Différence entre l'implication et l'inférence

[Seirios]

Bonjour à tous,

Tout est dans la question, j'aimerais savoir quelle différence fait-on entre l'implication et l'inférence.

J'aurais tendance à dire que l'implication est plus fondamentale que l'inférence, dans le sens où l'inférence ne fait en générale pas partie des langages prépositionnels, mais comme je l'entends il y a équivalence entre les symboles.

Qu'en est-il réellement ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite9cd736bc]

L'inférence désigne le raisonnement qui permet d'aboutir à une conclusion.
C'est donc un terme plus générale que l'implication logique.

Il y a 3 types d'inférences :

La déduction, l'induction, l'abduction.

Déduction : du général au particulier
A
A ->B
donc B

Induction : Du particulier au général

B
A -> B
donc A

Abduction : On pose une hypothèse.

A
B
donc A --> B

Chacun de ces raisonnements, utilise l'implication logique, ( --> )
à un stade du raisonnement.

Cordialement

[Médiat]

Bonjour

Tout est dans la question, j'aimerais savoir quelle différence fait-on entre l'implication et l'inférence.

L'implication est un connecteur du langage (comme etc.), elle permet de fabriquer une nouvelle formule à partir de deux formules.
Si au lieu de , j'écris , l'implication perd un peu de sa magie, il me semble, et sa "resemblance" avec une règle d'inférence disparaît.

Une règle d'inférence est une règle appartenant à la logique utilisée et qui permet de faire des démonstrations, la règle d'inférence la plus connue est le modus ponens :


ce qui peut aussi s'écrire


On voit bien ici que la règle d'inférence nous dit des choses sur l'implication (et pas le contraire).

[Seirios]

Pour reprendre l'exemple, ne peut-on pas écrire, de manière strictement équivalente, ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

EDIT : La différence vient-elle du fait que l'inférence ne crée pas un nouvel énoncé, contrairement à l'implication ?

[Médiat]

Pour reprendre l'exemple, ne peut-on pas écrire, de manière strictement équivalente, ?

Vous avez écrit une nouvelle formule (qui est une tautologie), pas une inférence.

Dans la pratique, la différence est extrêmement mineure, à cause du séquent :


Edit :

EDIT : La différence vient-elle du fait que l'inférence ne crée pas un nouvel énoncé, contrairement à l'implication ?

Oui, cf. ci-dessus.

[invitedb5bdc8a]

Si au lieu de , j'écris , l'implication perd un peu de sa magie, il me semble, et sa "resemblance" avec une règle d'inférence disparaît.

C'est un peu hors sujet mais cet exemple de différentiation à notre niveau de complexité (interprétation) de deux formules strictement équivalentes au niveau de la logique formelle m'évoque les ruptures de symétrie en physique des hautes énergies en fonction des niveaux d'énergie considérés.

[Seirios]

Merci Médiat

[inviteab8f3a27]

Bonjour à tous,

Tout est dans la question, j'aimerais savoir quelle différence fait-on entre l'implication et l'inférence.

J'aurais tendance à dire que l'implication est plus fondamentale que l'inférence, dans le sens où l'inférence ne fait en générale pas partie des langages prépositionnels, mais comme je l'entends il y a équivalence entre les symboles.

Qu'en est-il réellement ?

Merci d'avance,
Phys2

Mediat a déjà apporté des éléments de réponse, j’essais d’en ajouter.

L’implication, comme l’a dit Mediat, est un opérateur, qui est défini en logique classique, par une table de vérité.

L’inférence, est une règle de construction du langage, elle se situe à un niveau méta par rapport à l’énoncé. L’implication parle de l’énoncé ou décrit l’énoncé. Tandis que l’implication n’est qu’un constituant de l’énoncé et ne peut pas dépasser ce statu, l’implication peut être utilisée pour transformer un énoncé, le reformuler.

Il existe une relation entre les deux, dans le sens ou pour être valide, l’implication doit être elle-même vérifiée logiquement : il est légitime d’exiger qu’une règle d’inférence constitue également une implication ! (sinon le système n’a pas de “soundness”, il n’est pas cohérent)

En fait, en logique classique, les deux sont pour ainsi dire interchangeables d’un point de vue logique (mais pas du point de vue de l’usage !), si on excepte que l’un fait partie du méta-langage et l’autre du langage. Mais il sont différents en logique intuitionniste où la forme affaiblie de l’implication ne correspond plus à l’inférence. Dans ce contexte particulier, les deux ne peuvent pas et ne doivent pas être confondus.

