La valeur de pi est-elle la même partout ?

[invite85554f20]

Bonjour voici une question qui me chicotte depuis longtemps.

1) Le nombre pi est le rapport de la circonférence dur cercle sur le diamètre.

2) Le rapport de la circonférence sur le diamètre varie selon la courbure de l'espace-temps.

3) Donc la valeur de pi dépend de notre position dans l'univers (exemple près d'un trou noir).

4) On a aussi que la somme de l'inverse des carrés des nombres naturels est égal à pi^2 / 6

5) Si la valeur de pi est "variable", alors la somme des inverses des carrés des entiers naturels varie selon notre position dans l'univers.

Qu'en pensez-vous ?

Si on étudies l'univers avec une valeur de pi égale à 3.14159... (valeur pour un espace euclidien non courbe) pourquoi cette valeur serait-elle plus importante que la valeur de pi lorsqu'on se rapproche d'un trou noir ?

Si ma question n'est pas claire, je peux élaborer.

Merci.

nimzo
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[invite436605ae]

Je n'ai pas les compétences mathématiques pour te répondre, mais je sens que ça va me rester en tête un moment ; c'est une très bonne question !

[invitebe0cd90e]

1) Le nombre pi est le rapport de la circonférence dur cercle sur le diamètre.

oui mais dans un espace plane

2) Le rapport de la circonférence sur le diamètre varie selon la courbure de l'espace-temps.

tout a fait

3) Donc la valeur de pi dépend de notre position dans l'univers (exemple près d'un trou noir).

pas exactement, disons que dans un espace courbe, le rapport entre la circonference et le diametre ne vaut plus Pi. Pi est une constante, un nombre fixé. si on courbe l'espace on obtient un nombre different, qui n'est plus egal a Pi, qui a peut etre un autre nom...

4) On a aussi que la somme de l'inverse des carrés des nombres naturels est égal à pi^2 / 6

oui, mais c'est "notre" pi...

5) Si la valeur de pi est "variable", alors la somme des inverses des carrés des entiers naturels varie selon notre position dans l'univers.

bien sur que non !!! la valeur de cette serie est la meme que celle du nombre qu'on appelle Pi, elle est constante et n'a rien a voir avec notre position dans l'univers.

Si on étudies l'univers avec une valeur de pi égale à 3.14159... (valeur pour un espace euclidien non courbe) pourquoi cette valeur serait-elle plus importante que la valeur de pi lorsqu'on se rapproche d'un trou noir ?

on n'etudie pas l'univers avec cette valeur simplement parce qu'elle a une interpretation geometrique. Pi apparait dans tout un tas de trucs qui nont pas directement a voir avec cette interpretation geometrique. il ne faut pas melanger une valeur et son contexte.

imagine un triangle dont un angle vaut 30 degré. et imagine que j'ai 30 euros dans la poche. ces 2 valeurs coincident, d'accord ?

imagine que moi, mes poches et le triangle on se mettent a un endroit ou l'espace se deforme, et ou l'angle en question fait maintenant 35 degré... est ce que pour autant j'aurai 35 euros dans la poche ? c'est plus ou moins ce que tu es en train de me dire

[invite85554f20]

oui, mais c'est "notre" pi...

bien sur que non !!! la valeur de cette serie est la meme que celle du nombre qu'on appelle Pi, elle est constante et n'a rien a voir avec notre position dans l'univers.

Bonjour.

si on courbe l'espace on obtient un nombre different, qui n'est plus egal a Pi, qui a peut etre un autre nom...

D'accord.

Appelons pi-t "notre" pi (sur la terre 3.14159...).
Appelons pi-n "un autre" pi à proximité d'un trou noir.

Je ne vois pas pourquoi pi-t apparaitrait en "théorie des nombres" alors que pi-n n'y serait pas le bienvenue. Il est difficile de concevoir que la théorie des nombres favoriserait "notre" pi au détriment des autres ? Une théorie des nombres dans un espace courbe devrait-elle utiliser "notre" pi et pas "son" pi-local ?

La théorie des nombres et des relations comme celle-ci:



auraient une "préférence" pour pi-t au détriment de pi-n ? Ça me semble difficile à admettre.

nimzo

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite85554f20]

on n'etudie pas l'univers avec cette valeur simplement parce qu'elle a une interpretation geometrique. Pi apparait dans tout un tas de trucs qui nont pas directement a voir avec cette interpretation geometrique. il ne faut pas melanger une valeur et son contexte.

