pourquoi les maths sont-elles si logiques ??

[invité576543]

Une autre solution serait de redéfinir complètement les règles de manipulations de nombres avec 0 mais je pense qu'en autorisant la division par zero, tu amenerais d'autre absurdité comme par exemple a + 0 != a.

A mon avis, ce n'est pas une autre solution, c'est la seule.

La division est une opération qui est définie. Si on veut une division par 0, il suffit de la définir. Le "seul" problème est de le faire sans introduire de contradiction dans le reste des mathématiques.

La réponse à "pourquoi on ne peut pas diviser par 0?" est donc tout simplement "parce que personne n'a trouver une définition de la division par 0 utile et qui n'entraîne pas de contradiction si on veut garder le reste des maths".

Si barbe veut proposer une définition de la division par 0 qu'il pense utile et non contradictoire avec le reste des mathématiques, qu'il le fasse...

Au passage, il est facile de définir une division par 0 qui soit non contradictoire et peu utile. On travaille sur R union {erreur}, et les opérations sont définies (axiomatiquement) comme suit:

pour tout x dans R union {erreur}:

erreur + x = x + erreur = erreur

erreur * x = x * erreur = erreur

x/0 = erreur

x/erreur = erreur/x = erreur

On remarquera que dans ce système, la fonction sur R⁺, x --> 1/x ne converge pas quand x tend vers 0. Plus généralement, aucune suite d'éléments de R ne converge vers erreur dans R union {erreur}...

Cordialement,
-----

[barbe]

Merci de vos précisions!
Une utilité possible à la division par 0:
Actuellement, si je veux écrire un programme informatique calculant le nombre de bonbons x que j'ai donnés à chacune des P personnes présentes et ceux qu'il me reste ensuite r en sachant P et B (le nombre total de bonbons au départ) voila de quoi aura l'air mon code si je ne me trompe pas:
Si P=0 alors r=B; x=0
sinon x= B div P; r=B mod P
Si j'inclus la règle mathématique x div 0 = 0 et x mod 0 = x, je n'aurai plus qu'à écrire:
x= B div P; r=B mod P
Je gagnerai donc ainsi une ligne non négligeable (un test aditionne de la complexité au programme) à chaque fois que je fais une division par une variable.
Bien sur, si ce modèle entraine des incohérences mathématiques, c'est autre chose... Je serai curieux de savoir lesquelles?

[invite7863222222222]

Si j'inclus la règle mathématique x div 0 = 0 et x mod 0 = x, je n'aurai plus qu'à écrire:
x= B div P; r=B mod P
Je gagnerai donc ainsi une ligne non négligeable (un test aditionne de la complexité au programme)

Non je pense pas car il faudrait revoir les algorithmes de division actuels pour faire le test "le diviseur vaut-il zero ?", donc tu es toujours obligé de rajouter un test pour traiter le cas zero donc ca ne change pas grand chose en fait.

[invite3bc71fae]

Il n'y a aucun problème algorithmique concernant ton programme.
Ce qui fait qu'on ne peut pas généraliser ta convention à l'ensemble des mathématiques, c'est que dans ton cas particulier, p=0 est interprété comme "je ne distribue pas de bonbons" qui n'est pas lié logiquement à "je distribue mes bonbons équitablement entre x personne"
En gros, le choix de garder tous tes bonbons n'est pas mathématiquement interprétable, il y a une rupture logique.

Du point de vue du calcul informatique, ce que dis jreeman est probablement vrai compte tenu de la manière dont sont implémentées ls fonctions div et mod

[invite7863222222222]

Mais c'est vrai que ca permettrait de simplifier un peu la résolution d'une équation du genre :

x² = x

On aura alors x = x/x -> x = 0 (si x = 0) ou x = 1 (si x <> 0).

En l'occurrence, on aurait pas besoin de vérifier que 0 est une solution évidente.

Cependant je ne sais pas si cette implication peut tjrs s'appliquer.

