Existe-t-il des choses définies mais inaccessible à la logique ?

[pazuzen]

Voici le wiki anglais à propos de ce théorème.
Il dit que le théorème original est technique mais qu'il peut se formuler ainsi :

The formal theorem is written in highly technical language. It may be paraphrased in English as:[citation needed]
Any effectively generated formal system capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete. In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statement that is true,[2] but not provable in the system

Comme le soutenait Alain Connes, c'est Vrai qui est utilisé, pas indécidable.

Ceci étant, je trouve qu'il n'y a pas d'incompatibilité entre les deux.
Le fait de dire indécidable signifie juste pour moi que certaines des assertions en question qui échappent à la démonstration sont vraies, d'autres fausses et que toutes sont indémontrables

Par voie de conséquence, dire qu'il existe des assertions vraies indémontrables est un sous groupe d'assertions indécidables.

Bon,...., je passe mais ce débat me semble bien avoir tout sons sens et je reste en phase avec la vision d'Alain Connes.
-----

[Médiat]

Peut-être n'avez-vous pas remarqué, dans votre citation : "Any effectively generated formal system " (cf. le théorème de Pythagore avec la moitié des hypothèses), ni "It may be paraphrased in English as" (donc pas des mathématiques)

J'attends toujours votre définition de "vrai" en mathématiques !

[pazuzen]

Ce n'est pas en citant encore et encore une "formule" que jamais Gödel n'a démontrée que cela la rendra plus crédible ! C'est aussi ridicule que si j'affirmais que le théorème de Pythagore affirme que dans tous triangles, la somme des carrés de deux côtés est égal au carré du troisième côté !


Que veut dire "vraies" dans cette phrase ? Je ne sais pas ce qui vous gêne dans les mots que vous utilisez (en citation ou non) mais vous semblez refuser d'en donner une définition !

Est ce que vous vous êtes bien rendu compte sur le sujet de votre intervention que j'ai copié / coller l'extrait du site futura mathématiques et que ce ne sont pas mes mots ?
Je veux dire, pourquoi ne modérez vous pas ces phrases de notre propre site qui expliquent les grandes bases de Godel ?

[pazuzen]

Peut-être n'avez-vous pas remarqué, dans votre citation : "Any effectively generated formal system " (cf. le théorème de Pythagore avec la moitié des hypothèses), ni "It may be paraphrased in English as" (donc pas des mathématiques)

J'attends toujours votre définition de "vrai" en mathématiques !

J'attends surtout la votre ayant donné plus d'un éclairage sur ce sujet...
En attendant, sur notre propre site, ils en parlent, pourquoi ne reprenez vous pas la présentation de ce qui est vrai en résumé du théorème de Godel sur le site référent quand vous le cherchez au beau milieu du forum ?

Je recopie / colle cet extrait futura mathématiques...

Le grand mathématicien David Hilbert, qui avait été à l'origine de ce problème, l'espérait. Mais Gödel mit fin à cet espoir en démontrant que tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique devait contenir des propositions qui ne pouvaient être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question. Si l'on décidait qu'une de ces propositions était un autre axiome, on aurait un nouveau système, mais qui contiendrait lui aussi des propositions dont la vérité ou la fausseté sont indécidables. Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer. C'est souvent en ces termes que l'on parle « du » théorème d'incomplétude de Gödel, mais il s'agit en fait de son premier théorème d'incomplétude.

[Médiat]

Je veux dire, pourquoi ne modérez vous pas ces phrases de notre propre site qui expliquent les grandes bases de Godel ?

Parce que ce n'est pas mon rôle et parce que ce n'est pas mon site (et que je ne sais pas de quoi vous parlez (le site est grand)) !

[Médiat]

J'attends surtout la votre ayant donné plus d'un éclairage sur ce sujet...

Je vais donc supposer que vous ne connaissez pas le sens des mots que vous utilisez, puisque vous refusez obstinément de les expliciter !


