Problème d' impédances complexes

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J' aurais besoin d' aide sur le problème suivant:

Soit un circuit électrique composé de deux branches parallèles Z1 et Z2 comportant:
-1 résistance R montée en série avec une inductance L
-1 résistance R montée en série avec une capacité C

Si on appelle Z1 l'impédance de la première branche et Z2 l' impédance de la seconde,on peut alors calculer Zeq du circuit,c'est:Zeq=[Z1*Z2]/[Z1+Z2]

Ce qui donne après quelques calculs:

Zeq=[R^2+(L/C)+j*R*(L*w-1/C*w)]/[2*R+j*(L*w-1/C*w)]

Jusqu' ici pas de problème,mais après ça se corse....

On demande l'impédance complexe de Zeq:je pense l'avoir bien trouvée(ci dessus)
On demande pour quelle valeur de w(Oméga) a-t'on la relation suivante: L*C*w^2=1?Je pense logiquement que pour w=Sqrt(1/(L*C)) la relation est satisfaite.
On demande la valeur de Zeq si cette relation est satisfaite:Je ne vois pas pour le moment de simplification possible dans l'expresion de Zeq,à moins que celle que j'ai calculé plus haut soit fausse....
On demande enfin de démontrer que Zeq=R si R vaut:
R=Sqrt(L/C).Là encore aucune idée;je ne vois pas de simplification immédiate.

J'aurais besioin de votre aide pour les deux dernières questions pour lesquelles je sèche déja depuis le début de l'après-midi....J' espère avoir été suffisament clair dans la formulation de l'énoncé et je me tiens à votre disposition pour toute précision supplémentaire.

Merci d'avance pour vos réponses

Cordialement le fouineur
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[le fouineur]

Rebonjour,

Ne vous fatiguez plus,le problème est entièrerement résolu.J' ai eu la bonne idée de proposer les deux équations brutes à "Mathematica" qui a trouvé leur forme simplifiée en moins de dix secondes à l'aide de la fonction:"FullSimplify".Le plus long a été de saisir les expressions.....Et d'écrire la démonstration détaillée!!

Pour ceux qui seraient interessés par la forme de la solution,la réponse à la troisième question(L*C*w^2=1) est: Zeq=[L/C+R^2]/[2+R]
et la réponse à la quatrième question(R=Sqrt(L/C) est
Zeq=R comme annoncé mais après de plus longs calculs qu'a la troisième question.

Cordialement le fouineur

[Jack]

le problème, c'est que tu t'es planté dans l'expression de Ze.

Tu dois trouver des termes en (1+LCw²) au numérateur et au dénominateur.

Pour w=1/rac(LC), ces termes s'annulent et il ne reste plus que les parties imaginaires du numérateur et du dénominateur. Le résultat est donc réel, ce qui est normal à la résonnance.

Je trouve alors Ze=(1/2)*(R+(L/(RC)))

Si R = rac(L/R), on trouve Ze = rac(L/C), soit Ze = R

CQFD

A+

[le fouineur]

Bonjour Jack, bonjour à tous

J' ai repris mes calculs et j'ai trouvé une erreur dans la réponse que j' ai donnée dans le message #2,en effet il fallait lire:

Zeq=[L/C+R^2]/[2*R] à la place de

Zeq=[L/C+R^2]/[2+R] qui est manifestement faux,Oups

Sinon la solution que tu proposes est bien identique à la mienne corrigée:en effet

Zeq=[1/2]*[R+(L/(R*C))]=[(L/C)+R^2]/[2*R]

Effectue la transformation et tu constateras que nos deux expressions de Zeq sont bien équivalentes...
Sinon merci de m'avoir signalé cette erreur qui rendait mon message faux...

Cordialement le fouineur

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jack]

Bonne continuation

A+