Résumé en deux points :

• Disons que l’inférence est plus forte que l’implication, et c’est clairement le cas en logique intuitionniste (ou constructiviste).
• Si elle n’est pas faible (point sans importance en logique classique), une implication qui est une tautologie, pourra légitimement être prise pour une règle d’inférence ou suggéré qu’elle peut l’être. Mais ça, ce n’est pas l’énoncé qui en décide, c’est l’auteur Parce que l’énoncé lui-même, ne peut pas créer de règles d’inférences ; seul le système ou l’auteur peuvent décider de transformer une implication tautologique en inférence.

[inviteab8f3a27]

De ce que j’en disais plus haut, j’ajoute deux choses : un complément et une confirmation.

Le complément : le sécant n’a pas d’arité fixe (le nombre d'élément à gauche peut être zéro ou un ou plus), alors que l’opérateur « ⇒ » et d’arité deux (en même temps, à droite du « ⇒ », on peut toujours mettre une conjonction).

La confirmation : je comparais plus haut le sécant à l’implication de la logique intuitionniste, et il semble que cette comparaison est confirmée par une page de Wikipédia :

ttp://en.wikipedia.org/wiki/Entailment

If we let S1 be the conjunction of the elements of Γ then we can equivalently say that Γ entails S2 if and only if S1 and and the negation of S2 are logically contradictory.

Ce qui est important ici, c'est le “logically contradictory”; en logique classique, l'opérateur « ⇒ » peut être utilisé pour poser une « conclusion » comme celle qui suit

La Terre est carrée ⇒ Les moutons marchent au plafond

.
Cette implication est vraie, parce que la prémisse est toujours fausse (oui, je sais, c’est idiot, mais c'est les tables de vérité de la logique classique qui sont comme ça), mais par contre, elle ne peut pas satisfaire l’exigence “logically contradictory”, « logiquement contradictoire », puisque la prémisse ne peut même pas être vraie : on ne peut donc pas démontrer qu'il est impossible que « Les moutons marchent au plafond » soit Faux quand « La Terre est carrée » est Vraie, parce que « La Terre est carrée » ne peut pas être Vraie, on a donc aucun moyen de parvenir à en faire une inférence valide. CQFD.

[inviteab8f3a27]

Ce n’est plus exactement au sujet de la comparaison / différence entre l’implication et l’inférence, mais ça concerne toujours ces deux là.

Une chose que je n’arrive pas à me figurer, c’est la différence entre système et langage. Je cite d’abord un extrait de Wikipédia (issu de la même page que précédemment), et je commente mon incompréhension ensuite.

A deductive system S is complete for a language L if and only if implies : that is, if all valid arguments are deducible (or provable), where denotes the deducibility relation for the system S.

A deductive system S is sound for a language L if and only if implies : that is, if no invalid arguments are provable.

Je ne comprend pas cette question de système et de langage. Je ne vois pas comment on pourrait faire des déductions qui serait propre au langage sans être aussi celles du système qu’il représente, et dans ma compréhension des choses, seul le système fait sens, et il est représenté par le langage. Le langage n’est pour moi qu’une représentation graphique ou textuelle, et les seules opérations que l’on puisse lui appliquer en propre, sont syntaxiques (par exemple des transformations).

Si le langage représente le système… je ne comprend pas du tout ce que cette citation de Wikipédia peut bien vouloir dire.

En plus, ils introduisent pour l’occasion, un second symbole qui ressemble au sécant, mais qui s’en distingue; donc ça a l’air sérieux cette affaire… mais je n’arrive pas à me figurer comment il voit le langage. À moins qu’il ne pense à un sens du mot Langage auquel je ne pense pas ? Quelque chose qui ne serait pas une représentation ?

[Médiat]

Bonjour,

Je pense qu'il faut comprendre : Tout modèle de A pour le langage L est aussi un modèle de X, alors que , signifie que A permet de démontrer X dans le système S.

La double implication (un système est complet ssi il est robuste) pour S = la logique du premier ordre est tout simplement le théorème de complétude de Gödel.

[karlp]

Bonjour

Dans l'extrait de wikipedia qu'a posté Hibou57, je reconnais dans la définition de la complétude celle qui m'avait été donnée par mes professeurs de logique.

En revanche, l'expression "sound" ou "soundness" m'est inconnue dans ce contexte. L'expression logique à laquelle elle correspond ("si X est formellement démontrable à partir de A dans s" alors "X est la conséquence tautologique de A dans s") était désignée sous le vocable "hypothèse de la cohérence" .

Est-ce que les expressions "hypothèse de la cohérence" et "soundness hypothesis" sont synonymes ? ou bien est-ce que la dénomination a été changée pour quelque raison ?

Merci