J'attends toujours votre définition de "vrai" en mathématiques !

[karlp]

Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer. .

Comment le sait on qu'elles sont "vraies" si on ne peut les démontrer ? Sauf erreur de ma part*, le théorème de complétude établit l'équivalence entre "vrai" et "démontrable".

(* et je ne demande pas mieux que d'être corrigé)

[Médiat]

Bonjour très cher karlp

Pas d'erreur de votre part, le théorème de complétude de la logique du premier ordre établit bien l'équivalence entre "vrai dans tous les modèles de la théorie" et "démontrable dans la théorie", seule signification (globale (*)) de "vrai" que je trouve légitime, mais elle rend complètement caduque la formulation "vraie mais indémontrable" puisqu'elle serait équivalente à ""démontrable mais indémontrable".

(*)Il y a des circonstances locales où "vrai" peut ne pas être ambigu, mais ce ne peut en aucun cas être celui du théorème d'incomplétude de Gödel (qui n'est pas local)

[pazuzen]

Une assertion vraie mathématiquement et la vérité si je mens....

Bien.... vous voyez je vais essayer d'être plus précis en vous faisant remarquer que la formalisation d'une critique est toujours beaucoup plus facile que la formalisation de son exposé.
Aussi puisqu'il s'agit de votre cheval de bataille, je ne vois pas bien pourquoi je vais évoquer ce sujet controversé que je vais forcément survoler en risquant le contresens sémantique et la critique qui sera aisée mais soit :

Un énoncé vrai mathématiquement est selon moi et stricto sensu un énoncé susceptible d'être démontré avec une réponse positive à cet énoncé dans le cadre du formalisme de la théorie (axiomatique + logique de 1er ordre)
Se faisant, ce qui est vrai dans une théorie mathématique peut être évidemment faux dans une autre théorie.
Un théorème est juste un énoncé mathématique démontré au sein de la théorie concernée contrairement à une conjecture.

Le point important est donc de répondre par valide / invalide toute assertion mathématique proposé à partir des théorèmes qui découlent des axiomes et de la logique de premier ordre.
On est dans le cadre d'une théorie dite récursivement axiomatisables donc donnant la possibilité de démonter la démonstration pour revenir aux axiomes initiaux
Et on voit déjà entre théorèmes et conjectures la différence se profiler entre prouvabilité et véracité...

Le problème vient du fait que les axiomes ne sont pas des 'machins au hasard' mais des résultats de processus assez complexes dans le sens où, ils doivent avoir un certain intérêt dans leur énoncé mais surtout qu'ils sont tenaillés entre l'incomplétude d'une part et la contradiction d'autre part...
Un système d'axiomes contradictoire n'a aucun intérêt puisqu'on peut démontrer une chose et son contraire et plus on en met, plus le risque de contradiction est fort...
Et qu'à l'inverse, si on en met insuffisamment, arrive ce moment où un énoncé du domaine de référence ne pourra pas être démontré avec les axiomes contenus dans le système....c'est l'incomplétude

Par exemple, je peux construire une théorie dont les axiomes ne répondent pas à la thématique de savoir si, par un point donné, passe une seule droite parallèle et donc compléter mon système axiomatique
-> Euclide ou Rieman....
Se faisant, un système incomplet peut être intéressant en étant un "plus petit commun dénominateur" à différentes théories contradictoires entre elles !

