Existe-t-il des choses définies mais inaccessible à la logique ?

[invite2449fb7c]

Merci.
Les entiers seraient des objet définies à partir des seules axiomes d'une logique bien choisie, et qui vérifieraient l'axiomatique de Peano par exemple.
Non je ne connais pas ce livre.
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[Médiat]

Bonjour,

Deux précisions à propos des Principia Mathematica :

1. Bien que travaillant en logique depuis 45 ans, je trouve le formalisme de ces livres totalement imbuvable
2. Le logicisme (initié par Frege) qui est à la base des travaux de Whitehead et Russell est totalement abandonné depuis de très nombreuses années (au profit de la théorie des ensembles ZF)

[invite2449fb7c]

Bonjour,

Existe-t-il une logique permettant de définir à partir de ses seuls axiomes des objets vérifiant les axiomes de Peano ?

Merci.

[invite82078308]

Des choses, des objets ...
admettons que les nombres entiers (naturels) soient ce dont parle l'arithmétique.
Les axiomes de Peano portent en fait sur des relations entre ces objet.
On peut, même à l’intérieur de l'arithmétique, définir de nouvelles classes d'objets, sur lesquels on définit de nouvelles relations qui satisferont les axiomes de Peano:
On peut considérer par exemple les entiers pairs, l'addition restera la même ,la multiplication de a par b sera donnée par a*b/2 etc.
Ce qui illustre l'affirmation de Bertrand Russel: "en mathématiques, on ne sait pas de quoi on parle ..."

[invite2449fb7c]

Bonjour,

Ce qui veux dire oui ?

[invite82078308]

Je dirais plutôt que les "choses" mathématiques ne sont que partiellement accessibles par la logique et qu'on ne peut véritablement les définir.
Je me me place du point de vue selon lequel les mathématiques parlent de quelque chose même si on ne sait pas vraiment quoi.

[invite2449fb7c]

Existe-t-il une logique permettant de définir à partir de ses seuls axiomes des objets vérifiant les axiomes de Peano ?

Il me semble qu'il y a 3 réponses possibles :
-oui
-non
-personne ici ne le sait.

Mais laquelle est la bonne ?

[Médiat]

Lisez les principia, vous aurez la réponse !

Vous avez oublié :

- Personne ici ne veut vous répondre

[invite82078308]

Autre possibilité:
La question est mal formulée et il faut la reformuler pour donner une réponse.
J'ai fait ce que j'ai pu en ce sens.
à priori, je ne vois pas ce que je pourrais dire de plus.

[invite2449fb7c]

Lisez les principia, vous aurez la réponse !

Vous avez oublié :

- Personne ici ne veut vous répondre

Il me semblait que l'on était dans un forum de vulgarisation scientifique, et non dans un forum pour expert.

Vous ne voulez pas répondre, c'est votre droit, j'espère qu'une autre personne ayant étudier la logique pourra me donner une réponse en ne me renvoyant pas à la lecture d'un livre dont même vous, vous trouvez son formalisme "imbuvable".

[Médiat]

Il me semblait que l'on était dans un forum de vulgarisation scientifique,

C'est pourquoi je vous ai aidé à compléter votre liste

[invite2449fb7c]

Pourrais-je savoir pourquoi, vous ne voulez pas répondre ?

[invite6f9dc52a]

Pourrais-je savoir pourquoi, vous ne voulez pas répondre ?

Il n'a pas dit qu'il ne voulait pas répondre: il a simplement précisé ce qui manquait logiquement:

-oui
-non
-personne ici ne peut répondre.
-personne ne veut répondre.

[invite2449fb7c]

Je n'en suis pas sûr, de toutes les façons, je pense qu'il n'a pas besoin de porte parole.

PS : me renvoyer à lecture d'un livre dont même lui, trouve son formalisme "imbuvable", me paraît étrange

[invite6f9dc52a]

Je n'en suis pas sûr, de toutes les façons, je pense qu'il n'a pas besoin de porte parole.

Ce n'est pas un de ses besoins que je comble: j'explique ce que j'ai compris d'un message qu'un intervenant montre ne pas avoir compris.

PS : me renvoyer à lecture d'un livre dont même lui, trouve son formalisme "imbuvable", me paraît étrange

Imbuvable mais instructif (c'est parfois le cas pour les sujets ardus).

[Médiat]

Imbuvable mais instructif (c'est parfois le cas pour les sujets ardus).

D'autant plus que comme je l'ai écrit déjà deux fois ici, la réponse est dans ce livre, mais visiblement c.pas.moi ne veut pas faire d'efforts

[invite2449fb7c]

Bonjour,

Bien que travaillant en logique depuis 45 ans, je trouve le formalisme de ces livres totalement imbuvable

Cela ne donne pas du tout envie de se plonger dedans, bref si une âme charitable veut bien me répondre, cela m'arrangerais beaucoup.

2 dernières questions pour vous :
-est-ce possible en logique égalitaire du première ordre de définir des entiers de Peano, à l'aide des seuls axiomes de cette logique ?
-Pourquoi ?

[invite82078308]

Si on considère les axiomes de la logique du premier ordre égalitaire, ceux ci s'appliquent à toutes sortes de théories, dont certaines ont des modèles finis.
Débrouillez vous avec ça !

[invite6f9dc52a]

Re : Existe-t-il des choses définies mais inaccessible à la logique ?

Cela ne donne pas du tout envie de se plonger dedans, bref si une âme charitable veut bien me répondre, cela m'arrangerais beaucoup.

Si en toute logique vous devriez vous plonger dans le livre pour avoir ces réponses et que vous ne le faites pas, ces choses vous resteront inaccessibles.

[invite2449fb7c]

Débrouillez vous avec ça !

