Question terminologique pour les logiciens.

[karlp]

Bonjour

Je dois intervenir dans un séminaire dans lequel je vais être amené à évoquer les notions de démonstration formelle et de vérité et j'ai peur de dire une "ânerie" (d'autant plus que l'auditoire ne sera pas en mesure de critiquer cet aspect du propos que je vais y tenir et que je ne voudrais surtout pas me rendre coupable de la propagation d'une nouvelle ineptie).

Est-ce qu'il est ou non correct de dire que le théorème de complétude de Gödel établit la stricte équivalence entre la notion de "démonstrabilité" et la notion de "vérité" ?

Je sais (ou crois savoir) que ce théorème montre que diverses théories du premier ordre sont complètes, c'est à dire que toute formule vraie y est démontrable.

Cela implique t'il que les expressions "démontrable" et "vrai" sont interchangeables quel que soit le système considéré ?
(je crois que oui, mais j'ai toujours un doute)

Merci
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[Deedee81]

Salut,

En attendant l'intervention d'un logicien plus calé :

Cela implique t'il que les expressions "démontrable" et "vrai" sont interchangeables quel que soit le système considéré ?
(je crois que oui, mais j'ai toujours un doute)

Je ne crois pas puisque justement le théorème d'incomplétude montre lui que certaines propositions sont non démontrables (dans des systèmes ayant un "certain" degré de complexité, ici incluant l'arithmétique). Or cela n'interdit pas de considérer cette proposition comme vraie (ou fausse d'ailleurs) et de l'inclure comme un nouvel axiome (il est vrai qu'il devient alors trivialement démontrable !!!! Mais dans le nouveau système).

Donc, moi j'aurais tendance à considérer les deux notions comme différentes bien que fort proches.

Il n'y a pas moyen de trouver des définitions précises sur un site spécialisé ?

[Médiat]

Bonjour cher karlp,

En remarque liminaire, je ne vous autorise à ouvrir le spoil ci-dessous, que si vous publiez (ici ou dans ma boîte mail ), le texte de votre conférence (que je m'instruise un peu auprès de vous) .

 Cliquez pour afficher

Est-ce qu'il est ou non correct de dire que le théorème de complétude de Gödel établit la stricte équivalence entre la notion de "démonstrabilité" et la notion de "vérité" ?

Non, le théorème de complétude de Gödel établit la stricte équivalence entre la notion de "démonstrabilité" et la notion de "vérité dans tous les modèles", pour les théories du premier ordre.

Je sais (ou crois savoir) que ce théorème montre que diverses théories du premier ordre sont complètes, c'est à dire que toute formule vraie y est démontrable.

Une théorie complète est une théorie dont tous les modèles sont élémentairement équivalents (vérifient les mêmes formules du premier ordre, et cela n'a rien à voir avec Gödel), donc ici, "vrai dans un modèle" est équivalent à "vrai dans tous les modèles" et donc à "démontrable".

Cela implique t'il que les expressions "démontrable" et "vrai" sont interchangeables quel que soit le système considéré ?
(je crois que oui, mais j'ai toujours un doute)

Non, surtout pas, d'abord il faut que la théorie soit du premier ordre, et complète (je prends toujours "vrai" comme signifiant "vrai dans tous les modèles", sinon cette expression n'a pas de sens.

Amicalement,

Médiat

[karlp]

Bonjour Deedee et merci à vous, vous avez un large pas d'avance sur moi.

Merci infiniment cher Médiat!

Je savais que je pouvais compter sur vous
Je vais d'abord bien prendre le temps de m'assurer de la compréhension de vos éclaircissements.
Je vais ensuite corriger ma présentation en fonction de ceux ci.
Je vous promets ensuite de vous envoyer le texte de ma communication, mais je vous avoue que ce n'est pas sans appéhension. C'est toutefois un très grand honneur que vous me faîtes et je ne manquerai pour rien au monde cette occasion de soumettre mon propos à un esprit éclairé et d'une rigueur rare.
J'en profite pour vous dire que je n'aurai jamais rien compris à certains passages de la conférence de Lacan que je dois présenter sans les leçons que vous avez par le passé accepté de m'offrir.
Excellente journée à vous!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Mediat a raison, il faut donc amender mes réponses dans le cas des théories complètes (dans ce cas mon argument avec le théorème d'incomplétude est évidement caduque).