[invite7863222222222]

Dans ce cas :

(x + 1) x = x <=> (x + 1) = x / x

si x <> 0 alors x+1=1 <=> x = 0
si x = 0 alors <=> x + 1 = 0 alors x = -1

On trouve bien les solutions mais on se retrouve avec des choses bizarres quand meme on a supposé x = 0 et on arrive à x = -1

[invite7863222222222]

Oula désolé non dans mon exemple précédent, -1 n'est pas solution et donc on a bien un exemple où 0/0 = 0 amène à un résultat faux.

[barbe]

@doryphore
"je ne distribue pas de bonbons" ne peut il pas être interprété par la proposition "je distribue 0 bonbons à 0 personnes"?
@jreeman
(x + 1) x = x
0 est pourtant bien solution de cette équation, non?
(0 + 1)*0 = 0
On aurait donc ici une belle contradiction entre 0 est solution et 0 est impossible...

[barbe]

Voila comment je résoudrai cette équation avec l'hypothèse x/x=1 pour x appartenent à R* ou x/x=0 pour x=0
(x+1)x=x <--> ((x+1)x)/x=x/x
x/x=1 ou x/x=0 (donc x=0)
x+1=1 ou (0+1)*0=0 (vérifié car 0=0)
x=0 (contradiction avec x/x=1) ou x=0 (pas de contradiction)
Je trouve bien donc 0 comme unique solution de (x+1)x=x. Sans ce modèle, je ne peux pas le trouver sans tatonnement.

[invite7863222222222]

Ok barbe essaie avec ca :
Trouver les x, y tels que
y (x + 1) = x

Moi je tombe sur (x, y) = (-1, 0) solution sans a priori pouvoir dire que c'est faux autrement qu'en remplacant x et y dans l'équation par les valeurs trouvées pour s'en rendre compte ...

[barbe]

Exact! Bravo!
D'accord mais il me reste encore une question en plan du coup... Comment fait on pour trouver x=0 dans l'équation
x (x + 1) = x?
J'abandonne pas facilement, donc je vais me creuser la tête plus longtemps sur y (x + 1) = x... (l'espoir fait vivre! )
a+

[invité576543]

Exact! Bravo!
D'accord mais il me reste encore une question en plan du coup... Comment fait on pour trouver x=0 dans l'équation
x (x + 1) = x?

Trivialement, par développement:

x²+x = x

x² + x - x =0

x² = 0

(Et, comme ce sont des équivalences, cela donne toutes les solutions...)

Cordialement,

[invite0384691e]

"je ne distribue pas de bonbons" ne peut il pas être interprété par la proposition "je distribue 0 bonbons à 0 personnes"?

Salut

Euh ... dire ça c'est comme de dire p/0 veut dire "dans p combien y a-t-il de fois 0 ?" Et bien oui, dans p il y a euh ... une infinité de fois 0

Il y a une chose qui n'est pas claire, c'est de savoir pourquoi on met zéro dans les entiers naturels. Formellement zéro n'est pas un nombre "naturel" justement. On devrait mettre zéro dans les entiers relatifs, vu que 0 = p + (-p) pour tout p dans N ...

[invite0384691e]

... un petit topo sur le zéro, par des collègiens :
http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93...avaux/zero.htm

Bon, y'a quelques fotes d'ortho et de gram, on y rencontre même des mots bizarres comme "utilisablable" mais bon y'a pas que les spécialistes qui disent des choses sensées et en plus le plus souvent les spécialistes du dindon sont la farce, c'est bien connu

[invite7863222222222]

... un petit topo sur le zéro, par des collègiens :
http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93...avaux/zero.htm

Bon, y'a quelques fotes d'ortho et de gram, on y rencontre même des mots bizarres comme "utilisablable" mais bon y'a pas que les spécialistes qui disent des choses sensées et en plus le plus souvent les spécialistes du dindon sont la farce, c'est bien connu

Merci de ce lien, cependant j'ai aussi trouvé intéressant la démarche de barbe qui montre bien qu'en fait les mathématiques reposent sur des raisonnements avant tout physiques.

[invite0384691e]

Je dirais plutôt que les idées mathématiques, comme toutes les idées humaines d'ailleurs, ont des phénomènes physico-psychologiques pour causes formelles (ce par quoi).

Sauf à réduire le psychologique au physico-chimique, et à voir où en sont rendues les "sciences cognitives", je crois qu'on peut dire sans coups-férir qu'il reste une part non négligeable de mystère dans tout ça ...