Ce qui est significatif pour Godel (ce qu'a priori les gens ici ne partagent pas mais bon...), c'est que ce qui est démontré incomplet quels que soient le nombre d'axiomes est toute théorie qui se base sur le fondement même des mathématiques à savoir l'arithmétique de Peano
Mieux. Si un énoncé est indécidable dans une théorie non contradictoire, on peut l'ajouter comme axiome ou ajouter dans une autre théorie sa contradiction comme axiome tout en préservant la non contradiction initiale

Par analogie, si nous étions sur un ordinateur.... un système complet n'aura aucun énoncé qui ne pourra être résolu par un process algorithmique intégrant cette logique formelle
un système incomplet aurait des énoncés indécidables et donc risquerait de tourner en boucle (le problème de l'arrêt de Turing)

La 'quasi totalité' des preuves et démonstrations faites par les mathématiciens supposent l'arithmétique de Peano de manière sous jacente qui est non contradictoire faute de quoi, une assertion vraie aurait sa contre vérité dans le même temps... dur dur de développer les maths la dessus...

Et pour piger le truc, si je dis que Peano est non contradictoire c'est un énoncé vrai et c'est aussi un énoncé non démontrable dans l'arithmétique...donc non décidable au sein de l'arithmétique donc pas vrai au sens de l'arithmétique...
plus personne ne suit...

Donc à la notion de vérité qui est en fait la notion de preuve au sein d'une théorie, certaines vérités étant contradictoires entre théories... il faut donc distinguer la notion de vérité "dans le sens usuel" qui sont des vérités que l'on connait parce que, justement, nous savons nous écarter des systèmes par d'autres éclairages apportés par d'autres systèmes.

Demander de vérifier la non contradiction de l'arithmétique par l'arithmétique, c'est comme demander à un potentiel menteur de nous dire la vérité.
Aucun système ne peut être complet sans être contradictoire s'il intègre la TNT

Est ce que je vous dis la vérité ?
La vérité si je mens... faites le tri à présent...

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Bonjour très cher karlp

Pas d'erreur de votre part, le théorème de complétude de la logique du premier ordre établit bien l'équivalence entre "vrai dans tous les modèles de la théorie" et "démontrable dans la théorie", seule signification (globale (*)) de "vrai" que je trouve légitime, mais elle rend complètement caduque la formulation "vraie mais indémontrable" puisqu'elle serait équivalente à ""démontrable mais indémontrable".

(*)Il y a des circonstances locales où "vrai" peut ne pas être ambigu, mais ce ne peut en aucun cas être celui du théorème d'incomplétude de Gödel (qui n'est pas local)

C'est vous même qui m'aviez ouvert les yeux sur ce point il y a maintenant 5 ou 6 ans ! Je connaissais pourtant le théorème de complétude, mais j'étais resté incapable d'en tirer certaines conséquences nécessaires : et vous m'aviez très simplement posé la question que je me suis permis de poser ci dessus.
Trop heureux d'avoir grâce à vous pu abandonner ce qui était une erreur, je "paye ma dette" aujourd'hui avec l'espoir que pazuzen pourra à son tour rectifier cette fausse croyance.

[pazuzen]

Ouh la j'interviens de suite
Euh... vous êtes bien conscient que le périmètre de l'échange est plus particulièrement le premier théorème d'incomplétude et non le théorème de complétude des prédicats du premier ordre ?
Honnêtement suis pas braqué mais le périmètre de départ est quand même le minimum sur lequel nous accorder.

[Médiat]

Un énoncé vrai mathématiquement est selon moi et stricto sensu un énoncé susceptible d'être démontré avec une réponse positive à cet énoncé dans le cadre du formalisme de la théorie (axiomatique + logique de 1er ordre)
Se faisant, ce qui est vrai dans une théorie mathématique peut être évidemment faux dans une autre théorie.
Un théorème est juste un énoncé mathématique démontré au sein de la théorie concernée contrairement à une conjecture.

Donc avec cette définition (qui me va très bien) "vraie mais indémontrable" peut s'écrire "démontrable mais indémontrable", je vous laisse faire seul(e) la critique d'une telle affirmation.

Ce qui est significatif pour Godel (ce qu'a priori les gens ici ne partagent pas mais bon...), c'est que ce qui est démontré incomplet quels que soient le nombre d'axiomes est toute théorie qui se base sur le fondement même des mathématiques à savoir l'arithmétique de Peano

Toujours faux, cf. le "théorème de Pythagore" que j'ai cité.

