Cohérence entre mathématiques et physique ?

[Chaospace]

Bonjour,

Le titre n'est pas très précis mais quelque chose me gène à propos d'un ancien problème de géométrie, soulevant une question métaphysique je dirais et ayant surement déjà fait l'objet de débats, mais dont je ne trouve pas l'existence et donc encore moins de réponse(s).

Le problème de géométrie en question est le fameux problème des 2 échelles de 3m et 4m qui se coupent à 1m du sol dans un couloir dont il faut calculer la largeur.

Un problème géométrique qui nous amène à une équation du 8^ème degré, pour laquelle il existe 8 solutions : 4 complexes donc 2 négatives et 4 réelles dont 2 négatives également. Par "déduction" on ne conserve que les deux solutions réelles positives en éliminant les 6 autres solutions, car la solution que l'on cherche est une distance, qui est donc forcément une valeur réelle et positive. Ces deux solutions restantes, assez proches l'une de l'autre, sont deux largeurs du couloir possibles d'environ 2.6m et 2.9m. La bonne solution étant la première par déduction logique, car si le couloir mesurait 2.9m de large, l'échelle de 3m serait presque posée au sol, ce qui n'est pas possible car pour rappel, l'autre échelle de 4m est censée la couper à 1m du sol.

Et c'est là que je ne comprends pas pourquoi les mathématiques nous proposent deux solutions réelles positives alors que physiquement, il ne peut exister qu'une solution ! Je dirais même plus, je ne comprends pas pourquoi les mathématiques nous proposent 8 solutions alors que physiquement, il ne peut en exister qu'une seule.

Ce problème de géométrie est bien sûr un exemple parmi une multitude d'autres problèmes qui doivent soulever le même questionnement m’amenant à penser qu'il y a un problème sous-jacent de cohérence entre l'imaginaire des maths et la réalité. Cela me fait aussi penser à la question "les mathématiques ont-elles été inventées ou découvertes ?" (Platoniciens VS Formalistes)

Pourquoi l'on trouve des solutions mathématiques irréelles et/ou négatives ?
Les mathématiques permettent-elles juste, telles un outil, d'extrapoler la réalité en un monde imaginaire plus vaste sans devoir l'interpréter ? ou bien nous disent-elles que la réalité est bien plus que ce que nous pouvons en percevoir ? Ne percevons-nous qu'une partie de la réalité (la réalité physique : l'espace réel et les distances positives) alors que tout ce qui existe dans le monde soit disant imaginaire des mathématiques fait peut-être aussi partie de la réalité mais nous ne pouvons le percevoir ?

Merci de m'éclairer.
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[Médiat]

Bonjour,

Je vous propose un autre problème : je dispose d'une équerre dont un des côté de l'angle droit mesure 3 cm, l'autre 4 cm, quelle est la longueur du troisième côté ?
je peux poser , ce qui me donne deux solutions dont une négative que l'on rejette, vous voyez que l'introduction d'un carré introduit une solution négative que l'on accepte pas pour des raisons physique, mais j'aurais pu écrire mon équation de départ :
, et il n'y a plus qu'une seule solution.

J'aurais pu aussi écrire (bien mieux) :

[Chaospace]

Salut Médiat,

Oui merci pour cet autre exemple de problème géométrique (bien plus simple) qui met aussi en évidence une partie de mon questionnement (les valeurs négatives comme longueurs). Dans mon exemple, on obtient deux valeurs réelles positives différentes, c'est encore plus troublant je trouve !

Si comme tu le dis, on impose des domaines de définitions particuliers de x, alors on restreint le nombre de solutions pour n'en avoir qu'une par exemple.
Mais pourquoi ? Pour coller à notre perception de la réalité et à notre logique selon laquelle la physique n'admet que des longueurs réelles et positives.
S'il y a plusieurs solutions mathématiques, il y a bien une raison ? ou bien c'est un piège de vouloir interpréter les solutions irréelles/négatives ?

On admet que les distances ne peuvent qu'être réelles et positives, par principe ? Et si ce n'était pas le cas ? S'il fallait changer de paradigme ?
Bon d'accord... je pars peut-être un peu trop loin dans l'interprétation de cette interrogation et les maths ne seraient juste qu'un outil, point final ?

