Différence entre "vrai" et "valide"

[mh34]

La logique ne se préoccupant pas de vérité, mais de validité, je ne vois pas comment elle pourrait prétendre au monopole "sur le vrai".

C'est vrai ( désolée pour l'emploi du mot! ) mais le nombre de gens qui font la confusion ( à commencer par moi quoi que un peu moins maintenant) ne se compte pas. Je ne sais pas si ( en fait je ne crois pas que) tu réalises à quel point les notions élémentaires ( ou plutôt qui te paraissent élémentaires) de logique sont un autre monde pour le citoyen lambda.

Pour donner un exemple ; une de mes plus grandes surprises sur ce forum ( j'en ai eu quelques-unes de taille ) a été de découvrir qu'un raisonnement pouvait à la fois être valide et aboutir à une conclusion fausse.
Ca je peux te dire que c'est TRES perturbant. Parce que pour moi "valide" était équivalent à "vrai". Et que ça a été ( ça l'est encore) difficile de ne plus entendre ça.
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[Médiat]

Bonjour chère Marie-Hélène,

Pour résumer (brutalement ) : lorsqu'un mathématicien prétend avoir démontré , il ne dit rien sur , et rien sur , il ne parle que de .

[mh34]

Pour résumer (brutalement ) : lorsqu'un mathématicien prétend avoir démontré , il ne dit rien sur , et rien sur , il ne parle que de .

Bonjour Médiat.
Si j'ai bien compris, cette relation ne renseigne même pas sur le fait que P et Q soient faux ou vrais? Donc on peut établir une relation entre deux éléments dont l'un est faux et l'autre vrai?
Mais ( dernière question parce que je réalise bien que je suis hors-sujet par rapport au fil...) si le mathématicien ne s'occupe pas de P et Q, qui s'en occupe alors?

[Médiat]

Bonjour chère Marie Hélène,

Ce que dit , c'est que si est "vrai", alors est "vrai", mais ne dit rien dans le cas où est "faux", et ne dit pas si est "vrai" ou "faux".

Un exemple (assez grossier) : il existe plusieurs théories de la géométrie du "plan", dans chacune de ces théories, il y a des théorèmes (éventuellement contradictoires d'une théorie à l'autre), mais en aucun cas le mathématicien (les mathématiques) ne dit que nous vivons dans telle ou telle géométrie.

Ce qui répond à ta deuxième question, ce sont les physiciens, les ingénieurs, les individus "standard" qui décident, ou en tout cas, qui font comme (et cela peut être plus ou moins à la manière de M. Jourdain), si est vrai ou non, et dans bien des cas, pour les deux premières catégories, ce choix peut dépendre des circonstances, et s'ils décident de "vivre" en un lieu (pour un sujet particulier) ou est "vrai", alors le mathématicien leur dit qu'ils peuvent "croire" en . Toutes mes précautions scripturales ne sont pas inutiles

Remarque : tous les théorèmes sont de la forme .

PS : Je demande à un modérateur habilité de créer un nouveau fil avec les messages # 19, 20, 34 et 35, je te laisse choisir le titre .

[A voir en vidéo sur Futura]

[JPL]

Messages extraits d'une autre discussion à la demande de Médiat. Titre à choisir.

[shokin]

J'ai modifié le titre de ce fil, l'appelant : Différence entre "vrai" et "valide".



Cela implique que la vérité se trouve sur la table.

Une implication est elle-même une proposition.

est la négation de , et réciproquement.

Exemple :

P : Jean a au moins trente dents.
Q : Jean a au moins vingt dents.

La proposition est vraie.
On ne sait pas si est vraie ou fausse.
On ne sait pas si est vraie ou fausse.

Dès le moment où est vraie, on a trois possibilités :





Chaque implication a une contraposée. La contraposée de est , et réciproquement.

En bref, .

[invite765732342432]

Ca je peux te dire que c'est TRES perturbant. Parce que pour moi "valide" était équivalent à "vrai". Et que ça a été ( ça l'est encore) difficile de ne plus entendre ça.

Le problème n'est-il pas simplement que "valide" et "vrai" ne s'appliquent pas à la même chose ?

Un raisonnement peut-être valide ou non.
Une affirmation peut-être vraie ou non.

Le raisonnement "si mon père était mort à 2 ans, je ne serais jamais né" est valide.
L'affirmation "je ne suis pas né" n'est pas vraie.

