Epistémologie des notions infini actuel et de cardinal pour un ensemble infini

[invite6754323456711]

Bonjour,

Soit une définition de la notion de cardinal pour un ensemble infini :

http://www.math93.com/ensemble-infini.htm

a) Autre définition rigoureuse d'un ensemble infini :

Un ensemble E est dit infini si on peut trouver une bijection entre lui-même et une de ses parties (strictes) F,

ie : F inclus dans E, F différent de E, F ~ E.

Dans le cas contraire, E est dit fini.

Ex : N est en bijection avec N*, par la fonction f : n --> n+1 ainsi, N est infini .

b) Cardinal d'un ensemble infini :

La façon parfaitement rigoureuse de définir le cardinal pour un ensemble infini s'appuie sur le théorème de Cantor-Bernstein :

Théorème :

Soient A et B deux ensembles (finis ou infinis).
Si A s'injecte dans B et B s'injecte dans A, alors A et B sont équipotents.

Vision naïve :

Si on prend l'ensemble des entiers pair et la fonction identité (f(x)=y ssi x=y) de l'ensemble des entiers pair vers N. Nous avons bien aussi l'existence d'une fonction injective, mais non surjective. B ne s'intecte pas dans A pour cette fonction.

Le cardinal pour une ensemble infini est-il une propriété qui découle de la définition d'ensemble infini ou plutôt une propriété propre à la fonction ?


Mon interrogation porte sur : l'infini actuel est-il une restriction par sa définition de l'infini potentiel ? Toute les propriétés de l'infini actuel serait aussi les propriétés de l'infini potentiel, mais l'inverse ne serait pas satisfait ?

Patrick
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[Médiat]

Bonjour,

Commencer un texte par

a) Autre définition rigoureuse d'un ensemble infini :

Un ensemble E est dit infini si on peut trouver une bijection entre lui-même et une de ses parties (strictes) F,

Me choque terriblement, parce que l'on aimerait bien avoir les autres définitions rigoureuses (la liste commence par a)), et surtout parce que l'on aimerait bien connaître le cadre de ces définitions. Ici je suppose qu'il s'agit de ZFC, mais cela aurait été bien de le préciser, car la définition donnée n'est conforme à notre intuition, surtout pour les ensembles finis qu'avec l'axiome du Choix que nombre de mathématiciens ont du mal à avaler cf. http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3131355 et l'aphorisme de Jerry Bona :

L'axiome du choix est évidemment vrai,le principe du bon ordre est évidemment faux, et le lemme de Zorn personne n'en sait rien

Alors que les 3 formulations sont équivalentes .

J'ai bien compris que vous n'étiez pas responsable de ce texte, et c'est à son auteur que j'en ai.

Le cardinal pour une ensemble infini est-il une propriété qui découle de la définition d'ensemble infini ou plutôt une propriété propre à la fonction ?

Le cardinal est une propriété de l'ensemble, pas de la fonction.

Mon interrogation porte sur : l'infini actuel est-il une restriction par sa définition de l'infini potentiel ? Toute les propriétés de l'infini actuel serait aussi les propriétés de l'infini potentiel, mais l'inverse ne serait pas satisfait ?

Quelle définition avez-vous de l'infini potentiel que vous avez l'air de manipuler comme un objet à part entière ?

Sinon, un lien qui parle du sujet : (les 2 premières pages) http://www.math.princeton.edu/~nelson/papers/e.pdf

[invité576543]

Mon interrogation porte sur : l'infini actuel est-il une restriction par sa définition de l'infini potentiel ? Toute les propriétés de l'infini actuel serait aussi les propriétés de l'infini potentiel, mais l'inverse ne serait pas satisfait ?

Faut définir correctement l'infini potentiel ! Ce qui suit est mon interprétation :

Les axiomes ZF sans l'axiome de l'infini permettent une construction récursive qui a un ensemble en fait correspondre un strictement plus grand (e.g., {E, {E}}).