ça m'intrigue quand même, surtout cette histoire des deux valeurs réelles positives différentes quant au problème des échelles

[Médiat]

Bonjour,

Dans mon exemple, on obtient deux valeurs réelles positives différentes, c'est encore plus troublant je trouve !

Je connais une solution de ce problème qui ne fait intervenir qu'une équation du quatrième degré n'ayant qu'une seule solution réelle positive, puis une équation du second degré n'ayant qu'une seule solution réelle positive.

De plus dans le cas du problème que vous posez la condition est plutôt .

Si comme tu le dis, on impose des domaines de définitions particuliers de x, alors on restreint le nombre de solutions pour n'en avoir qu'une par exemple.
Mais pourquoi ?

Parce que le passage de la perception physique au monde mathématique est une opération qui n'est pas l'identité.

c'est un piège de vouloir interpréter les solutions irréelles/négatives ?

Souvent, oui, imaginez () que je demande quelle est la longueur du deuxième côté de l'angle droit d'un triangle rectangle dont un côté est de mesure 1 et l'hypoténuse de mesure 0 ? Est que la bonne réponse est : longueur = , ou le théorème de Pythagore n'est valide que pour les mesures réelles positives, ou : la question est mal posée, ou : la question n'a pas de réponse ?

On admet que les distances ne peuvent qu'être réelles et positives, par principe ? Et si ce n'était pas le cas ? S'il fallait changer de paradigme ?
Bon d'accord... je pars peut-être un peu trop loin dans l'interprétation de cette interrogation et les maths ne seraient juste qu'un outil, point final ?

Question de physique, hors de mes compétences.

ça m'intrigue quand même, surtout cette histoire des deux valeurs réelles positives différentes quant au problème des échelles

cf. ci-dessus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

J'embraie (un peu) sur la partie physique.

N'oublions pas en tout premier lieu que les mathématiques en physique servent à modéliser les phénomènes physiques. Elle n'ont pas vertu d'être des modélisations parfaites. Elles le sont dans la mesure de nos connaissances en physique, de la précision des mesures et modulo un certain nombre de contraintes imposées par le modèle lui-même.

On admet que les distances ne peuvent qu'être réelles et positives, par principe ? Et si ce n'était pas le cas ? S'il fallait changer de paradigme ?
Bon d'accord... je pars peut-être un peu trop loin dans l'interprétation de cette interrogation et les maths ne seraient juste qu'un outil, point final ?

Là il faut aussi rappeler que la physique est avant toute chose une science expérimentale, basée sur la mesure. On mesure des longueurs avec des instruments qui induisent une définition de la longueur qui est forcément positive. Je préfère préciser la longueur car on utilise parfois des distances avec un signe négatif pour indiquer une direction le long d'un axe donné.

Ceci dit, il faut tempérer ces propos car on sait que nos modèles sont incomplets et même sans résultats expérimentaux il y a matière à progresser. Je pense à la gravitation quantique où l'on a deux théories (la relativité générale et la mécanique quantique) qui ne sont pas compatibles alors qu'il existe des domaines où on sait que les deux doivent s'appliquer (au tout début du big bang par exemple).

Et là, ce n'est pas les idées qui manquent. Avec un impact sur le concept de "longueur" au niveau fondamental :
- longueur = opérateur, la longueur physique étant un état quantique superposé de différentes longueurs (quantifiées)
=> gravité quantique à boucles
- longueur = truc abstrait
=> géométries non commutatives

On va donc bien plus loin que du "simple négatif"

[Chaospace]

Merci pour vos réponses

De plus dans le cas du problème que vous posez la condition est plutôt .

Oui exact ^^

Parce que le passage de la perception physique au monde mathématique est une opération qui n'est pas l'identité.

N'oublions pas en tout premier lieu que les mathématiques en physique servent à modéliser les phénomènes physiques. Elle n'ont pas vertu d'être des modélisations parfaites. Elles le sont dans la mesure de nos connaissances en physique, de la précision des mesures et modulo un certain nombre de contraintes imposées par le modèle lui-même.

