Récouvrement fréquentiel.

[invitedfb61b74]

Bonjour à tous,

je suis actuellement sur un TP dans lequel je dois représenter un sinus(2pi*f*t) ainsi que sa transformée de Fourier à différentes fréquences d'échantillonnage : 10Khz, 410Hz, 400Hz, 210Hz et enfin 190Hz.

On me demande ensuite de mettre en évidence et d'expliquer de manière analytique le phénomène de recouvrement. Seulement je crois que je n'ai pas bien saisis ce problème. J'ai pas trouvé grand chose sur le net non plus.
Alors concrètement, en quoi consiste le problème de recouvrement fréquentiel (aliasing), comment le remarque-t-on sur des graph tels que les miens, et analytiquement, comment l'explique-t-on ?

Merci d'avance .
Cordialement.

Clément.
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[invite936c567e]

Bonjour

Le phénomène de recouvrement apparaît dans le cas d'un échantillonnage (et plus généralement dans les transformations non linéaires) d'un signal.

Si le spectre du signal considéré s'étend de -f à +f et qu'on échantillonne à une fréquence F_e, alors le spectre du signal échantillonné aura pour allure une recopie du spectre du signal d'entrée autour de chaque harmonique de la fréquence d'échantillonnage.

Spectre du signal d'entrée :
      _    |    _
     / \   |   / \
____/___\__|__/___\________________________
      |    |    |
     -f    O   +f

Spectre du signal échantillonné :

      _    |    _         _         _     
     / \   |   / \       / \   |   / \        _    |    _     
____/___\__|__/___\_____/___\__|__/___\______/_\___|___/_\____
      |    |    |         |    |    |         |    |    |
     -f    O   +f       Fe-f   Fe  Fe+f    2Fe-f  2Fe   2Fe+f  ...

On observe un recouvrement fréquentiel lorsque f est supérieure à la moitié de F_e. Dans ce cas, les fréquences hautes de l'image du signal d'entrée autour d'un harmonique se mélangent avec les fréquences basses de l'image du signal autour de l'harmonique immédiatement supérieur.

recouvrement  recouvrement  recouvrement
    |             |             |
    v      |      v             |
  _   _    |    _   _         _ v    
 / \_/ \   |   / \_/ \   |   / \  _    |    _   _ 
/_______\__|__/_______\__|__/___--_\___|___/_---_\_
  |   |    |    |   |    |    |   |    |    |   |
f-Fe -f    O   +f Fe-f   Fe Fe+f 2Fe-f 2Fe 2Fe+f 3Fe-f...

[invite936c567e]

C'est la raison pour laquelle, lorsqu'on veut procéder à un échantillonnage (ou à une modulation) :
1- on filtre fortement le signal de manière à éliminer les fréquences hautes inutiles,
2- on choisit une fréquence d'échantillonnage (ou de modulation) supérieure au double de la plus haute fréquence du spectre du signal d'entrée.

[invitedfb61b74]

Super ! Compris le principe.

Maintenant, est-ce que cela a une conséquence visible sur le graph de la transformée de Fourier du signal considéré ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jack]

Maintenant, est-ce que cela a une conséquence visible sur le graph de la transformée de Fourier du signal considéré ?

Il me semble que ça apparait clairement dans le message#2 de PA5CAL.

A+

[invite936c567e]

Super ! Compris le principe.

Maintenant, est-ce que cela a une conséquence visible sur le graph de la transformée de Fourier du signal considéré ?

En fait, ça ne va pas être très évident dans ton cas.

Dans mon petit dessin, j'ai pris un spectre qui avait un minimum d'épaisseur afin de bien mettre en évidence le phénomène de recouvrement.

Mais dans ton cas, ton signal est une sinusoïde de fréquence f, c'est-à-dire dont le spectre est constitué d'une raie à +f (et d'une autre à -f). On n'a donc pas vraiment affaire à un recouvrement, mais plutôt à une sorte d'embouteillage de raies...

Je pense qu'il ne faut donc pas partir de l'exemple de la sinusoïde simple pour mener l'explication, mais raisonner sur un spectre plus large en indiquant que les signaux correspondants peuvent être considérés comme une somme de sinusoïdes, sinusoïdes auxquelles on peut appliquer individuellement les résultats de la première question (i.e. images du spectre autour des harmoniques de la fréquence d'échantillonnage).