L'axiome de fondation interdit de boucler, et on se retrouve avec un "infini potentiel", une suite d'ensembles n'étant pas un ensemble. (À l'instar de la classe des ordinaux dans ZFC, une sorte d'infini potentiel de deuxième catégorie (?).)

Ensuite, pour moi infini actuel = axiome de l'infini.

Il a été montré que l'axiome de l'infini est indécidable dans ZF sans l'axiome l'infini (si cette dernière théorie est cohérente).

Ergo, l'infini actuel n'est pas quelque chose dérivable de l'infini potentiel.

EDIT : Croisement.

[Médiat]

Bonjour,

Les axiomes ZF sans l'axiome de l'infini permettent une construction récursive qui a un ensemble en fait correspondre un strictement plus grand (e.g., {E, {E}}).

L'axiome de fondation interdit de boucler, et on se retrouve avec un "infini potentiel", une suite d'ensembles n'étant pas un ensemble.

N'étant pas forcément un ensemble.

(À l'instar de la classe des ordinaux dans ZFC, une sorte d'infini potentiel de deuxième catégorie (?).)

J'ai du mal à imaginer un potentiel qui n'aurait d'équivalent actuel (question de vocabulaire, pas de fond).

Il a été montré que l'axiome de l'infini est indécidable dans ZF sans l'axiome l'infini (si cette dernière théorie est cohérente).

Etes-vous sur ? Il me semble que non, car ZF sans axiome de l'infini est connu comme consistant, on sait même en construire un modèle (Ackerman), si l'axiome de l'infini y était indécidable, on pourrait en conclure que ZF est consistant, résultat non encore obtenu.

Ergo, l'infini actuel n'est pas quelque chose dérivable de l'infini potentiel.

Mais l'inverse oui, d'où ma remarque de vocabulaire sur la Classe des Ordinaux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Etes-vous sur ? Il me semble que non, car ZF sans axiome de l'infini est connu comme consistant, on sait même en construire un modèle (Ackerman), si l'axiome de l'infini y était indécidable, on pourrait en conclure que ZF est consistant, résultat non encore obtenu.

Comment être sûr de quoi que ce soit ? Je n'ai pas le niveau pour ces démos.

Référence, wiki anglais:

Independence

The axiom of infinity cannot be derived from the rest of the axioms of ZFC, if these other axioms are consistent. Nor can it be refuted, if all of ZFC is consistent.

Indeed, using the Von Neumann universe, we can make a model of the axioms where the axiom of infinity is replaced by its negation. It is V_\omega \!, the class of hereditarily finite sets, with the inherited element relation.

The cardinality of the set of natural numbers, aleph null (\aleph_0), has many of the properties of a large cardinal. Thus the axiom of infinity is sometimes regarded as the first large cardinal axiom, and conversely large cardinal axioms are sometimes called stronger axioms of infinity.

[invité576543]

J'ai du mal à imaginer un potentiel qui n'aurait d'équivalent actuel (question de vocabulaire, pas de fond).

Curieusement, l'analyse du mot infini va dans l'autre sens. Non fini, non terminé, c'est à dire dont la totalité n'est pas actualisée. Cela pourrait amener à considérer "infini actuel" comme un oxymore.

De là, on pourrait défendre que l'expression "infini potentiel" est redondante, et n'est utilisée que par "réaction" à l'oxymore...

Perso, je pense que c'est le mot infini qui est ambigu. L'infini actuel n'est pas l'actualisation de l'infini potentiel, ce sont deux concepts distincts que par manque de perception nos ancêtres ont couvert d'un même terme.

J'y vois le même type de confusion qu'entre rien et l'ensemble vide. Le second n'est pas l'actualisation du premier.

[Médiat]

Potentiel : Virtuel, en puissance, susceptible d’exister

Et c'est bien cette existence (qualité que n'a pas le potentiel), qui permet de parler de potentiel. Comme je l'ai dis dans ma première intervention ce n'est qu'une question de vocabulaire, et je n'ai pas envie d'ergoter sur ce terrain là.