Voilà une autre question intéressante. Pourquoi la valeur de pi (issue de la géométrie) apparait-elle constamment en théorie des nombres une discipline qui ne traite pas de géométrie mais des nombres ?

nimzo

[invitebe0cd90e]

ca semblerait difficile a admettre si l'expression "une theorie des nombres dans un espace courbe" avait un sens ce qui n'est pas le cas.

Si tu veux vraiment un exemple de "raison" : Pi trouve une interpretation naturelle en analyse complexe, et l'analyse complexe est l'un des outils fondamentaux de la theorie des nombres.

Les "autres pi" n'ont a priori aucun autre interet que celle de leur interpretation purement geometrique...

il ne faut pas considerer "notre" pi comme une espece de cas particulier parmi tout un tas de valeur, ca n'est absolument pas le cas !!

[invitebe0cd90e]

Voilà une autre question intéressante. Pourquoi la valeur de pi (issue de la géométrie) apparait-elle en théorie des nombres une discipline qui ne traite pas de géométrie mais des nombres ?

nimzo

je t'ai donné un element de reponse : parce que la plupart des outils modernes de theorie des nombres viennent de l'analyse complexe.

[invitebe0cd90e]

et il faut bien comprendre :

- d'une part, qu'il ne faut pas melanger une realite physique, ou tout du moins un modele mathematique qui la decrit, avec des objets mathematiques par definition abstrait

- d'autre part, que les geometries non euclidienne ont une portee limitee en tant que telle en maths. il y a enormement d'objet mathematique "abstrait" fondamentaux qui ont une interpretation geometrique naturelle en ce sens qu'il existe un moyen de les voir, de les dessiner. dans ce contexte, la question de la geometrie non euclidienne n'est meme pas posée, c'est une question hors sujet, puisque on se situe toujours dans des contextes abstraits.

"notre" pi et les autres ont des statuts completement different, Pi est une constante mathematique fondamentale qui est liee a des tas de phenomene different, les autres ne sont pas grand chose.

[invite85554f20]

il ne faut pas considerer "notre" pi comme une espece de cas particulier parmi tout un tas de valeur, ca n'est absolument pas le cas !!

Bonjour.

Comment ne pas le considérer pi-t comme un cas "spécial" puisque c'est lui qui apparait dans la formule d'Euler et non les autres ?

Que le pi apparaissant dans la forumule d'Euler soit le pi qui correspond à l'espace euclidien non courbé, ne va pas de soi à mon avis.

C'est bien sur une question spéculative et je n'ai évidemment pas la réponse. Mais j'aimerais bien connaître le point de vue d'autres forumeurs sur le sujet.

Salutations.

nimzo

[invitebe0cd90e]

as tu lu mes autres posts ? quand je dis qu'il ne faut pas le prendre comme un cas particulier, je ne veux pas dire qu'il n'est pas particulier, au contraire !!! je veux dire qu'il a une nature fondamentalement differentes des "autres", et qu'on ne peut pas le comparer a eux !!

ce que je voulais dire, c'est que poser les choses en disant qu'on a tout un tas de pi possible, et qu'il y en a un qui se distingue pour des raisons obscures est fondamentalement une erreur.

Que le pi apparaissant dans la forumule d'Euler soit le pi qui correspond à l'espace euclidien non courbé, ne va pas de soi à mon avis.

peut etre comprendrait tu mieux si tu en lisais la demonstration. pour des raisons naturelles, Pi intervient dans enormement de calcul et de theoreme en analyse complexe.

donc si, que ce soit ce Pi la et pas un autre est une evidence, il n'y a aucune raison pour qu'un autre apparaisse... explique moi ce que pourrais bien signifier une "theorie des nombres non euclidienne" ???

[invite85554f20]

explique moi ce que pourrais bien signifier une "theorie des nombres non euclidienne" ???

Je veux dire que les mathématiques telle qu'on les connait (et la théorie des nombres) n'auraient pas pu se développer si l'espace n'était pas euclidien.

Raison : le pi d'un univers non-euclidien courbe n'aurait pu être utiliser (par des mathématiciens de cet univers) pour développer des formules comme celle d'Euler, par exemple.

nimzo

[invitebe0cd90e]

Je veux dire que les mathématiques telle qu'on les connait (et la théorie des nombres) n'auraient pas pu se développer si l'espace n'était pas euclidien.

quel espace ?? le notre ?? il n'est pas euclidien, justement...

Raison : le pi d'un univers non-euclidien courbe n'aurait pu être utiliser pour développer des formules comme celle d'Euler, par exemple.
nimzo

ben oui, on est bien d'accord ! sauf que pi n'est pas a proprement parler "utilisé", ca n'est pas un outil mais une constante fondamentale. m'enfin tout ca pour dire que les autres pi n'ont par nature pas leur place en theorie des nombres. tout ca se passe dans le plan complexe, et la question de savoir s'il est euclidien n'a pas de sens..

on n'aurait pas pu choisir de faire tout ca dans une geometrie non euclidienne, la question ne se pose meme pas.