[invite936c567e]

Toutefois, pour la sinusoïde seule, on peut dire qu'après échantillonnage sa raie spectrale ne se retrouve plus seule dans son voisinage, et donc qu'il faut considérer qu'il s'agit alors du spectre d'une fonction très nettement différente d'une sinusoïde.

[invitedfb61b74]

Pas tout à fais compris tes derniers posts Pascal.

Voila ce que j'obtiens sur MatLab pour sin(2*pi*200*t) avec n=1024 points de mesures et différentes fréquences d'échantillonnage :

Pour Fe=410 :
##########

Pour Fe=390 :

##########

La modulation s'estompe ensuite peu à peu jusqu'à Fe=200

Pour Fe=210 :
##########


Pour Fe=190 :
##########


Pascal (ou quelqu'un d'autre ) pourrait-il m'expliquer ces graphs ?

[Jack]

C'est bizarre. Déjà, ton signal même lorqu'il est sinusoïdal n'est pas à la bonne fréquence.

sin(2*pi*200*t), ca devrait donner une période de 5 ms. On en est loin d'après tes chronogrammes puisqu'on voit apareitre une période de 10 ms

Montre voir tes lignes de commande matlab.

[invite936c567e]

C'est toi qui devrais nous expliquer comment tu as obtenu ces graphes !

À gauche, on ne devrait pas voir de lignes droites reliant de cette façon les échantillons consécutifs.

À droite, ça ne ressemble pas vraiment aux spectres auxquels on doit s'attendre.

[Jack]

Bon, comme c'est mon jour de bonté, je te fais le boulot pour les images.

Si tu veux poster à nouveau des images par la suite, merci de suivre ces quelques directives:
http://forums.futura-sciences.com/el...ointes-pj.html

A+

[invitedfb61b74]

Bonjour.

Avant tout désolé pour les images. J'ai toujours fais de cette manière et je n'ai jamais été repris. Je le saurais maintenant ^^ .

Pour ce qui est de mon programme MatLab, je l'ai encore modifié depuis mon dernier post et je n'obtiens pas les mêmes graph. Mais ce ne sont toujours pas les bons, d'après moi. Le voici :

%Définition du temps : vecteur de n*fe composantes réelles. De 0 à n-1, pas
%de 1/fe.
n=1024;
fe=190;
t=(0:1/fe:n-1);

%Définition du signal. Vecteur de n*fe composantes.
f0=200;
x0=sin(2*pi*t/32);
%Tracé du signal.
figure(1); plot(t,x0); axis([0 500 -2 2]); xlabel('temps'); ylabel('x0(t)');


%Calcul de la TF de x(t).
X=fft(x0);

%Définition de l'axe des fréquences : vecteur de n points compris entre
%-fe/2 et fe/2.
f=(-n/2:n/2)*fe/n;
X=[X(n/2:n) X(1:n/2)];
%Tracé de X(f).
figure(2); plot(f,abs(X)); xlabel('fréquence'); ylabel('X(f)');

Je ne suis pas une tête en progra donc j'ai peut-être fais des erreurs de graduation d'axe, de dimension de vecteur, ou autre en fait.

Pour répondre a Pascal, je n'avais pas encore entendu parler de recouvrement quand je me suis attaqué au problème. Mes graphs me parassaient douteux et je voulais surtout une confirmation .

Voila voila. Le problème viens certainement de mon algo.

Merci d'avance.
Cordialement.

[gcortex]

C'est une manie, les études fréquentielles !
étude temporelle : http://www.gcopin.perso.cegetel.net/...giques_num.pdf

[invitedfb61b74]

Oula oula bonhomme ! Je débute moi hun, pis ça réponds pas a mon problème ça, si ?

Pour en revenir a mes commandes, l'argument dans mon sinus est bien 2*pi*t*f0 avec f0=200Hz et non pas 1/32 comme je l'ai mis ici ^^.

[invitedfb61b74]

Y'a plus personne ?!

[Jack]

j'ai un peu la flemme de réinstaller matlab.

Sinon, tu cherches absolument à obtenir un spectre bilatéral?

[invitedfb61b74]

Spectre bilatéral ?

Désolé, je ne sais pas ce que c'est. Je suis scrupuleusement les instructions .

[Jack]

Spectre bilatéral ?

Désolé, je ne sais pas ce que c'est. Je suis scrupuleusement les instructions .

Un spectre bilatéral, c'est un spectre avec des fréquences négatives (centrées autour de f = 0)