Quant à l'article de wikipedia, j'avoue ne pas le comprendre :
Si j'appelle ZFC^-, la théorie ZFC dont on a retiré l'axiome de l'infini sans y ajouter sa négation, dire que que si ZFC^- est consistante alors AI est indécidable dans cette théorie, cela veut très exactement dire que :
Si ZFC^- est consistante alors ZFC^- U {AI} est consistante et ZFC^- U {non AI} est consistante.
Or ZFC^- U {non AI} est consistante, donc ZFC^- est consistante, donc ZFC^- U {AI} est consistante, c'est à dire ZFC consistante, or je ne sache pas que ce résultat soit connu et reconnu.

[invite6754323456711]

surtout pour les ensembles finis qu'avec l'axiome du Choix que nombre de mathématiciens ont du mal à avaler cf. http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3131355

C'est peut être la ma difficulté car naïvement pour moi la réponse me semble être dans l'énoncé. L'une quelconque des 99 (voir même 100) fonctions faits l'affaire.

Je précise que « probabilité de réussite au moins de 99% » ne veut pas dire que si on prévoit 100 images, au moins 99 seront justes, mais que si on applique la même stratégie à chacune des 100 fonctions, dans au moins 99 cas on aura fait une prédiction parfaite.

Patrick

[Médiat]

Vous voulez polluer votre fil en le faisant dériver sur un autre ?
Si vous avez des questions sur le fil http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3131355, postez-les là-bas ...

[invite6754323456711]

Vous voulez polluer votre fil en le faisant dériver sur un autre ?

Le point important dans ma réponse relativement au contexte de ce fil porte sur la notion de définition. "Est aussi contenu dans la définition" donc il est apparemment normal qu'il en découle un certain nombre de propriété car tous repose sur cette définition.

Patrick

[Médiat]

Le point important dans ma réponse relativement au contexte de ce fil porte sur la notion de définition. "Est aussi contenu dans la définition" donc il est apparemment normal qu'il en découle un certain nombre de propriété car tous repose sur cette définition.

[invité576543]

Quant à l'article de wikipedia, j'avoue ne pas le comprendre :
Si j'appelle ZFC^-, la théorie ZFC dont on a retiré l'axiome de l'infini sans y ajouter sa négation, dire que que si ZFC^- est consistante alors AI est indécidable dans cette théorie, cela veut très exactement dire que :
Si ZFC^- est consistante alors ZFC^- U {AI} est consistante et ZFC^- U {non AI} est consistante.
Or ZFC^- U {non AI} est consistante, donc ZFC^- est consistante, donc ZFC^- U {AI} est consistante, c'est à dire ZFC consistante, or je ne sache pas que ce résultat soit connu et reconnu.

Il n'y a pas de référence spécifique dans l'article du Wiki. Qui plus est, les interventions sur le sujet dans la page de discussion ne mettent pas en doute le point, juste la forme.

Le Wiki français reprend quasi à l'identique :

Dans la théorie ZFC, si on omet l'axiome de l'infini, la collection des entiers naturels peut être une classe propre, c'est-à-dire que l'axiome de l'infini est bien nécessaire pour l'existence de ω. En effet on montre que dans un univers de la théorie des ensembles, Vω (voir axiome de fondation), la classe des ensembles héréditairement finis (les ensembles finis dont les éléments sont des ensembles finis, et ainsi de suite), est un modèle de tous les axiomes de ZFC sauf l'axiome de l'infini. En effet dans ce cas tous les ordinaux sont des entiers, or la classe des ordinaux est forcément une classe propre (voir paradoxe de Burali-Forti).

Ce modèle montre donc également que l'axiome de l'infini est indépendant des autres axiomes de ZFC, bien-sûr à supposer que ZFC soit une théorie cohérente.

Et pareil, rien dans les discussions. Et rien n'a été touché depuis 2008.

Faudrait d'autres références, dans un sens ou l'autre...

[invite6754323456711]

Mais l'inverse oui,

Existe t-il une démonstration ?

Patrick

[invite6754323456711]

Ce qui confirme ma difficulté.

