Problème (niveau classe de seconde C des années 1960).
Utilisation des éphémérides lunaires de 2024, 2023, 2022, etc ... pour déterminer statistiquement une valeur approchée de la distance moyenne Terre-Soleil D.
On note a la valeur moyenne en degré de l'angle d'Aristarque de Samos : c'est l'angle (TSL) lorsque la Lune est en PQ, qui se confond quasiment avec l'angle (TSH), H étant la projection orthogonale du centre de gravité L de la Lune sur le plan de l'ecliptique (facile à prouver mathématiquement).
1) Faire une figure plane TRÈS SOIGNÉE représentant [par des points] les phases de la Lune NL, PQ et PL,, où doit aussi figurer le Soleil.
2) La Lune ne tournant pas de façon régulière autour de la Terre, il FAUT considérer ses vitesses angulaires moyennes w' entre NL et PQ, w" entre PQ et PL, et w entre NL et PL.
De plus il est nécessaire pour sauver la méthode d'Aristarque, de faire l'hypothèse toute simple que voici : w # (w'+ w")/2
a) Soit t * la valeur moyenne statistique du temps mis par la Lune pour passer de NL en PQ, et T* pour aller de NL en PL, lors des années 2024, 2023, 2022, etc ... (il est conseillé de faire les calculs sur une période de 10 ans au moins).
On admet que la vitesse angulaire moyenne de la Terre reste quasi-constante autour du Soleil pendant une demi-lunaison.
Utiliser la figure (en y nommant les angles utiles), et mon hypothèse avec un signe = (en place de #), avec les valeurs statistiques w'*, w"*et. w*, pour écrire une relation entre a et q, où q = t*/T*
Écrire cette relation sous la forme a = f(q) où f est une forme factorisee simple (et toujours positive ou nulle).
b) On pose E * = T* - 2t*
Vérifier que T * est voisin de 29,53 : 2 = 14,765 jours et que IE*I (valeur absolue de E*) est compris entre 1 et 2 jours (ça ne marche pas pour l'année 2024 seule, mais c'est vrai pour 2023, 2022, et 2021, j'ai vérifié sur le site de Ouest-France, et vraisemblablement sur une période de 10 ans et plus).
En déduire un encadrement de a
c) Déduire du b) un encadrement de D.
3) Déterminer votre propre valeur de D, dont la précision dépendra du nombre d'années utilisées pour les éphémérides.
Bonne lecture à tous.
Cordialement.
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Envoyé par Professeur Essef 