[invite29cafaf3]

La proposition est vraie.
On ne sait pas si est vraie ou fausse.
On ne sait pas si est vraie ou fausse.

La proposition est vraie.[/QUOTE]

Non, une proposition peut être VALIDE mais pas vraie ou fausse.

.... ce qui n'est pas du tout la même chose !

Pour P et Q , qu'elle soient vraies ou fausses n'est pas du domaine de la logique.

[mh34]

Ce que dit , c'est que si est "vrai", alors est "vrai", mais ne dit rien dans le cas où est "faux", et ne dit pas si est "vrai" ou "faux".

Ce qui répond à ta deuxième question, ce sont les physiciens, les ingénieurs, les individus "standard" qui décident, ou en tout cas, qui font comme (et cela peut être plus ou moins à la manière de M. Jourdain), si est vrai ou non, et dans bien des cas, pour les deux premières catégories, ce choix peut dépendre des circonstances, et s'ils décident de "vivre" en un lieu (pour un sujet particulier) ou est "vrai", alors le mathématicien leur dit qu'ils peuvent "croire" en .

Donc si P est faux, on ne peut plus écrire P=> Q? Ca signifie qu'on est d'abord obligé de s'occuper de P, et que les mathématiciens n'arrivent qu'en seconde position pour "consolider" un choix, en quelque sorte?

Un exemple (assez grossier) : il existe plusieurs théories de la géométrie du "plan", dans chacune de ces théories, il y a des théorèmes (éventuellement contradictoires d'une théorie à l'autre), mais en aucun cas le mathématicien (les mathématiques) ne dit que nous vivons dans telle ou telle géométrie.

Ok.

Remarque : tous les théorèmes sont de la forme .

Ok.

[mh34]

Le problème n'est-il pas simplement que "valide" et "vrai" ne s'appliquent pas à la même chose ?

Un raisonnement peut-être valide ou non.
Une affirmation peut-être vraie ou non.

D'accord, mais on peut si j'ai bien compris, avec un raisonnement valide arriver à un résultat faux. Et c'est là qu'est le problème pour moi.

[invite231234]

La proposition de Faith ramène du passé au présent !

[Médiat]

Bonjour,

Cet exemple est un peu particulier, car il s'agit d'une tautologie du calcul propositionnel, c'est à dire une assertion valide dans le cadre d'une logique (pas forcément dans toutes), quel que soit la théorie et quel que soient et .

PS : un logicien utilise plutôt les symboles et au lieu de et

[Médiat]

Un raisonnement peut-être valide ou non.
Une affirmation peut-être vraie ou non.

C'est un peu plus compliqué que cela, votre première phrase que vous appelez raisonnement est aussi une affirmation.

Personnellement (mais je ne suis pas le seul), j'utilise valide pour une formule, dans le cadre d'une théorie (donc signification syntaxique), et vrai (bien que je m'en méfiasse) uniquement pour parler de "vérité" dans un ou des modèles (signification sémantique) et à la condition absolue de préciser dans quel(s) modèle(s) (sauf s'il s'agit d'une théorie complète).

[Médiat]

Donc si P est faux, on ne peut plus écrire P=> Q?

Si, si, ne présume rien sur et sur

Ca signifie qu'on est d'abord obligé de s'occuper de P, et que les mathématiciens n'arrivent qu'en seconde position pour "consolider" un choix, en quelque sorte?

Oui, ou pour donner des résultats quel que soit le choix qui "sera" fait.

[Médiat]

D'accord, mais on peut si j'ai bien compris, avec un raisonnement valide arriver à un résultat faux. Et c'est là qu'est le problème pour moi.

Est-ce que l'on peut dire, hors contexte, que la phrase "par un point extérieur à une droite il passe une et une seule parallèle à cette droite" est vraie ?

La réponse est non ! Car cela dépend de la géométrie dans laquelle on travaille (il peut y en avoir 0 ou une infinité dans les géométries non euclidiennes usuelles), tu vois que dans cet exemple "Vrai" ne veut rien dire.

[karlp]

Non, une proposition peut être VALIDE mais pas vraie ou fausse.

.... ce qui n'est pas du tout la même chose !

Pour P et Q , qu'elle soient vraies ou fausses n'est pas du domaine de la logique.