On ne peut pas tout appeler un ensemble car sinon nous arrivons à des contradictions (l’ensemble A des ensembles qui ne se contiennent pas eux-même : il satisfait à la fois A appartient à A et A n'appartient pas à A (contradiction).

La solution semble donc d'énumérer une suite de propriétés devant être satisfaites par ce que nous appelons « ensemble » (exemple les axiomes ZF).

Les axiomes ZF sans l'axiome de l'infini permettent une construction récursive qui a un ensemble en fait correspondre un strictement plus grand (e.g., {E, {E}}).

L'axiome de fondation interdit de boucler, et on se retrouve avec un "infini potentiel", une suite d'ensembles n'étant pas un ensemble.

N'étant pas forcément un ensemble.

L'infini potentiel ne serait donc pas défini explicitement alors qu'il existe une définition explicite de l'axiome de l'infini (infini actuel) ?

Patrick

[invite6754323456711]

Faut définir correctement l'infini potentiel !

En fait il me semble donc que les difficultés épistémologiques sur la compréhension des différences entre l'infini potentiel et infini actuel provient que l'un est définit formellement de manière explicite (infini actuel) alors que l'autre non (Infini potentiel), ce qui conduit à des interprétations subjectives.

Patrick

[invité576543]

L'infini potentiel ne serait donc pas défini explicitement alors qu'il existe une définition explicite de l'axiome de l'infini (infini actuel) ?

C'est une bonne question, qui m'a turlupiné un temps.

Mon idée est que, non, il n'est pas défini explicitement dans les axiomes, il est défini explicitement dans la notion de langage.

Le terme qu'on rencontre alors est "ensemble récursif". Plus généralement, dans tout ce qui est théorie des langages, les mots "récursif", "récursivement", indique souvent l'infini potentiel (pas toujours, puisque cela inclut aussi le fini).

On tombe ainsi sur l'auto-référence fondamentale des mathématiques, qui nécessitent un langage et qui théorisent ce qu'est un langage.

Vu comme cela, l'infini potentiel m'apparaît totalement intuitif : c'est juste le concept qu'à partir de n formules mathématiques (par exemple n prédicats logiques) on peut toujours en construire une n+1ème différente des n premières.

Il me semble que cette faculté est un a priori à toutes les mathématiques, y compris celles s'intéressant aux fondements.

[Médiat]

L'infini potentiel ne serait donc pas défini explicitement alors qu'il existe une définition explicite de l'axiome de l'infini (infini actuel) ?

Ce n'est pas ce que je voulais dire, Michel (mmy) parle de ZF sans axiome de l'infini, mais dans ZF + négation de l'axiome de l'infini, on peut affirmer que la construction des ensembles transitifs ne donne pas naissance à un ensemble puisqu'un des axiome l'interdit.

[Médiat]

Faudrait d'autres références, dans un sens ou l'autre...

Je vous ai donné une démonstration très, très simple, n'utilisant que la définition de proposition indécidable, et l'existence d'un modèle de ZFC^- U {nonAI}, atestée par Wikipedia ; pour moi le débat est clos.

A tout hasard l'article en Français parle de l'indépendance de AI par rapport à ZFC^-, et là je suis d'accord, si je comprends indépendance comme "ZFC^- ne démontre pas AI". Ce qui n'est pas l'indécidabilité qui est "ZFC^- ne démontre pas AI et ZFC^- ne démontre pas nonAI"

[Médiat]

Existe t-il une démonstration ?

Selon les explications de Michel (mmy) l'infini potentiel correspond à une classe infinie et l'infini actuel à un ensemble infini, et comme un ensemble est une classe, mais qu'une classe n'est pas forcément un ensemble ...

[invité576543]

annullé... Je crois avoir compris la nuance sur l'indécidabilité. Mais un résumé serait le bienvenu.

[invité576543]

Ben non, je relis et je n'ai pas compris.

La proposition "ZFC^- démontre nonAI" est contradictoire avec "ZFC^- union AI est cohérente", non ?

Donc si ZFC est cohérente, alors "ZFC^- ne démontre pas nonAI" s'ensuit.

Non ? Où est l'erreur ?