Donc à la notion de vérité qui est en fait la notion de preuve au sein d'une théorie, certaines vérités étant contradictoires entre théories... il faut donc distinguer la notion de vérité "dans le sens usuel" qui sont des vérités que l'on connait parce que, justement, nous savons nous écarter des systèmes par d'autres éclairages apportés par d'autres systèmes.

Pas des mathématiques.

[Schrodies-cat]

Une petite récréation logique pour se détendre :
Par la méthode de Gödel, on peut coder dans l'arithmétique de Peano ( que nous appellerons A) un énoncé qui signifie que A est consistante. (on peut coder la démontrabilité dans A et cela revient à coder que l'absurde n'est pas démontrable .)
Le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel dit que cet énoncé, que nous appellerons c n'est pas démontrable dans A.
On en déduit, :
Qu'on peut Construire une théorie, que nous appellerons B en ajoutant (non c) à A comme axiome sans introduire de contradiction !
En effet, si c'était le cas, cela signifierait qu'on peut déduire l'absurde de A et non c, donc qu'on pourrait déduire c de A par un raisonnement par l'absurde !

Voici une théorie B bien étrange , contenant A, non contradictoire (pour autant que A le soit, ce que tous les mathématiciens espèrent), et dans laquelle "l'inconsistance de A est démontrable", (c'est un axiome) !

Si vous n'êtes pas convaincu par le raisonnement précédent, essayez de trouver une contradiction dans B !

Que "signifie" cette théorie ?
"De quoi parle-t-elle" ?
À quoi ressemblerait un modèle de cette théorie ?
Et finalement que "signifient" c est vrai, ou non c est vrai ?

[pazuzen]

Ouips... On est OK sur la base.

Une assertion "vraie" au sens mathématique stricto sensu , nous sommes OK

Mais vous voyez bien que votre vision d'une assertion VRAIE = une assertion PROUVEE a comme conséquence directe que tout ce qui n'est pas prouvé mathématiquement au sein d'une théorie quelle qu'elle soit ne serait pas vraie

C'est un peu comme s'il n'était pas vrai que les pommes tombaient avant que Newton ne trouve.
Elles tombaient.... mais il n'était pas "prouvé qu'elles le fassent selon un système mathématique formel donné" simplement nous n'avions pas accès à cette vérité mathématique alors que cette vérité existait évidemment bien mathématiquement ... mais que nous ne le savions pas.

Il existe énormément de vérités non démontrées non prouvées, certaines non prouvables certainement dans des systèmes formels et entre les systèmes formels.

Concernant l'incomplétude et l'intégration de l'arithmétique, je ne comprends pas.
Partout mais absolument partout et parfois de manière plus ou moins développé, on l'écrit
Même sur notre propre site encore une fois...
Là de ce point de vue, grand ? pour moi.

http://www.futura-sciences.com/magaz...e-godel-13701/

Le grand mathématicien David Hilbert, qui avait été à l'origine de ce problème, l'espérait. Mais Gödel mit fin à cet espoir en démontrant que tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique devait contenir des propositions qui ne pouvaient être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question. Si l'on décidait qu'une de ces propositions était un autre axiome, on aurait un nouveau système, mais qui contiendrait lui aussi des propositions dont la vérité ou la fausseté sont indécidables. Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer. C'est souvent en ces termes que l'on parle « du » théorème d'incomplétude de Gödel, mais il s'agit en fait de son premier théorème d'incomplétude.

[Médiat]

Mais vous voyez bien que votre vision d'une assertion VRAIE = une assertion PROUVEE

Marrant et sans doute significatif, que vous m'attribuiez votre définition !