Bonjour à tous

Bonjour Pelkin,

En algèbre de Boole, on dit bien que la proposition "p implique q " est vraie dans le cas où p est fausse, ainsi que dans le cas où p et q sont vraies. C'est ainsi que se lisent les symboles 1 et 0.

Je vous accorde néanmoins qu'il vaut mieux ici éviter ce vocabulaire utilisé en logique propositionnelle, dès lors que ce qui est en jeu est la distinction entre "validité" (que Blanché associe à la vérité formelle) et "vérité" (terme réservé à la "vérité matérielle").

[Médiat]

ce qui est en jeu est la distinction entre "validité" (que Blanché associe à la vérité formelle) et "vérité" (terme réservé à la "vérité matérielle").

Bonjour très cher karlp,

Autrement dit distinction (évidente) entre syntaxique et sémantique

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Un exemple qui m'avait parler syntaxiquement et sémantiquement.

Soit, en logique du premier ordre, F la formule close F = ∀x ∀y (p(x,y) → ∃ z ( p(x,z) ∧ p(z,y) ) P est un prédicat. Je n'ai que syntaxe, structure à base de symboles qui permet d’exprimer qq chose (signifiant). Pour la rendre sensible il nous faut lui donner du sens en proposant des interprétations (signifiés).

En notant G l’implication, on a F :∀x ∀y ( G )

- Interprétation I1 pour de domaine D1 qui est l'ensemble des réels. Le prédicat binaire p est l'ordre <

si p(x,y) est faux, G est vraie
si p(x,y) est vrai, alors x<y. Posons z =( x+y)/2. Alors, p( x,z) est vrai et p( z,y) aussi

en conclusion, la formule F est satisfiable et I1 constitue un modèle pour F.

- Interprétation I2 pour de domaine D2 qui est l'ensemble des entiers naturels. Le prédicat binaire p est encore l'ordre <

si p(x,y) est faux, G est vraie
si p(x,y) est vrai, alors x<y. Il n’existe pas d’entiers entre x et y dès lors que x et y sont consécutifs. G peut être fausse

En conclusion F ne saurait donc être valide car il existe des interprétations qui ne satisfont pas F, mais elle n'est pas insatisfiable.

Patrick

[Médiat]

Bonsoir,

Une autre façon de le dire : votre formule est indécidable dans la théorie des ordre totaux, alors qu'elle est un théorème dans la théorie des ordres denses.

[shokin]

La réponse est non ! Car cela dépend de la géométrie dans laquelle on travaille (il peut y en avoir 0 ou une infinité dans les géométries non euclidiennes usuelles), tu vois que dans cet exemple "Vrai" ne veut rien dire.

A mon avis, mh34 va peut-être devoir se frotter à deux choses :

- la logique, dont on parle dans ce fil,
- les géométries non-euclidiennes, qui sont un peu moins le sujet de cette discussion.

[invite6754323456711]

A mon avis, mh34 va peut-être devoir se frotter à deux choses :

- la logique, dont on parle dans ce fil,
- les géométries non-euclidiennes, qui sont un peu moins le sujet de cette discussion.

Le premier paragraphe de cet article me semble abordable. Il reprend l'exemple de la théorie des ordre totaux.

Patrick

[Médiat]

Adam est un homme normal, on pourrait même dire, le premier venu, il a pour ami, enfin, comme connaissance, E-Clide qui est membre d’une secte bizarre (vous avez vu son nom, avec un trait d’union ?), les mathématicos.

Adam – Salut E-Clide, j’ai fait une expérience bizarre et j’aimerais ton avis.

E-Clide – Oh moi, tu sais, les expériences, ce n’est pas ma tasse de thé, même aromatisé au raim (*) de riz.

Adam – Laisse moi t’expliquer : j’ai tracé, sur mon grand cahier blanc, des triangles de tailles et de formes très différentes, et bien figure-toi que j’ai mesuré les angles de tous ces triangles et la somme fait toujours 180°, étonnant, non ? J’ai aussi fait la même chose avec un grand triangle tracé avec des piquets et des ficelles dans la cour de ma ferme et j’obtiens le même résultat. Maintenant je suis quasiment certain que certain que c’est vrai, qu’en penses-tu ?

E-Clide – Ca veut dire quoi « Vrai »

Adam – Ben euh, vrai ça veut dire que c’est la vérité, la réalité, enfin quoi c’est que c’est vrai !