[Médiat]

Mais un résumé serait le bienvenu.

"AI est indécidable dans ZFC^-" entraine "ZFC est consistante", donc si on savait que "AI est indécidable dans ZFC^-" alors on saurait que "ZFC est consistante" ce qui n'est pas le cas, donc on ne sait pas si "AI est indécidable dans ZFC^-".

"AI est indécidable dans ZFC" est clairement une affirmation fausse.

"Si ZFC est consistante, alors AI est indécidable dans ZFC^-" revient à dire "AI est indécidable dans ZFC^- alors AI est indécidable dans ZFC^-", ce qui n'est pas franchement une information.

[invité576543]

"AI est indécidable dans ZFC^-"

Mais ce n'est pas ce que j'avais écrit dans le premier message . C'était "AI est indécidable dans ZFC^- si ZFC^- cohérente".

Or on ne sait pas si ZFC^- est cohérente, puisqu'elle contient l'érithmétique.

Non ?

Je me suis sûrement avancé en écrivant "indécidable" (qui n'est pas explicite dans le wiki anglais), mais je n'ai toujours pas compris pourquoi.

[Médiat]

Mais ce n'est pas ce que j'avais écrit dans le premier message . C'était "AI est indécidable dans ZFC^- si ZFC^- cohérente".

Or on ne sait pas si ZFC^- est cohérente, puisqu'elle contient l'érithmétique.

Non ?

Mais au contraire comme je vous l'ai déjà dis il y a quelques temps (vous aviez trouvé un article japonais si je me souviens bien sur le modèle d'Ackerman), comme je vous l'ai redis sur ce fil, comme wikipedia anglais l'a aussi rappelé, et comme wikipedia français vous donne une description du modèle, ZFC^- est consistant, on en connaît même des modèles !

Et dites-moi ce qui ne vous convainc pas dans ma démonstration du message #7

[invité576543]

ZFC^- est consistant

OK.

Cela détruit une pré-conception mienne, qui était que le deuxième d'incomplétude de Gödel s'appliquait à toute théorie contenant l'arithmétique, et il me semble que ZFC^- répond bien à cela.

Une possibilité de rétablir une idée claire, c'est que la démonstration de la cohérence de ZFC^- ne peut pas se faire "dans ZFC^-", mais dans quelque chose de plus grand (dans ZFC ?), ce qui serait une idée intrigante, et m'amènerait à me demander où intervient l'axiome de l'infini.

À part cela, désolé d'être têtu et de n'avoir pas la même intelligence que vous, mais j'aime bien comprendre, et mes critères propres pour "comprendre" ne s'arrêtent pas à "on me l'a dit".

[Médiat]

mes critères propres pour "comprendre" ne s'arrêtent pas à "on me l'a dit".

Moi non plus, je démontre !
C'est pourquoi je vous ai donné la démonstration.

[invité576543]

Moi non plus, je démontre !
C'est pourquoi je vous ai donné la démonstration.

Je vous remercie de ce don.

Maintenant, cela ne résout pas mon problème.

Est-ce que ZFC- répond aux critères du second théorème d'incomplétude de Gödel ?

Si non, que manque-t-il ?

Si oui, la cohérence de ZFC- n'a pas été démontrée "dans ZFC-", si ce que je comprend du 2nd théorème d'incomplétude.

Si la cohérence de ZFC- a été démontrée "dans ZFC", la démonstration n'est acceptable que si ZFC est cohérente. Or il est immédiat que ZFC cohérente => ZFC- cohérente.

---

Un résumé qui reste possible (supposant que ZFC- répond aux critères du 2nd théorème d'incomplétude) :

- ZFC- ne permet pas de démontrer AI ;

- Si ZFC est cohérente, alors ZFC- est cohérente ;

- Si ZFC est cohérente, alors ZFC- union nonAI est cohérente ;

- Si ZFC est cohérente, alors ZFC- ne permet pas de démontrer nonAI

- Si ZFC est cohérente, alors AI est indécidable dans ZFC-

(Pour la première, peut-être faut-il aussi conditionner à la cohérence de ZFC ?)