[invite85554f20]

quel espace ?? le notre ?? il n'est pas euclidien, justement...

Je voulais bien sûr dire avec une courbure faible. Une courbure telle que la valeur de pi est 3.14159....

on n'aurait pas pu choisir de faire tout ca dans une geometrie non euclidienne, la question ne se pose meme pas.

Ah bon ! Même pas dans la section épistémologie du forum ? J'ai évité volontairement la section mathématique justement pour aborder le coté "philosophique" de la question.

J'ai cru que ceux qui s'intéresse à l'origine des mathématiques et questions de cette nature auraient pu être intéressés par le sujet.

nimzo

[invite8915d466]

Je veux dire que les mathématiques telle qu'on les connait (et la théorie des nombres) n'auraient pas pu se développer si l'espace n'était pas euclidien.

Raison : le pi d'un univers non-euclidien courbe n'aurait pu être utiliser (par des mathématiciens de cet univers) pour développer des formules comme celle d'Euler, par exemple.

nimzo

dans un univers non-euclidien, le rapport entre la circonférence et le diamètre n'est pas constant, on ne peut donc pas définir de nombre avec ça. Il n'y a pas de valeur "canonique" différente de Pi.

En revanche la limite de ce rapport quand R-> 0 est toujours "notre " Pi, car les variétés différentiables tendent vers des espaces localement plats sur des distances assez petites. On peut donc retrouver la valeur de Pi en passant à la limite de cercles infiniment petits.

Cordialement

Gilles

[invite85554f20]

dans un univers non-euclidien, le rapport entre la circonférence et le diamètre n'est pas constant, on ne peut donc pas définir de nombre avec ça. Il n'y a pas de valeur "canonique" différente de Pi.

En revanche la limite de ce rapport quand R-> 0 est toujours "notre " Pi, car les variétés différentiables tendent vers des espaces localement plats sur des distances assez petites. On peut donc retrouver la valeur de Pi en passant à la limite de cercles infiniment petits.

Cordialement

Gilles

Très clair merci.

nimzo

[invitebe0cd90e]

Ah bon ! Même pas dans la section épistémologie du forum ? J'ai évité volontairement la section mathématique justement pour aborder le coté "philosophique" de la question.

J'ai cru que ceux qui s'intéresse à l'origine des mathématiques et questions de cette nature auraient pu être intéressés par le sujet.

nimzo

non, meme pas , pour en parler il faudrait que ca ait un sens ?? la theorie des nombres et ses resultats n'a rien a voir avec la courbure de l'univers reel. les mathematiques en general, et la theorie des nombres en particulier (qui est l'une des theories les plus "classique" et les plus purement mathematique) n'ont pas pour vocation a fournir une description de l'univers. les choses marchent parce qu'on manipule des objets ideaux, abstraits.

le fait que le Pi en la plupart des points de l'univers soit proche du Pi ideal est finalement secondaire.

donc je ne dis pas que la question ne se pose pas parce qu'elle n'est pas interressante, je dis qu'elle ne se pose pas parce qu'elle n'a pas de signification claire.

la theorie des nombres s'occupe des entiers. la plupart des outils pour s'occuper des entiers viennent de l'analyse complexe. l'analyse complexe fait intervenir naturellement le nombre pi. il n'y a pas d'hsitoire d'espace euclidien la dedans.

si tu veux donner un sens a ta question, propose moi un modele de theorie des nombres qui soit coherent, pertinent et qui fasse intervenir explicitement un "autre pi", et la on pourra en discuter. mais la tu veux manipuler des choses qui ne sont pas definie a priori. donc ca rend les choses un peu difficiles

je crois que tu focalise un peu sur l'interpretation geometrique de Pi. c'est un peu l'histoire de l'oeuf ou la poule.. tu raisonne un peu comme si on etait parti de Pi pour construire ces rsultats de theorie des nombres. en relaité, Pi "existe" a un niveau fondamental, et les domaine ou il apparait (y compris la geometrie) sont liés entre eux mais ne sont pas la cause les uns des autres, ils coexistent simplement.

[invite7863222222222]

quel espace ?? le notre ?? il n'est pas euclidien, justement...

Localement, il me semble bien.

[invitebe0cd90e]

Localement, il me semble bien.

oui, mais la question etait de savoir quel etait le lien entre ca, et la heorie des nombres... ce que je voulais dire par la c'est que le Pi mathematique n'a pas a avoir de contrepartie physique, concrete.