D'accord, c'est le fait de géométriser le problème physique qui induit des "incohérences".

Souvent, oui, imaginez () que je demande quelle est la longueur du deuxième côté de l'angle droit d'un triangle rectangle dont un côté est de mesure 1 et l'hypoténuse de mesure 0 ? Est que la bonne réponse est : longueur = , ou le théorème de Pythagore n'est valide que pour les mesures réelles positives, ou : la question est mal posée, ou : la question n'a pas de réponse ?

Oui dans ce cas l'algèbre permet de trouver comme solution, mais en géométrie en effet ça n'a pas de sens.

Là il faut aussi rappeler que la physique est avant toute chose une science expérimentale, basée sur la mesure. On mesure des longueurs avec des instruments qui induisent une définition de la longueur qui est forcément positive. Je préfère préciser la longueur car on utilise parfois des distances avec un signe négatif pour indiquer une direction le long d'un axe donné. [...]
Et là, ce n'est pas les idées qui manquent. Avec un impact sur le concept de "longueur" au niveau fondamental :
- longueur = opérateur, la longueur physique étant un état quantique superposé de différentes longueurs (quantifiées)
=> gravité quantique à boucles
- longueur = truc abstrait
=> géométries non commutatives

On va donc bien plus loin que du "simple négatif"

Et donc la longueur est uniquement un concept ?

[eudea-panjclinne]

Si les mathématiques modélisent relativement (*) bien la physique, les concepts mathématiques n'ont pas strictement leur pendant en physique et il s'en faut de beaucoup d'ailleurs. Par exemple, les concepts issus de l'arithmétique ont peu "d'images" en physique. Réciproquement, les sciences physiques posent de véritables colles aux physiciens-mathématiciens qui suent sang et eau pour en dégager de véritables concepts mathématiques. Newton a été obligé de créer de toute pièce ses calculs différentiel et intégral pour pouvoir développer correctement sa mécanique céleste. Sauf erreur de ma part, l'intégrale de chemin de Feynman ne semble pas encore aujourd'hui bien justifiée mathématiquement.
Mais, il y a des curiosités, par exemple : La théorisation de l'électron fut provoquée par l'écriture par Paul Dirac, en 1928, d'une équation relativiste le décrivant. Cette équation, appelée maintenant équation de Dirac, admet des résultats dont une part correspond à l'électron, alors qu'une autre, inverse, ne semblait pas, à l'époque, avoir de sens immédiat. Dirac proposa de considérer l'existence d'une nouvelle particule, le positron qui fut effectivement découvert plus tard.
La découverte, uniquement dans la sphère mathématique, des géométries non euclidiennes au cours du 18e siècle fut marquée de controverses vives sur leur réalité, jusqu'à ce que ces géométries trouvent leur justification dans la sphère physique au début du 20e siècle avec la relativité générale.

(*) C'est Eugène Wigner qui parle de la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences naturelles, ce qu'il ne souligne pas c'est que les Physiciens-Mathématiciens doivent travailler beaucoup pour cela et qu'il ne suffit pas de se baisser pour ramasser les concepts intéressants.

[S321]

Je dirais que votre problème se résout tout simplement en se rappelant que lorsqu'on écrit les équations pour résoudre ce problème on raisonne par implication et non par équivalence.

On se dit : "Si x est solution de notre problème alors il vérifie telle équation." Ensuite on résout l'équation et on sait que le x qu'on cherche est l'une des solutions de cette équation. Ce qui nous a considérablement réduit le problème, on est passé d'une infinité de solutions envisageables à seulement huit. Après il faut encore utiliser d'autres méthodes de raisonnement pour éliminer 7 de ces 8 candidats et vérifier que le 8ème fonctionne pour être sûr d'avoir une seule solution à notre problème.
Le raisonnement utilisé ne permettant à aucun moment de dire que "Si x est solution de l'équation alors il est solution de notre problème".

[Deedee81]

Salut,

Je répond juste à ça.

Et donc la longueur est uniquement un concept ?