Et la faute dans mon message initial n'était pas le mot "indécidable", comme je l'avais mépris, mais "(si cette dernière théorie est cohérente)" que j'aurais dû écrire "(si ZFC est cohérente)".

Enfin, peut-on tirer de tout ça (j'ai des doutes) :

ZFC est cohérente <=> AI est indécidable dans ZFC- et ZFC- cohérente

[Médiat]

La démonstration de la consistance de ZFC^- n'a pas été faite par une démonstration dans ZFC, mais en exhibant un modèle, donc sans considération syntaxique, mais en utilisant la notion de "vérité", qui est, en-soi, plus forte que l'arithmétique (théorème de Tarski) et que ZFC^- (je n'ai pas de démonstration sous la main de ce dernier point, mais on me l'a dit).

- ZFC- ne permet pas de démontrer AI ;
- Si ZFC est cohérente, alors ZFC- est cohérente ;
- Si ZFC est cohérente, alors ZFC- union nonAI est cohérente ;
- Si ZFC est cohérente, alors ZFC- ne permet pas de démontrer nonAI
- Si ZFC est cohérente, alors AI est indécidable dans ZFC-
(Pour la première, peut-être faut-il aussi conditionner à la cohérence de ZFC ?)

Cet ensemble d'assertions n'est pas cohérent, soit vous considérez comme acquis que ZFC^- U {non AI} est consistante, et alors certaines de ces phrases ont des hypothèses (lourdes) inutiles, soit vous ne considérez pas que ZFC^- U {Non AI} est consistante et certaines de ces phrases sont "fausses".

Et la faute dans mon message initial n'était pas le mot "indécidable", comme je l'avais mépris, mais "(si cette dernière théorie est cohérente)" que j'aurais dû écrire "(si ZFC est cohérente)".

Comme je l'ai écrit ZFC consistante entraine AI indécidable dans ZFC^- (puisque l'on sait que ZFC^- U {non AI} est consistante), mais ce n'est pas un résultat très intéressant.

ZFC est cohérente <=> AI est indécidable dans ZFC- et ZFC- cohérente

Dans la mesure où il ne peut exister d'indécidable dans une théorie non cohérente, il aurait suffit d'écrire :

ZFC est cohérente <=> AI est indécidable dans ZFC-

Mais ceci n'est vrai que parce que l'on sait que ZFC^- U {non AI} est consistante, sinon on pourrait avoir ZFC cohérente et AI démontrable dans ZFC^-, ce qui n'est pas compatible avec le sens ==>

Je vous remercie de ce don.

Une fois de plus ! Donc ceci est mon dernier post pour vous répondre !

[invité576543]

Une fois de plus ! Donc ceci est mon dernier post pour vous répondre !

Pourquoi ne respectez-vous pas la susceptibilité des autres si vous souhaitez qu'on respecte la vôtre ?

[invité576543]

La démonstration de la consistance de ZFC^- n'a pas été faite par une démonstration dans ZFC, mais en exhibant un modèle, donc sans considération syntaxique, mais en utilisant la notion de "vérité", qui est, en-soi, plus forte que l'arithmétique (théorème de Tarski) et que ZFC^- (je n'ai pas de démonstration sous la main de ce dernier point, mais on me l'a dit).

OK. Reste alors la question de comment comprendre à la fois le second théorème d'incomplétude de Gödel et la démonstration que ZFC- est cohérente.

Doit-on comprendre que la notion de "vérité" dont vous parlez échappe aux limitations du 2nd théorème d'incomplétude ?

Autre question : dans quel cadre axiomatique est-il démontré que l'existence d'un modèle implique la cohérence ? Se pourrait-il qu'apparaisse l'infini actuel dans ce cadre ?

(J'ai remarqué que dans nombre de textes sur la théorie des langages formels se glissent des expressions ressortissant de l'infini actuel, ne serait-ce que le très simple "ensemble de mots écrits sur un alphabet". Cela me fait soupçonner que l'axiome de l'infini est utilisé un peu partout, d'où la question...)