E-Clide, pas convaincu, est allé retrouver les siens (facile à trouver, c’est la grande maison où est inscrit sur le frontispice « Aγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω ») pour discuter de la question d’Adam.

E-Clide – J’ai une idée : si Adam croit vivre dans un monde euclidien, nous savons que nous pouvons démontrer que dans tous les modèles de la géométrie euclidienne, la somme des angles d’un triangle est égal à 180°, c’est peut-être cela qu’il veut dire par « Vrai » : que le résultat est correct dans son monde.

Les autres mathématicos – Ouais, t’a qu’à lui dire ça, puisque nous l’avons démontré, mais nous on a autre chose à faire que de discuter avec tes potes sur l’usage de nos démonstrations, dans leur monde (rire de l’assemblée).

E-Clide – Bon ben je retourne lui dire ; mais je ne vois toujours pas le rapport avec la réalité.

E-Clide retrouve son pote au bistrot s'assoit sur une chaise à la table d'Adam et commande un verre de bière.

E-Clide – Salut Adam, mes amis et moi sommes formels, la somme des angles d’un triangle est toujours égal à 180° en géométrie euclidienne.

Adam ne voulant entendre que ce qu’il a envie d’entendre s’exclame :

Adam – Génial, j’avais donc raison, j’ai découvert une superbe et magnifique vérité.

Plusieurs années plus tard, Adam, tout bronzé, retourne voir E-Clide, à la limite de la colère :

Adam – Dis-donc E-Clide, tu te fous de moi, je viens de passer plusieurs années à tracer un très grand triangle en plantant un piquet au pôle nord, un autre sur l’équateur à l’intersection avec le méridien de Greenwich, un troisième, toujours sur l’équateur, à l’intersection avec le méridien à 90° est (en plein océan, pas facile), et ben la somme des angles est de 270°, pas 180°, tu m’as raconté n’importe quoi, en fait c’est pas vrai que la somme des angles d’un triangle est toujours égal à 180°.

E-Clide – Mais tu as changé de géométrie, c’est normal que les théorèmes changent.

Adam – Tu racontes n’importe quoi, la vérité, c’est la vérité, ce n’est pas discutable tellement c’est vrai.

Complètement démoralisé, E-Clide retourne voir ses amis mathématicos, pour leur exposer la réaction d’Adam.

Les autres mathématicos – On s’en fiche, nous on démontre, ton pote il fait ce qu’il veut avec.

E-Clide – Oui, mais on ne peut pas le laisser sans réponse, sans lui expliquer.

Les autres mathématicos – Lui expliquer quoi ? Que son monde n’est pas celui dans lequel nous travaillons, il ne voudra jamais l’admettre, même s’il trouve cela déraisonnable il trouve nos travaux trop efficaces pour accepter cette idée.

E-Clide – D’accord, mais c’est un copain, j’aimerais bien expliquer que ses points, ses droites et ses plans ne sont pas nos points, nos droites et nos plans, mais cela ne va pas être facile, nous aurions du choisir un autre vocabulaire.

D-Hilbert (un autre mathématicos) – Je vous l’avais bien dit qu’il fallait les baptiser « verre de bière », « chaise » et « table », burp ! Oh pardon !

(*) Branche en vieux français, les mathématicos sont des gens bizarres !

[mh34]

A mon avis, mh34 va peut-être devoir se frotter à deux choses :

- la logique, dont on parle dans ce fil,
- les géométries non-euclidiennes, qui sont un peu moins le sujet de cette discussion.

Pour la logique j'avais bien compris, mais pour la géométrie non-euclidienne...

J'ai bien ri avec l'histoire d'Adam et E-clide, en tout cas, merci Médiat.

Bon, reprenons.
Dans P=>Q, on peut donc avoir P et Q indépendamment faux et vrais ( ça fait 4 cas de figure différents) avec => valide dans chacun des cas de figure.
Sur quels critères décide-t-on que => est valide?

[Médiat]

Pour la logique j'avais bien compris, mais pour la géométrie non-euclidienne...

Même après l'histoire d'Adam et E-Clide (avec du grec dans le texte, spécial dédicace )?

Dans P=>Q, on peut donc avoir P et Q indépendamment faux et vrais ( ça fait 4 cas de figure différents) avec => valide dans chacun des cas de figure.
Sur quels critères décide-t-on que => est valide?