Un concept mais basé sur des méthodes expérimentales (et à un niveau plus théorique, parfois sur des choix franchement arbitraires, mais essayant toujours de faire le lien avec la notion de longueur utilisée dans des modélisations, théories, plus proche de l'expérience).

Concernant la déraisonnable efficacité des mathématiques. Ca ne me pose pas trop de problème. Je trouve plus troublante la remarque d'Einstein (qui n'est pas sans lien avec celle de Wigner quand on y réfléchit bien) disant que ce qui est incompréhensible est que le monde soit compréhensible. Il n'est ni trop simpliste (auquel cas on ne serait même pas là) ni trop chaotique (au point que toute modélisation s'avèrerait utopique).

[toothpick-charlie]

(...). Ces deux solutions restantes, assez proches l'une de l'autre, sont deux largeurs du couloir possibles d'environ 2.6m et 2.9m. La bonne solution étant la première par déduction logique, car si le couloir mesurait 2.9m de large, l'échelle de 3m serait presque posée au sol, ce qui n'est pas possible car pour rappel, l'autre échelle de 4m est censée la couper à 1m du sol.

Je ne comprends pas comment tu peux trouver une solution "impossible" si tu poses correctement les équations. Si tu trouves trop de solutions c'est que tu as oublié des contraintes.

[Amanuensis]

Je ne comprends pas comment tu peux trouver une solution "impossible" si tu poses correctement les équations. Si tu trouves trop de solutions c'est que tu as oublié des contraintes.

Pas nécessairement, du moins pas de contraintes autres que la question d'origine. La réponse de S321 est correcte: on raisonne souvent par implication, et ce de cela que provient le problème. C'est oublié de vérifier les contraintes.

En prenant un cas absurde, si on prend l'équation x-1 = 0, avec comme contrainte x entre 0 et 2, alors cela implique que (x-1)(x-1.1) = 0, qui a deux solutions toutes deux respectant les contraintes (en fait, quelles que soient les contraintes autre que x=1, on pourra jouer comme ça).

Pour répéter ce qui dit S321, dans une modélisation physique -> maths, on procède très souvent (en fait toujours) par implication et non par équivalence, et donc l'étape finale de vérification des solutions contre la question originelle est nécessaire.

Le point important à réaliser est qu'on n'est pas toujours conscient de "l'élargissement" du problème qui vient d'une implication: c'est rarement aussi patent que multiplier une équation à 0 par une autre équation à 0!

[Amanuensis]

Ces deux solutions restantes, assez proches l'une de l'autre, sont deux largeurs du couloir possibles d'environ 2.6m et 2.9m. La bonne solution étant la première par déduction logique, car si le couloir mesurait 2.9m de large, l'échelle de 3m serait presque posée au sol, ce qui n'est pas possible car pour rappel, l'autre échelle de 4m est censée la couper à 1m du sol.

Ceci dit, doit bien y avoir une contrainte tacite éliminant la solution 2.9, autre que ce qui est écrit là! Serait-il possible d'avoir un peu plus d'information (pas envie de refaire les calculs...) sur cette solution à 2.9 m, en particulier la coordonnée horizontale du point d'intersection?

(Je peux imaginer sans trop de difficulté que la contrainte est simplement que les deux échelles soient dans le couloir, et (donc) le point d'intersection aussi!)

[toothpick-charlie]

La réponse de s321 n'est pas fausse mais il me semble que résoudre un probème tel que celui des échelles, ce n'est pas juste trouver une équation que doit vérifier la solution, c'est trouver toutes les équations. Si on en oublie il faut les faire intervenir par la suite pour départager les solutions, bref c'est juste une façon maladroite de résoudre le problème. Et au fait, où intervient la physique ici?

[S321]

Je ne comprends pas comment tu peux trouver une solution "impossible" si tu poses correctement les équations. Si tu trouves trop de solutions c'est que tu as oublié des contraintes.

L'idée du raisonnement effectué c'est d'oublier volontairement certaines des contraintes au départ pour pouvoir poser des équations plus simplement. Effectivement au final on trouve trop de solutions, mais ce n'est pas un problème car les contraintes qu'on a négligées tout d'abord on s'en souvient quand même et on peut donc les réinjecter dans notre problème.

