Temporel au Complexe

[naouchel98]

Bonsoir à tous!

Alors voilà, j'aurais voulu savoir comment passe-t-on d'une forme temporelle à une forme complexe juste au niveau des dipôles?

Par exemple:

une bobine subissant des variations de courant i(t) voit sa tension varier ainsi --> u(t) = L . di(t)/dt

Et en complexe, on écrit que l’impédance d'une bobine Zl vaut: Zl = jLw

Si il n'y a pas de "passage" entre les deux écritures, dans ce cas comment obtient-on le jLw, d'où vient-il? (pareil pour le condensateur)

Merci d'avance à ceux qui prendrons le temps de me répondre ^^
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[PA5CAL]

Bonsoir

D'une manière générale, le passage d'une formulation temporelle (fonction du temps t) à une formulation fréquentielle (fonction de la pulsation ω=2πf) est réalisée à l'aide d'une transformation de Fourier.

L'utilisation de cette transformation se justifie par le fait qu'une fonction temporelle quelconque (et particulièrement u(t) et i(t)) peut être décomposée en une somme infinie de fonctions sinusoïdales complexes^* (de pulsations ω, du fait de la relation e^jω=cos(ω)+j·sin(ω) ), et que pour tout circuit présentant un comportement linéaire (résistance, condensateur, inductance, amplificateur, filtre, ...), la réponse à un signal quelconque est égale à la somme des réponses aux signaux sinusoïdaux correspondant à la décomposition de ce signal.

Le comportement d'un circuit linéaire peut donc être décrit de manière formelle par des équations fréquentielles complexes^*, bien plus simples à manipuler que des équations différentielles temporelles. En particulier, la différentiation d'une fonction temporelle par rapport au temps correspond à la multiplication par jω de la fonction fréquentielle associée. De façon réciproque, l'intégration d'une fonction temporelle par rapport au temps correspond à la division par jω de la fonction fréquentielle associée.

Notamment :

• pour une inductance pure :



donne :



soit encore :



• pour une capacitance pure :



donne :



soit encore :




^* : ici, le terme « complexe » signifie « à valeurs dans l'espace ℂ des nombres complexes ». En électronique, on utilise j pour désigner le nombre imaginaire pur vérifiant j²=–1.

[gcortex]

C'est plus simple que çà ! C'est juste le calcul de la dérivée : sin' wt = w.cos wt et le déphasage est traduit par j.

[PA5CAL]

C'est plus simple que çà ! C'est juste le calcul de la dérivée : sin' wt = w.cos wt et le déphasage est traduit par j.

Certes, c'est un point de vue qui « marche » dans le cas de dipôles constitués d'une association de composants RLC parfaits.

Si la représentation fréquentielle complexe de la dérivée d'une fonction sinusoïdale apparaît comme triviale, c'est parce que dans le déphasage de π radians correspond à une multiplication par j, et parce que les signaux sinusoïdaux constituent la base de l'analyse de Fourier.

Mais :
- la transformation de Fourier reste aussi valable pour des signaux non sinusoïdaux, et même non périodiques ;
- le comportement des dipôles ne s'exprime pas toujours simplement avec des dérivations.

La transformation de Fourier permet notamment de traiter de façon théorique des dipôles présentant des retards purs, ou encore de façon pratique des éléments définis par la mesure de leur réponse impulsionnelle.

Plus généralement, en électronique on est rapidement confronté à des notions qui nécessitent de connaître les bases de l'analyse spectrale (fonction de transfert, modulation, démodulation, théorème de Nyquist-Shannon...). Et malheureusement, les calculs ne se limitent pas à remplacements des d/dt par des jω dans les formules.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PA5CAL]

Pour faire plus court : le « j » ne tombe pas du ciel. C'est la transformation de Fourier (et toute la théorie mathématique sous-jacente qui la justifie) qui l'introduit dans la formulation.

[stefjm]

Je vous fait un intermédiaire entre les deux extrêmes précédents...

f(t)=e^(j.w.t)
df/dt = d/dt(e^(j.w.t)) = j.w.e^(j.w.t) = j.w.f(t)