Quant à votre citation en gras elle est toujours fausse, au même titre que le "théorème" de Pythagore tel que je l'ai cité (je commence à fatiguer)

Quant à votre analogie avec des pommes, au mieux, c'est une analogie, au pire de la métaphysique

[Schrodies-cat]

Post-scriptum:
Chacun aura conclu que l'inconsistance de la théorie que j'ai appelée B est démontrable dans B.
Cela ne contredit pas le deuxième théorème de Gödel, qui s'applique ici en concluant que la consistance de B est indémontrable dans B, mais ne prétend pas qu'elle est indécidable. (ici, elle est décidable puisqu'on peut démontrer sa négation).

[PlaneteF]

Bonjour,

Euh... vous êtes bien conscient que le périmètre de l'échange est plus particulièrement le premier théorème d'incomplétude et non le théorème de complétude des prédicats du premier ordre ?
Honnêtement suis pas braqué mais le périmètre de départ est quand même le minimum sur lequel nous accorder.

Alors là pas du tout d'accord avec ce que tu écris là, le théorème de complétude est le théorème fondamental et le plus important de la logique classique du premier ordre. S'il n'y a qu'un seul résultat à connaître, à comprendre et à retenir, c'est bien celui là, et aucun autre. En comparaison, et je dis bien "en comparaison", les théorèmes d'incomplétude sont complètement (sans jeu de mot) sur-vendus, sur-côtés et tellement sur-interprétés.

--> Et donc ici dans la discussion de savoir la signification du mot "vrai", c'est bien le théorème de complétude qui est au coeur de cette discussion (normal pour un théorème qui pose les fondemants de la logique en question).

Prenons un exemple concret : La commutativité est un indécidable de la théorie des groupes (rien à voir avec les théorèmes d'incomplétude comme pour 99,99999999% des indécidables ).

Cela voudrait dire quoi que la commutativité est "vraie" ou "fausse" dans cette théorie ?


Cordialement

[pazuzen]

Bah ce n'est pas la question d'être survendu, je doute qu'un marketing ou un SAV ait été à l'origine de son impact.
Enterrer l'idée de disposer d'un système unique formel complet et consistant a été une sacrée claque par rapport au Graal des mathématiques.
En terme d'utilisation quotidienne, c'est clair que ça ne sert strictement à rien.
Dans le même temps, le nom du topic pousse à évoquer le théorème d'incomplétude

Marrant et sans doute significatif, que vous m'attribuiez votre définition !

Quant à votre citation en gras elle est toujours fausse, au même titre que le "théorème" de Pythagore tel que je l'ai cité (je commence à fatiguer)

Quant à votre analogie avec des pommes, au mieux, c'est une analogie, au pire de la métaphysique

Ma citation en gras, vous la retrouvez sur notre propre site...

vous la retrouvez sur wiki :
Le premier théorème d'incomplétude peut être énoncé de la façon encore un peu approximative suivante (les termes techniques sont expliqués dans le paragraphe suivant).
Dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de « formaliser l'arithmétique », on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie.

Vous la retrouvez dans le bouquin d'hofstatder que je n'ai pas sous le coude et dont le théorème de Godel est disséqué sur 700 pages dont je peux vous faire le résumé des 3 conditions :
1- que le systeme soit suffisamment riche pour permettre l'expression de toute assertion vraie ou fausse dans la théorie des nombres
2- que toutes les relations récursives soient représentés par des formules du système
3- que tous les axiomes et toutes les configurations typographiques définies par les règles du système puissent être reconnus au moyen de quelque procédure de décision à aboutissement certain

En vérité (qu'est ce qu'une assertion vraie déjà ?) vous trouvez cette référence à l'arithmétique de Peano comme condition sine qua non du théorème absolument partout, partout, partout et ... partout...

Arrive ce moment où cela vous fatigue mais qu'est ce que je peux vous dire, vous linker encore une dizaine d'autres liens ?