Ces deux solutions restantes, assez proches l'une de l'autre, sont deux largeurs du couloir possibles d'environ 2.6m et 2.9m. La bonne solution étant la première par déduction logique, car si le couloir mesurait 2.9m de large

J'ajouterais quand même qu'en s'arrêtant à ce moment là dans raisonnement on a démontré que : Si x est solution de notre problème alors il est solution de l'équation trouvée et que 7 des 8 solutions de cette équation ne sont pas solution de notre problème.
Ainsi il ne nous reste qu'un seul candidat, mais il faut encore terminer la synthèse et démontrer que cet unique candidat est bel et bien solution à notre problème. Ça se fait très facilement en utilisant le théorème des valeurs intermédiaire qui nous permettra d'affirmer l'existence d'au moins une solution (on en a déjà au plus une), mais encore faut-il le dire.

[Chaospace]

Merci à tous pour vos réponses et remarques.

Si les mathématiques modélisent relativement (*) bien la physique, les concepts mathématiques n'ont pas strictement leur pendant en physique et il s'en faut de beaucoup d'ailleurs. Par exemple, les concepts issus de l'arithmétique ont peu "d'images" en physique. Réciproquement, les sciences physiques posent de véritables colles aux physiciens-mathématiciens qui suent sang et eau pour en dégager de véritables concepts mathématiques.

Je dirais que votre problème se résout tout simplement en se rappelant que lorsqu'on écrit les équations pour résoudre ce problème on raisonne par implication et non par équivalence.
[...]
Le raisonnement utilisé ne permettant à aucun moment de dire que "Si x est solution de l'équation alors il est solution de notre problème".

Pour répéter ce qui dit S321, dans une modélisation physique -> maths, on procède très souvent (en fait toujours) par implication et non par équivalence, et donc l'étape finale de vérification des solutions contre la question originelle est nécessaire.
Le point important à réaliser est qu'on n'est pas toujours conscient de "l'élargissement" du problème qui vient d'une implication: c'est rarement aussi patent que multiplier une équation à 0 par une autre équation à 0!

Ok j'ai bien compris cette logique mathématique qui peut nous amener à des solutions irréelles si des conditions ne sont pas respectées tout au long du raisonnement.

Ceci dit, doit bien y avoir une contrainte tacite éliminant la solution 2.9, autre que ce qui est écrit là! Serait-il possible d'avoir un peu plus d'information (pas envie de refaire les calculs...) sur cette solution à 2.9 m, en particulier la coordonnée horizontale du point d'intersection?

En supposant que le couloir fasse 2.9m avec du Pythagore et Thalès on peut retrouver la hauteur de l'intersection, la flemme aussi
Peut être que l'origine du problème qui nous donne 8 solutions et non 1 seule vient du fait qu'on obtient à un moment donné cette équation où l'on doit mettre successivement au carré les membres pour enlever les racines et on obtient un polynôme du 8^ème degré :



Enfin comme le rappelle eudea-panjclinne, les mathématiques permettent parfois de prédire des phénomènes physiques voire l'existence d'objets physiques.

Concernant la déraisonnable efficacité des mathématiques. Ca ne me pose pas trop de problème. Je trouve plus troublante la remarque d'Einstein (qui n'est pas sans lien avec celle de Wigner quand on y réfléchit bien) disant que ce qui est incompréhensible est que le monde soit compréhensible. Il n'est ni trop simpliste (auquel cas on ne serait même pas là) ni trop chaotique (au point que toute modélisation s'avèrerait utopique).

Tout à fait ^^

Et donc la longueur est uniquement un concept ?

Un concept mais basé sur des méthodes expérimentales (et à un niveau plus théorique, parfois sur des choix franchement arbitraires, mais essayant toujours de faire le lien avec la notion de longueur utilisée dans des modélisations, théories, plus proche de l'expérience).

Ok, plein d'interrogations me reviennent mais on s'éloignerait du sujet

Encore merci à tous.