat]

on peut ne pas écrire 0 ce sera 0 quand même.

Et donc, le plus simple ...
On peut très facilement écrire les axiomes de Peano sans symbole de constante, donc sans le 0, mais c'est débile et sans aucun intérêt.

[invite84127968]

Et donc, le plus simple ...
On peut très facilement écrire les axiomes de Peano sans symbole de constante, donc sans le 0, mais c'est débile et sans aucun intérêt.

Cela permet de sortir d'un attachement aux nombres tel que l'on peut les voir d'un point de vue culturel, franchir une première marche peut-être?

[Médiat]

0 n'est pas le nombre le plus facile à voir, son histoire le démontre

[invite84127968]

Oui ce n'est pas rien comme aurait pu dire un pataphysicien non nommé DEVOS qui trouvait un sens à tout

[Verdurin]

Est ce que Devos était pataphysicien ?
J'ai un doute.

[Médiat]

Non, il n'est pas sur la liste

[invite84127968]

Est ce que Devos était pataphysicien ?
J'ai un doute.

Et pourtant ma phrase est tout à fait juste.

[karlp]

J'apprécie fortement cette remarque, puisqu'elle évoque irrésistiblement les travaux de Woodin pour savoir si l'hypothèse du continu est "vraie ou non", question que seul un platonicien fanatique () peut se poser et, comme dit Krivine, est du même ordre que la question du sexe des anges ; en effet Woodin et sont équipe chercheraient un axiome "qui ne soit pas contrintuitif" et qui permettrait de déduire HC ou son contraire (évidemment, pour lui (car c'est très personnel), l'hypothèse du continu elle-même, est contrintuitive).

(Personnellement, moi qui n'en avait pas (ou pas beaucoup ) je vois là un argument fort contre le platonisme mathématique)

J'étais "tombé" l'an dernier sur un article de JP Delahaye (dans "Pour la science") qui traitait de la recherche de cet axiome "intuitivement" satisfaisant. J'avais trouvé cette idée surprenante, voire choquante.
Je crois bien que c'est à vous que je le dois, et dont je vous suis redevable

[Médiat]

Très cher karlp,

J'ai lu cet article, et en lisant entre les lignes, il m'avait semblé que JP Delahaye, n'était pas en accord parfait avec la démarche de Woodin (peut-être ai-je surinterprété certains signes )

[karlp]

Très cher karlp,

J'ai lu cet article, et en lisant entre les lignes, il m'avait semblé que JP Delahaye, n'était pas en accord parfait avec la démarche de Woodin (peut-être ai-je surinterprété certains signes )

Votre remarque me fait le plus grand plaisir: j'avais la même impression (mais n'étant pas assez versé dans le sujet, je m'inquiétais de ce que cela ne vienne de l'opinion positive que j'ai de M. Delahaye).
J'ai cru observer que, de manière générale, il se montrait plutôt "objectif".