Voyez le fil "qu'est-ce que la pensée?". C'est pas simple du tout

[invite7863222222222]

Sauf à réduire le psychologique au physico-chimique, et à voir où en sont rendues les "sciences cognitives", je crois qu'on peut dire sans coups-férir qu'il reste une part non négligeable de mystère dans tout ça ...

Tout à fait, partir de la physico chimie est sans doute la meilleure démarche scientifique pour expliquer le psychologique.

Voyez le fil "qu'est-ce que la pensée?". C'est pas simple du tout

Merci pour cette invitation, mais je n'ai pas trouvé le fil en question.

[invitec00162a9]

Les maths sont fabriqués par l'homme !

Remarque : d'après le logicien Jean-Louis Krivine, si l'homme est capable de faire des maths, c'est que la Nature utilise fondamentalement des maths pour la manifestation des phénomènes physiques. Et l'homme étant le produit de l'évolution naturelle, c'est un processus physique gouverné par ces maths qui ont laissé leur empreinte dans le cerveau humain. Autrement dit, on ne pourra jamais inventer de structure mathématique qui ne soit pas utilisée par la Nature.

[barbe]

Remarque : d'après le logicien Jean-Louis Krivine, si l'homme est capable de faire des maths, c'est que la Nature utilise fondamentalement des maths pour la manifestation des phénomènes physiques. Et l'homme étant le produit de l'évolution naturelle, c'est un processus physique gouverné par ces maths qui ont laissé leur empreinte dans le cerveau humain. Autrement dit, on ne pourra jamais inventer de structure mathématique qui ne soit pas utilisée par la Nature.

C'est très beau et cette définition me plairait vraiment. Concrètement, est ce vrai? J'ai lu quelque part (pardon, je ne me souvient plus ou) que l'on pouvait mathématiquement "inventer" en théorie une quatrième dimension spatialle(voire jusqu'a 7 selon les cordes), chose qui n'apparait pas comme clairement faisable en pratique pour ce que l'on en sait. Ma question est donc la suivante:
Si on peut réellement imaginer ces 7 dimensions en levant tout les doutes sur leur possibilité, sont elles alors par définition existantes (puisque tout ce qui est faisable existerait)?

[invite0384691e]

Merci pour cette invitation, mais je n'ai pas trouvé le fil en question.

Salut

"Nature de la pensée" par ici :
http://forums.futura-sciences.com/thread80125-6.html

[invite7863222222222]

Salut

"Nature de la pensée" par ici :
http://forums.futura-sciences.com/thread80125-6.html

réponse en privé .

[invitebba64e61]

N'étant pas mathématicien, je m'avance prudemment.
Les mathématiques sont-elles logiques ?
Oui, jusqu'à un certain point. Il me semble qu'un certain Godel a bien montré que parfois la théorie des ensembles coince...
C'est pourquoi il ne me semble pas que la nature obéissent à des lois mathématiques ou physiques : notre regard sur le monde nous permet, par certaines lois formulées par nous de comprendre certains phénomènes mais là encore nous avons progressé par essai/échec, nous n'avons pas d'un coup appréhendé ce que Galilée appelait "la langage de la nature".

[invite3bc71fae]

Tu confonds la logique et l'adéquation à la description du monde physique.

Les mathématiques sont logiques par essence. Aucune proposition n'est acceptée en mathématique si elle ne découle pas logiquement au sens mathématique (qui est le plus strict qui soit) des axiomes qui eux peuvent être choisis arbitrairement.
Le choix des axiomes est quand à lui totalement illogique, il ne répond qu'à des considérations de consistance des théories qui en découlent. C'est là que le bât blesse pour l'arithmétique (cf Gödel)

[invitebba64e61]

Tu confonds la logique et l'adéquation à la description du monde physique.

Les mathématiques sont logiques par essence. Aucune proposition n'est acceptée en mathématique si elle ne découle pas logiquement au sens mathématique (qui est le plus strict qui soit) des axiomes qui eux peuvent être choisis arbitrairement.
Le choix des axiomes est quand à lui totalement illogique, il ne répond qu'à des considérations de consistance des théories qui en découlent. C'est là que le bât blesse pour l'arithmétique (cf Gödel)

J'ai relu quelques écrits sur Godel : il n'y est absolument pas question d'une adaptation à aucun monde physique quel qu'il soit. Le théorème d'incomplétude met à jour des failles logiques qui se font jour au coeur du système lui-même et que l'on ne peut résoudre par l'adjonction d'un autre théorème.