C'est très simple :

P|Q|P=>Q
--------
V|V| V
V|F| F
F|V| V
F|F| V

Tu vois que P=>Q peut être "vrai" sans que je puisse rien dire sur P et Q (bizarrement c'est uniquement quand P=>Q est "faux" que je sais ce qu'il en est pour P et Q).

[Matmat]

Bon, reprenons.
Dans P=>Q, on peut donc avoir P et Q indépendamment faux et vrais ( ça fait 4 cas de figure différents) avec => valide dans chacun des cas de figure.
Sur quels critères décide-t-on que => est valide?

Pour changer la valeur de vérité d'un théorème il suffirait de changer les axiomes de la théorie alors que pour changer sa validité il faudrait changer les axiomes (les règles) de la logique elle-même, dans le premier cas devez déduire (démontrer) une proposition à partir d'autres propositions de la théorie alors que dans le deuxième cas vous devez vérifier que c'est une tautologie et donc même dans une autre théorie elle en serait encore un théorème (tant que la logique utilisée reste la même).

[karlp]

Bonjour très cher karlp,

Autrement dit distinction (évidente) entre syntaxique et sémantique

Bonjour très cher Médiat

Il n'est en tout cas pas inutile de rappeler ces termes: ils autorisent l'utilisation (métaphorique) des concepts linguistiques que nous propose Patrick (ce qui m'est particulièrement précieux dans l'utilisation que j'entrevois de votre texte sur le théorème de Gödel et l'achat par internet, pour la compréhension rigoureuse de "concepts" qui, chez Freud, sont encore employés de façon mythique).

(HS:J'apprécie énormément votre dialogue "façon Platon" et je vais l'ajouter à la bibliothèque personnelle de vos allégories, images et analogies que je suis en train de constituer.)

[mh34]

Même après l'histoire d'Adam et E-Clide (avec du grec dans le texte, spécial dédicace )?

Je l'ai bien vue, la dédicace! Mais si tu crois que je comprendrai mieux la géométrie non-euclidienne en grec, à mon avis tu te fais des illusions!
Sérieusement, j'ai bien compris le message.

C'est très simple :

S'il y a une chose que je redoute, c'est quand on commence une explication par ces trois mots ; parce que je sais d'avance qu'il y a un truc qui va coincer pour moi.
Et ça n'a pas loupé ; pourquoi si P est vrai et Q faux, ton => n'est pas valide?
Il ne se trouve jamais des cas où que P soit vrai implique que Q soit faux?
( je t'avais prévenu de te munir d'anxiolytiques... )

[Médiat]

Ne t'inquiètes pas pour les anxiolytiques, j'ai deux ados à la maison .

La définition de "=>" c'est justement que Si P est "vrai" alors Q doit l'être, donc si tu es dans le cas ou P est "vrai" et Q est "faux" alors P=> Q est "faux".

Si je te propose la phrase "Si il pleut Médiat prend son parapluie" et que tu te demandes si cette phrase est vraie, tu vas m'observer tous les jours de pluie (les autres jours, c'est inutile, tu es d'accord ?). Et si tu constates qu'un jour où il pleut je n'ai pas pris de parapluie, tu vas en déduire que la phrase ci-dessus est "fausse".

Un autre exemple : la phrase "Si Médiat aime tous les livres de F.Mauriac, alors il aime "Le noeud de vipères"", tu peux sans connaître mes goûts savoir si cette phrase est "vraie" ou non (il suffit de savoir que "Le noeud de vipères" est bien un livre de F. Mauriac), mais est-ce que cela te renseigne sur mes goûts ?

[karlp]

Et pourtant si ! c'est très simple

J'ai proposé comme image, à un enfant d'école primaire, celle du porte monnaie (p) qui est rangé dans un sac (q).
Si c'est dans le porte monnaie, alors c'est dans le sac.
Si ce n'est pas dans le porte monnaie, alors on ne sait pas.
Si c'est dans le sac, on ignore si c'est, ou non, dans le porte monnaie.
Si ce n'est pas dans le sac, alors ce n'est pas dans le porte monnaie.

(Bon le problème est qu'il s'agit ci dessus d'exemples pour la logique propositionnelle ancienne, celle des stoïciens.)

[Médiat]

(HS:J'apprécie énormément votre dialogue "façon Platon"

Je vous remercie de cette comparaison outrageusement flatteuse, mais Platon ne s'adonnait pas au plaisir du calembour facile