[pazuzen]

Un dernier lien dont je vous demande de lire la démonstration complète svp
Si vous loupez cette référence à l'arithmétique de Peano comme socle du théorème d'incomplétude après cette lecture, que dois je faire ?

http://www.enseignement.polytechniqu...chap9-good.pdf

A ce propos, je m'amuse de retrouver le lien entre assertion vraie et assertion prouvable en 9.3... mais passons...

[PlaneteF]

Bah ce n'est pas la question d'être survendu, je doute qu'un marketing ou un SAV ait été à l'origine de son impact.

Quel impact ? ... En mathématiques impact=0, ... En logique mathématique théorèmes intéressants, comme d'autres, mais pas fondamentaux contrairement au théorème de complétude, ... En epistémologie, je laisse le soin aux épistémologues de répondre ... Donc c'est bien ce que je dis, en mathématique et logique mathématique, théorèmes survendus.

Dans le même temps, le nom du topic pousse à évoquer le théorème d'incomplétude

Le nom du topic peut éventuellement faire penser à la notion d'indécidabilité, notion totalement capturée par le théorème de complétude, mais pas par les théorèmes d'incomplétude.


Cordialement

[Médiat]

vous trouvez cette référence à l'arithmétique de Peano comme condition sine qua non du théorème absolument partout, partout, partout et ... partout...

N'ayant jamais contesté ce point, je ne vois là que de la basse rhétorique sans aucun intérêt.

Ce qui me fait particulièrement rire c'est que vous ne voyez pas la différence entre ce que vous écrivez depuis les début et la formulation de Hofstatder (qui me convient, même si ce n'est pas la formulation que je préfère)

[Médiat]

A ce propos, je m'amuse de retrouver le lien entre assertion vraie et assertion prouvable en 9.3... mais passons...

Moi, ce qui me fait carrément hurler de rire, c'est que justement, ce paragraphe 9.3 précise très bien les choses, et dans ce cas "vrai" est parfaitement légitime (ne serait-ce que parce que ce mot est défini !

[pazuzen]

Bon bin les bras m'en tombent
Après m'avoir rabaché que le théorème d'incompletude ne necessitait pas une theorie qui intègre l'arithmétique voici un revirement magique qui me fait plaisir

Et oui, ce 9.3 conforte votre position..
C'est ce que je me tue à mon tour à vous signifier que cette equivalence que vous revendiquez entre assertion vraie et preuve mathematique (vous disiez que c'était mon interprétation mais je me réjouis que ce soit désormais la votre) donc que cette association revient donc à dire que tout ce qui n'est pas prouvé n'est pas vrai...

Or et c'est bien mon propos qui lui, n'est pas à géométrie variable..., or donc c'est précisément la position de connes et la formulation originelle de Godel pour qui des propositions peuvent être vraies mais non demontrables...

Or comment voulez vous qu'une assertion soit vraie et non demontrable s'il n'y a pas de preuve ?

Retour à la video..,,

En tout cas, ravi de voir votre évolution concernant l'arithmétique de peano...
Validez vous à present la presentation de notre site ou autre chose vous dérange encore dans la formulation qu'ils en font ?

[Médiat]

Décidément vous ne comprenez rien à ce que vous lisez, quant à me faire tenir des propos que je n'ai jamais tenu , c'est carrément MALHONNETE (dans le meilleur des cas).

Et non je ne tiens pas pour définition que "vrai" = démontrable (en acceptant cette définition, vous vous couvrez de ridicule en affirmant que le théorème d'incomplétude signifie qu'il existe des assertions vraies et non démontrables (vous ne voyez même pas ça !)), et non je n'ai pas changé d'avis sur le théorème de Gödel que vous ne connaissez pas, et non je n'ai pas changé d'avis sur le mauvais usage d'un vocabulaire non défini dans le cadre mathématique, mais une fois de plus vous ne comprenez RIEN !

[pazuzen]

En gros je vais simplifier...
Connes et la version originelle de godel parlent d'assertions vraies et indémontrable (j'ai mis la traduction anglaise et klein en parle...)