[invité576543]

Bonjour,

Le théorème d'incomplétude met à jour des failles logiques

Le (les) théorème d'incomplétude ne mettent à jour aucune "faille logique", il met à jour le fait que tout ne peut pas être démontré; précisément qu'il existe des énoncés qu'un système de démonstration ne peut ni démontrer ni infirmer. C'est essentiellement un théorème sur les démonstrations.

Cordialement,

[invite3bc71fae]

J'ai relu quelques écrits sur Godel : il n'y est absolument pas question d'une adaptation à aucun monde physique quel qu'il soit. Le théorème d'incomplétude met à jour des failles logiques qui se font jour au coeur du système lui-même et que l'on ne peut résoudre par l'adjonction d'un autre théorème.

Il me semble que ce n'est pas moi qui ai initié le débat sur la corrélation entre Gödel et la relation entre les maths et la physique. Il n'y ai fait mention que dans le texte que je cite et de plus par la négative.
Donc ton message n'est pas pertinent par rapport à mon message précédent.
De plus comme le dit également Mmy, les théorèmes de Gödel n'apportent pas d'information négative sur la logique elle-même mais sur la consistance des théories. Les théorèmes de Gödel se servent d'ailleurs de notre bonne vieille logique mathématique pour être démontrés.

[invité576543]

Bonsoir,

Le choix des axiomes est quand à lui totalement illogique, il ne répond qu'à des considérations de consistance des théories qui en découlent.

Pas seulement à mon avis. Le choix est aussi dirigé d'une certaine manière par des raisons "physiques", ce qui fait que l'adéquation des maths et de la physique est due un peu aussi à certains choix!

Deux exemples.

Le premier est justement l'arithmétique. Difficile de faire sans. Le discours même sur la maths utilise des symboles, une notion de séquence, etc. et tout ça permet de construire "naturellement" les entiers. C'est d'ailleurs un des ressorts de la preuve du premier théorème de Gödel: la nature même de chaînes de symboles des démosntrations permet de les gérer comme des nombres, donc par la théorie même dont elles s'occupent.

Un deuxième est les nombres p-adiques. D'une certaine manière ils pourraient avoir un statut similaire aux réels. C'est un sujet vraisemblablement très riche. Mais ça ne correspond pas à grand chose de physique, du moins dans les connaissances actuelles. Beaucoup de gens voient ça comme des maths bizarres, des maths pour rigoler.

Donc les choix des axiomes ne suivraient aucune logique "mathématique", d'accord, mais peut-être une logique physique...

Cordialement,

[invitebba64e61]

Il me semble que ce n'est pas moi qui ai initié le débat sur la corrélation entre Gödel et la relation entre les maths et la physique. Il n'y ai fait mention que dans le texte que je cite et de plus par la négative.
(..)

Dans votre message précédent il y avait cette phrase :
"Tu confonds la logique et l'adéquation à la description du monde physique" mais sans doute cette phrase ne s'adressait pas à moi.
Donc je relevais qu'en ce qui concerne Godel, sa problèmatique ne portait pas sur "logique et adéquation au monde physique". Voilà.

Si je parle de "faille logique" c'est par rapport à un exemple qu'il donne et qui concerne la théorie des ensembles mais impossible de remettre la main sur ma biographie de Godel où se trouve ce paradoxe !

[inviteb276d5b4]

Bonsoir

Donc les choix des axiomes ne suivraient aucune logique "mathématique", d'accord, mais peut-être une logique physique...

Hum... Difficile de trouver un "ensemble vide" dans la nature...

[invité576543]

[Q UOTE=Bob Trebor;977649]Bonsoir

Hum... Difficile de trouver un "ensemble vide" dans la nature... [/QUOTE]

Ce message en est-il un exemple acceptable?

Quelle a été ta première réaction? Ne fut-elle pas que le message était vide?

Cordialement,