Géométrie et logique

[invite99bec383]

Bonjour,

Je me pose les questions suivantes.
D'Euclide à Kant, on avait un système géométrique "unique". L'axiomatique de ce système était alors intuitive à priori.
Mais les applications qu'on en faisait étaient-elles logiques, déductives (analytiques?) ?
Ensuite, avec les géométries non-euclidiennes, est-on passé à un système totalement hypothético-déductif ?
Selon moi, les axiomes intuitionnés découlent de l'hypothèse qu'on se trouve dans un espace aux propriétés X.
On se trouve dans un espace à 3D, K=0, donc il y a une unique parallèle passant par M à D, la somme des angles d'un triangle vaut 180°, ...
Dans ce cas-là, peut-on dire que ces géométries non-euclidiennes mettent un terme au règne de l'intuition sur la géométrie, et appellent celui de la logique ?

Merci
Désolé pour ceux qui ont rien compris
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[Médiat]

On se trouve dans un espace à 3D, K=0, donc il y a une unique parallèle passant par M à D, la somme des angles d'un triangle vaut 180°, ...

Position difficile à défendre aujourd'hui, me semble-t-il, quelque soit l'interprétation que l'on veut donner à "On se trouve" : la physique moderne utilise d'autres espaces que l'espace euclidien de dimension 3.

Dans ce cas-là, peut-on dire que ces géométries non-euclidiennes mettent un terme au règne de l'intuition sur la géométrie, et appellent celui de la logique ?

Je ne dirais pas cela non plus, l'intuition se nourri de ce que les intuitions précédentes ont pu faire naître, il y a plutôt un cercle vertueux entre l'intuition qui propose une théorie, théorie qui créé une nouvelle intuition qui fait avancer la théorie en créant de nouvelles intuitions etc...

Je ne crois pas que l'on puisse fabriquer une théorie mathématique intéressante en prenant des axiomes au hasard et en se demandant ce que cela va bien pouvoir donner.

[invite99bec383]

Ce n'est pas ce que j'ai voulu dire.
Avant, on considérait le système euclidien comme unique, et avant, donc, on considérait qu'il était issu de l'intuition à priori (intuition qui ne découle pas de l'expérience).
Aujourd'hui, selon le système dans lequel on se trouve, les axiomes varient. Par conséquent, peut-on dire qu'on émet l'hypothèse d'un espace X (avec des caractéristiques définies) et qu'on déduit de cette hypothèse les axiomes qui y correspondent (et par exemple, si l'espace est euclidien, on en déduit les axiomes d'Euclide) ?

[Médiat]

(intuition qui ne découle pas de l'expérience).

Comment pouvons-nous construire une intuition sans qu'elle repose sur notre expérience ?

Aujourd'hui, selon le système dans lequel on se trouve, les axiomes varient.

J'ai plutôt tendance à comprendre les choses dans l'autre sens : selon les axiomes choisis, le système varie.

Par conséquent, peut-on dire qu'on émet l'hypothèse d'un espace X (avec des caractéristiques définies) et qu'on déduit de cette hypothèse les axiomes qui y correspondent (et par exemple, si l'espace est euclidien, on en déduit les axiomes d'Euclide) ?

Un mathématicien cherche une axiomatisation qui rende compte de son intention, qui elle-même s'appuie sur son intuition qui elle-même s'appuie sur son expérience.

Personnellement, j'ai du mal avec une phrase comme "si l'espace est euclidien", car il me semble que "espace" réfère ici à l'espace physique (perceptible, mesurable etc. ) alors que "Euclidien" réfère à un concept mathématique, et je ne vois pas comment l'un peut être l'autre (ce serait comme de poser deux pommes côte à côte et de déclarer : "Voila le nombre 2").

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matmat]

...Aujourd'hui, selon le système dans lequel on se trouve, les axiomes varient. Par conséquent, peut-on dire qu'on émet l'hypothèse d'un espace X (avec des caractéristiques définies) et qu'on déduit de cette hypothèse les axiomes qui y correspondent (et par exemple, si l'espace est euclidien, on en déduit les axiomes d'Euclide) ?

Mais ceux qui ont inventé les géométries non-euclidienne l'ont fait aprés Kant, ils n'ont pas émis d'hypothèse sur l'espace réel, l'article de Lobatchevsky s'appelle très humblement "Géométrie imaginaire"...

Enfin, comme dirait Poincaré, on n'est pas obligé de s'en tenir soit à un "jugement à priori" soit à une "expérience" ou une "intuition" pour inventer des axiomes , car il y a aussi la convention ... le choix d'axiomes (donc d'une géométrie eucidienne ou non) le plus commode à résoudre un type de problème.

[invite99bec383]

(intuition qui ne découle pas de l'expérience).

Comment pouvons-nous construire une intuition sans qu'elle repose sur notre expérience ?

C'est justement le principe d'intuition à priori. De synthétique à priori.
Je ne vais pas expliquer ça moi-même, je te renvoie aux auteurs philosophiques qui en parlent

Avec ce que vous m'avez dit, je vais tenter de définir deux périodes.
Avant les géométries non-euclidiennes, on pensait que :
La géométrie est intuitive, puisqu'elle repose sur des axiomes qui proviennent de l'expérience et d'une méthode extensive (ou synthétique).

De nos jours, on pense que :
La géométrie est logique, puisqu'elle est détachée de la réalité. Elle ne représente plus notre espace, mais au contraire "représente" un espace inconnu et inexpérimenté. Les axiomes sont alors définis par déduction, en fonction des besoins du géomètre.

Vrai ou faux ?
Merci.

[Médiat]

C'est justement le principe d'intuition à priori. De synthétique à priori.
Je ne vais pas expliquer ça moi-même, je te renvoie aux auteurs philosophiques qui en parlent

Je pense que tu m'as mal lu, je n'ai pas parlé d'une expérience, mais de l'expérience (de l'histoire, du vécu, si tu préfères).

D'ailleurs toi-même tu as écrit : "intuition qui ne découle pas de l'expérience" et non "qui ne découle pas d'une expérience.

Pour reprendre l'exemple de la géométrie : l'euclidienne repose sur "l'expérience" sensible quotidienne (pas un hasard si les mathématiciens grecs distinguaient les axiomes des postulats), alors que les non-enclidiennes (et je pense à Gauss (qui en a eu la première intuition), Lobatchevsky, Bolyai et Riemann) reposent sur "l'expérience" qu'ils avaient des géométries euclidiennes (et non plus d'expérience sensible), la géométrie algébrique (Grothendieck, bien sur) qui repose sur "l'expérience" de l'algèbre et de la géométrie, les géométries non commutatives (Alain Connes) qui repose sur "l'expérience" de la géométrie algébrique, pour la suite il va falloir attendre un peu.
Dans un autre domaine, tu penses que Peano n'avait aucune expérience des entiers quand il les a axiomatisés

Bien sur les maths se font sans expériences, mais elles ne se font pas sans expérience.

Je l'ai déjà écrit, mais prendre des axiomes au hasard (sans intention) a peu de chance de donner une théorie intéressante.