Actualité : Une avancée sur le théorème de Pythagore ?

[philippedelimoges]

Bonjour à tous,

Lu ces deux articles sur deux ados usiennes qui ont présenté une nouvelle démonstration du théorème de Pythagore (l'affaire remonte à 2023 et les deux articles de vulgarisation qui suivent sont récents : le premier 2025 et le second 2024)
- https://sciencepost.fr/article-deux-...-de-pythagore/
- https://www.futura-sciences.com/scie...ssible-118253/
Article d'une revue de mathématiques publié en octobre 2024 qui officialise (valide) cette découverte : https://www.tandfonline.com/doi/full...70240#abstract

Perso, totalement ignorant en maths ... donc je laisse les pros sur ce domaine exprimer leur regard sur cette découverte.

Cordialement
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[ThM55]

Très intéressant.

Je viens de lire la première preuve, je la trouve originale et inattendue. En plus à mon avis inaccessible aux géomètres de l'époque d'Euclide, à cause de la sommation de la série. Ils ne l'auraient probablement pas jugée recevable, sauf peut-être Archimède?

[yves95210]

Je viens de lire la première preuve, je la trouve originale et inattendue. En plus à mon avis inaccessible aux géomètres de l'époque d'Euclide, à cause de la sommation de la série.

Oui, au même titre que l'argument auquel j'avais pensé (prendre la limite de la fonction définie sur ]0 , 90°[ par le rapport entre le côté adjacent et l'hypoténuse pour définir cos(90°)) pour contredire les auteurs quand elles affirment que la méthode "trigonométrique" au sens étymologique (i.e. mesure d'un triangle) ne permet pas de calculer le cosinus d'un angle droit. J'avais réalisé que cet argument n'était pas valable si on s'en tenait au maths de l'époque d'Euclide, mais c'est aussi ce que je me suis dit en lisant la première preuve présentée dans l'article (avant de voir ton message).

[MissJenny]

aujourd'hui dans la présentation qui en est faite au collège, le théorème de Pythagore est devenu une tautologie, puiqu'on définit l'orthogonalité comme la nullité du produit scalaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yves95210]

Au collège ?
Il me semble qu'avant d'introduire le produit scalaire, il faut avoir introduit les vecteurs et les espaces vectoriels...

J'ai recherché dans les programmes scolaires et les ressources en ligne, je vois que le théorème de Pythagore est bien introduit en 4e, mais à partir des aires, comme ici (c'est d'ailleurs à peu près comme ça que mon grand-père me l'avait fait "découvrir" il y a près de 60 ans, avant même que je sois au collège).

[ThM55]

Ayant été formé dans les années 1970 aux "maths modernes", je me souviens en effet avoir appris les vecteurs et les espaces vectoriels avant le théorème de Pythagore et ce dernier n'était qu'un corollaire assez évident des définitions. Mais les mathématiques ont plusieurs facettes, et on peut les prendre par plusieurs bouts.

[yves95210]

Ayant été formé dans les années 1970 aux "maths modernes", je me souviens en effet avoir appris les vecteurs et les espaces vectoriels avant le théorème de Pythagore et ce dernier n'était qu'un corollaire assez évident des définitions. Mais les mathématiques ont plusieurs facettes, et on peut les prendre par plusieurs bouts.

Oui, bien sûr. Mais certains bouts sont peut-être plus faciles à saisir pour la majorité des élèves de 4e...
Quant à moi, étant entré au collège en 67, j'ai échappé à deux ou trois ans près aux maths dites "modernes" (dans le verbiage de l'Education nationale des années 70).

[MissJenny]

c'est plus qu'un corollaire évident, c'est une tautologie. Si a et b sont deux vecteurs, a+b est le troisième côté du triangle et le produit scalaire de a+b par lui-même est (a+b).(a+b) = a.a + b.b + 2a.b et donc dire que a et b sont orthogonaux c'est dire que a.b = 0 ou que (a+b).(a+b). = a.a + b.b (Pythagore). Ca revient à définir un triangle rectangle comme un triangle qui vérifie le théorème de Pythagore.

Euclide lui définissait l'angle droit par le fait que 'l'angle à gauche" et l'angle à droite" (du carrefour si l'on veut) sont égaux.

[stefjm]

Ayant été formé dans les années 1970 aux "maths modernes", je me souviens en effet avoir appris les vecteurs et les espaces vectoriels avant le théorème de Pythagore et ce dernier n'était qu'un corollaire assez évident des définitions. Mais les mathématiques ont plusieurs facettes, et on peut les prendre par plusieurs bouts.

