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Notions sur le produit infini



  1. #1
    nowis

    Question Notions sur le produit infini


    ------

    Voila juste je n'ai pas fait la theorie sur les produits infinis, j'aborde juste la question dans un probleme donc il faut sans doute revenir a la definition de base mais j'y arrive pas...

    Soit la serie Un tel que Sigma un converge et Sigma Un² diverge
    de plus valeur absolue de un est strictement inferieur à 1

    Voila on me demande de montrer que le pif produit de (1+Un) converge et que sa valeur est nulle... Vous avez quelques idées ?

    -----

  2. #2
    indian58

    Re : Notions sur le produit infini

    prends le log et pose vn=log(1+un).

  3. #3
    Romain-des-Bois

    Re : Notions sur le produit infini

    Pour préciser ce que dit Indian :
    séries et produits infinis, c'est pareil, il suffit de prendre le log...

  4. #4
    Ksilver

    Re : Notions sur le produit infini

    Salut !

    c'est quand assez technique au final je trouve :

    il faut prendre le log et faire un Dl à l'ordre 2 : (c'est possible car |Un|<1, donc 1+Un>0

    ln(produit des 1+un) = somme des ln(1+un)

    ln(1+un) = Un -Un²/2 +O(Un^3)

    soit k la constante du O (ie O(Un^3) <k*|Un|^3 )

    somme des Un converge, donc Un->0, donc |Un|<1/3k à partir d'un certain rang.

    donc à partir d'un certain rang :

    on a alors ln(1+un) = Un -Un²/2 +Tn, avec |Tn|<Un^2/3

    et donc somme des Un converge, et somme des -Un²/2+Tn < somme des -Un²/6 -> -l'infinit.

    donc le log tend vers moins l'infinit, donc le produit tend vers 0 !

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