Si cela vous dérange de répondre, vous pouvez ne pas répondre.

Vous avez oublié :

- Personne ici ne veut vous répondre

Au lieu d'être désagréable.

[invite2449fb7c]

Cela me fait penser à cela :
C : "Est-ce que la logique... ?"
M : "Il suffit que tu étudies une série de livres, que même avec mon expérience je trouve très difficile d’accès."
C : ""

[invite82078308]

Si cela vous dérange de répondre, vous pouvez ne pas répondre.

J'ai été plus patient que certains ici, il se trouve que je n'ai pas de mépris pour ceux qui ne maitrisent pas certaines notions et prends donc souvent la peine de m'efforcer de leur répondre , mais si aucune réponse ne peut vous satisfaire, comprenez que je me lasse un peu.

Je continuerai donc à répondre si cela me chante, comme toujours.

[Médiat]

il se trouve que je n'ai pas de mépris pour ceux qui ne maitrisent pas certaines notions et prends donc souvent la peine de m'efforcer de leur répondre.

Je n'ai aucun mépris pour les gens qui ne maitrisent pas certaines notions c'est même exactement le contraire pour ceux qui désirent apprendre, aussi longtemps qu'ils font plus d'efforts que ce qu'ils demandent aux autres (lire les réponses me semble un minimum, et ici j'ai déjà donné toutes les réponses aux questions initiales).

[invite82078308]

Bertrand Russel aurait dit que la seule personne qui avait lu et compris intégralement les Principia étai Kurt Gödel. (je ne suis pas sur de l'anecdote, il faudrait que je trouve une source)
Les mathématiciens ont finalement préféré la théorie ZF, peut être en partie à cause d'un excès de formalisme de Russel.
De ce fait, les Principia appartiennent davantage à l'histoire des mathématiques qu'aux mathématiques, même si on peut peut être encore y trouver des choses intéressantes.

[invite2449fb7c]

et ici j'ai déjà donné toutes les réponses aux questions initiales

tout à fait, mais pas la dernière.

Ce n'est pas très grave cette question doit avoir une multitude de forme équivalente, je finirais bien par trouver une forme à laquelle vous voudrez bien répondre.

[Médiat]

@Schrodies-cat : C'est à peu près ce que je disais au message#92, donc nous sommes d'accord

[invite95c3ea9d]

Bonjours à tous,

quelques questions me viennent:

- est ce que la logique est forcément rationnelle ?
- Je tombe souvent sur la distinction bien faite entre "la logique" et "ce qui est logique" du coup, est ce que "La logique" englobe toute les logiques possibles ?

[invitea5cf685d]

en tout cas, Kurt Godel a déjà répondu à cette question en demontrant qu'aucun systeme non contradictoire ne pouvait être complet si ce systeme intègre la theorie des nombres
Oui, il existera toujours des assertions vraies et indémontrables

Maintenant à la question de savoir s'il pouvait exister des axiomes sur lesquels on ne peut tirer aucune conclusion supplémentaire il y a deux temps de reponse

D'une part et par definition l'axiome lui meme n'est pas demontrable, c'est la brique elementaire censée être vraie sans démonstration ce qui répond à l'énoncé du post

D'autre part, des axiomes ne servent qu'en integrant une logique de 1er ordre donc des règles typographiques de deduction
Seuls, ils ne servent à rien et la production de théorèmes imposent davantage que des axiomes

Enfin, nous pouvons imaginer des axiomes dénués de lien quant à leur domaine de reference voire contradictoires et dans ce cas rien ne peut être deduit
Les axiomes de la géométrie euclidienne sont contradictoires à ceux de la géométrie de Riemann

[Médiat]

Bonjour

en tout cas, Kurt Godel a déjà répondu à cette question en demontrant qu'aucun systeme non contradictoire ne pouvait être complet si ce systeme intègre la theorie des nombres

Non, le théorème de Gödel ne dit pas cela, la preuve : est non contradictoire, complet et intègre la théorie des nombres

Oui, il existera toujours des assertions vraies et indémontrables

Que veut dire "vraie" dans cette phrase ?

Maintenant à la question de savoir s'il pouvait exister des axiomes sur lesquels on ne peut tirer aucune conclusion supplémentaire il y a deux temps de reponse

D'une part et par definition l'axiome lui meme n'est pas demontrable, c'est la brique elementaire censée être vraie sans démonstration ce qui répond à l'énoncé du post

Le sens de "vraie" utilisé dans cette phrase invalide complètement la phrase précédente, de plus un axiome est toujours démontrable (si jamais cette phrase seule a un sens)

D'autre part, des axiomes ne servent qu'en integrant une logique de 1er ordre donc des règles typographiques de deduction
Seuls, ils ne servent à rien et la production de théorèmes imposent davantage que des axiomes

Les théories du second ordre (par exemple) n'utilisent pas d'axiomes ?
Si ce que vous voulez dire c'est qu'un axiome sans le cadre d'une logique ne sert à rien, alors j'irais plus loin que vous : hors du cadre d'une logique, on ne sait même pas si une formule est bien formée ou non

Enfin, nous pouvons imaginer des axiomes dénués de lien quant à leur domaine de reference voire contradictoires et dans ce cas rien ne peut être deduit
Les axiomes de la géométrie euclidienne sont contradictoires à ceux de la géométrie de Riemann

Bien sûr, puisqu'avant de parler d'axiomes, il faut définir les formules et donc logique, et langage

[invitea5cf685d]

Je ne suis ok sur rien... Peu importe
Par exemple vous prenez en exemple une theorie et complete et non contradictoire et bien sur que cela existe...
En revanche vous n'integrez pas la theorie des nombres dans son intégralité et j'affirme clairement que si vous l'integrez, aucune theorie ne peut être complete et contradictoire