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Notions sur le produit infini




  1. #1
    nowis

    Question Notions sur le produit infini

    Voila juste je n'ai pas fait la theorie sur les produits infinis, j'aborde juste la question dans un probleme donc il faut sans doute revenir a la definition de base mais j'y arrive pas...

    Soit la serie Un tel que Sigma un converge et Sigma Un² diverge
    de plus valeur absolue de un est strictement inferieur à 1

    Voila on me demande de montrer que le pif produit de (1+Un) converge et que sa valeur est nulle... Vous avez quelques idées ?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    indian58

    Re : Notions sur le produit infini

    prends le log et pose vn=log(1+un).

  4. #3
    Romain-des-Bois

    Re : Notions sur le produit infini

    Pour préciser ce que dit Indian :
    séries et produits infinis, c'est pareil, il suffit de prendre le log...


  5. #4
    Ksilver

    Re : Notions sur le produit infini

    Salut !

    c'est quand assez technique au final je trouve :

    il faut prendre le log et faire un Dl à l'ordre 2 : (c'est possible car |Un|<1, donc 1+Un>0

    ln(produit des 1+un) = somme des ln(1+un)

    ln(1+un) = Un -Un²/2 +O(Un^3)

    soit k la constante du O (ie O(Un^3) <k*|Un|^3 )

    somme des Un converge, donc Un->0, donc |Un|<1/3k à partir d'un certain rang.

    donc à partir d'un certain rang :

    on a alors ln(1+un) = Un -Un²/2 +Tn, avec |Tn|<Un^2/3

    et donc somme des Un converge, et somme des -Un²/2+Tn < somme des -Un²/6 -> -l'infinit.

    donc le log tend vers moins l'infinit, donc le produit tend vers 0 !

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