Notions sur le produit infini
Voila juste je n'ai pas fait la theorie sur les produits infinis, j'aborde juste la question dans un probleme donc il faut sans doute revenir a la definition de base mais j'y arrive pas...
Soit la serie Un tel que Sigma un converge et Sigma Un² diverge
de plus valeur absolue de un est strictement inferieur à 1
Voila on me demande de montrer que le pif produit de (1+Un) converge et que sa valeur est nulle... Vous avez quelques idées ?
prends le log et pose vn=log(1+un).
Pour préciser ce que dit Indian :
séries et produits infinis, c'est pareil, il suffit de prendre le log...
Salut !
c'est quand assez technique au final je trouve :
il faut prendre le log et faire un Dl à l'ordre 2 : (c'est possible car |Un|<1, donc 1+Un>0
ln(produit des 1+un) = somme des ln(1+un)
ln(1+un) = Un -Un²/2 +O(Un^3)
soit k la constante du O (ie O(Un^3) <k*|Un|^3 )
somme des Un converge, donc Un->0, donc |Un|<1/3k à partir d'un certain rang.
donc à partir d'un certain rang :
on a alors ln(1+un) = Un -Un²/2 +Tn, avec |Tn|<Un^2/3
et donc somme des Un converge, et somme des -Un²/2+Tn < somme des -Un²/6 -> -l'infinit.
donc le log tend vers moins l'infinit, donc le produit tend vers 0 !