Bipoints équipollents comme classe d'équivalence pour la définition des vecteurs, idem avec les fractions comme classe d'équivalence de 2 entiers.

Au collège...

[CM63]

Ce qui est marrant c'est ça :

https://drive.google.com/file/d/1yjp...usp=drive_link

[ThM55]

Il me semble bien que c'était ce qu'en France on appelle le "collège" et qu'en Belgique on appelait à l'époque "les études moyennes", et maintenant (toujours en Belgique) "le tronc commun". En Belgique le "collège" est un lycée du réseau dit "libre" qui est en majorité confessionnel catholique et subventionné en échange du suivi des programmes, bizarre comme le vocabulaire a des acceptions tellement différentes dans les diffétents systèmes d'enseignement. C'était en troisième année des études secondaires en 1972, qui était appelée "la quatrième" à l'époque, comme en France actuellement. Voir le message #8 de MissJenny, c'est tautologique, une question de définition. Dès le début, on apprenait la théorie naïve des ensembles, les notions injection-surjection-bijection, les relations, les vecteur, comment les additionner, la structure d'anneau, celle de corps, etc. Tout cela a disparu, mes enfants ont appris les maths comme une corvée consistant à résoudre de manière répétitive des problèmes sans intérêt en appliquant des recettes. Personnellement, je trouve que c'était mieux avant .

Mais par la suite, à l'université, j'ai lu la géométrie de Hilbert qui m'a montré d'autres voies.

[ThM55]

Et j'ai encore un cahier de troisième avec la notion de produit scalaire et de norme ainsi que la démonstration des inégalités de Cauchy-Schwartz et de Minkowski. Donc il est possible que je me trompe et que cela a été vu en troisième et pas en quatrième.

[jiherve]

bonjour
pour moi qui commence à être vieux Pythagore c’était en 5eme ou 4eme les math modernes ne m'ont rattrapée qu'au lycée.
Ceci dit la démonstration des deux jeunes filles est assez étonnante et fort bien construite à ce que j'en ai compris.
JR

[ThM55]

Pour clarifier les remarques précédentes concernant les vecteurs dans un espace euclidien, je propose une petite analyse sur la nature de la géométrie telle que Hilbert l'envisageait dans son "fondements de la géométrie". Je ne prétends pas que mon analyse est très profonde, mon but est d'expliquer pourquoi on a deux types de "preuve", l'une triviale et l'autre pas, en tenant compte de l'analyse de Hilbert.

La démonstration de ces lycéennes doit être située dans un système axiomatique. Ce n'est pas très difficile, on connaît cela depuis l'antiquité: on peut partir d'Euclide ou, si on veut plus de cohérence, de Hilbert pour la géométrie. Hilbert ne démontre que très peu de théorèmes dans son traité, et pas celui de Pythagore car ce n'est pas ce qui l'intéresse. Son but avec cette reformulation, c'est fonder la géométrie sur une axiomatique dont il veut prouver la non-contradiction et ensuite analyser l'indépendance relative des axiomes pour voir comment axiomatiser des géométries de divers types (non euclidiennes, non désarguiennes, non archimédiennes etc) en relâchant certains axiomes. Pour y arriver, il classe les axiomes en 5 groupes (appartenance, ordre, congruence, parallèles et continuité) et il construit en dehors de ce système un autre, essentiellement, pour commencer, la géométrie analytique de Descartes, qu'il considère non comme une géométrie mais comme dérivée de l'arithmétique et de la théorie des nombres (algébriques, puis réels), et il montre qu'il vérifie ses axiomes de la géométrie si on fait la correspondance couple de réels - point et rapport de trois nombres-droite. Il suppose explicitement que ce second système est non contradictoire. C'est évidemment sa croyance dans la toute puissance de ses mathématiques formelles fondée sur les ensembles. Il "démontre" ainsi la non-contradiction de ses axiomes de la géométrie.

Dans ce cadre, avec cette correspondance, on peut arriver au théorème de Pythagore en une seule ligne, c'est en quelque sorte postulé dans la structure euclidienne de la géométrie de Descartes, c'est une tautologie. Mais on peut aussi, rien ne l'empêche, partir des axiomes de la géométrie et trouver une démonstration en géométrie synthétique. Celle-ci paraîtra sans doute inutilement complexe et artificielle si on la reformule en géométrie analytique, mais elle suscitera l'admiration par ses astuces et sa créativité dans le cadre d'Euclide-Hilbert.

[stefjm]

Et ne serait-ce que la définition pour l'aire d'un carré qui n'est pas si facile à justifier.