Pour vous, c'est impossible car etre vrai, c'est etre prouvé

Et pour connes, des assertions vraies existent dans une theorie qui ne peuvent etre prouvees

C'est fondamentalement différent de votre conception

Laquelle conception conduit a dire que tout ce qui n'est pas prouvé n'est pas vrai au sein d'une theorie

Or la substance du théorème de Godel est inverse

[pazuzen]

Post scriptum
Vous enerver ne sert à rien
Si je passe du temps avec vous, c'est parce que je trouve intéressant votre position

Elle est academique justement et ce qui m'intéresserait vraiment c'est comment on passe d'une version américaine "vraie mais indemontrable" à cette version que j'ai appris en europr qui est "assertions indecidables"

Vous savez alain connes n'est pas plus idiot que vous et moi reunis non plus quand il tient les propos de defendre "vrai mais indemontrable"

Vous pensez que lui aussi ne comprend pas ?

[Médiat]

Pour vous, c'est impossible car etre vrai, c'est etre prouvé

Quand comprendrez vous que je ne dis pas cela, je vous demande votre définition et c'est VOUS qui avez écrit vrai=prouvé, si vous ne savez plus ce que vous écrivez, pensez à vous relire avant de poster

Et pour connes, des assertions vraies existent dans une theorie qui ne peuvent etre prouvees

C'est la position philosophique de Connes, c'est comme dit Klein, un Sur-Platonicien, et pour Connes, vrai ne veut absolument pas dire prouvé

C'est fondamentalement différent de votre conception

Oui puisque je ne suis pas platonicien (mais c'est de la philosophie)

Laquelle conception conduit a dire que tout ce qui n'est pas prouvé n'est pas vrai au sein d'une theorie

Je n'utilise pas le mot "vrai" pour une théorie, à moins qu'elle ne soit complète (si, si cela existe)

Or la substance du théorème de Godel est inverse

Non, le théorème d'incomplétude de Gödel ne dit pas cela, et le théorème de complétude du même Gödel (beaucoup plus important, je suis 100% d'accord avec PlaneteF), pourrait lui se traduit à peu près comme cela, même si, une fois de plus je n'aime pas ce vocabulaire pour des raisons évidentes à tous ceux qui vous lisent

[PlaneteF]

(...)
et ce qui m'intéresserait vraiment c'est comment on passe d'une version américaine "vraie mais indemontrable" à cette version que j'ai appris en europr qui est "assertions indecidables"

Ben c'est très simple, et je me place au delà des théorèmes d'incomplétude trop spécifiques, ... "vraie indémontrable" est un sous-entendu (trop ?) rapide pour "satifaite par au moins un des modèles de la théorie mais pas par d'autres, et indémontrable", ce qui est bien la même chose que "indécidable" --> Cf. théorème de complétude (ah ben tiens encore lui, quand on dit que ce théorème est fondamentale )

Cdt

[Médiat]

Vous pensez que lui aussi ne comprend pas ?

Non, je mais sais ce que veut dire Connes quand il dit "vrai" (d'où mes nombreuses questions pour savoir ce que vous entendiez par ce mot, en vain pendant longtemps puis vous avez donné une définition incompatible avec la position que vous défendez et incompatible avec ce que Connes entend par là), je connais ses positions philosophiques, ce qui me permet de comprendre sa formulation, mais je trouve dommage que l'on soit obligé de connaître l'orientation philosophique d'un mathématicien pour comprendre ses formulations.

[pazuzen]

Je vois que vous me demandez beaucoup pour m'en dire tres peu...

Vous valsez autour de la notion d'assertion vraie sans jamais la definir...

Qu'est ce qu'une assertion vraie mathematiquement pour vous ?
Faites vous une difference entre une assertion vraie et une assertion demontrable / prouvable ?

A vous laisser la main sur vos formulations j'espère un enseignement personnel