Existe-t-il des choses définies mais inaccessible à la logique ?

[Médiat]

"satifaite par au moins un des modèles de la théorie et indémontrable",

Ce qui condamne ce vocabulaire
-----

[Médiat]

Vous valsez autour de la notion d'assertion vraie sans jamais la definir...

Qu'est ce qu'une assertion vraie mathematiquement pour vous ?

Pour la 20ième fois, je ne veux pas utiliser ce vocabulaire dans le cadre d'une théorie ! Le théorème d'incomplétude de Gödel s'exprime très bien de façon très précise sans jamais utiliser ce vocabulaire

[Médiat]

Ce qui condamne ce vocabulaire

Désolé PlaneteF, j'ai appuyé sur envoi au mauvais moment, je voulais ajouter que cette définition n'est pas celle que le platonicien Connes utilise.

[invitea5cf685d]

Réflexion personnel
Oui alain connes est platonicien mais c'est aussi le cas de beaucoup de mathematiciens dont Villani...

Ce n'est pas une secte pardis !

Leur vision est avant tout le pragmatisme ils ne sont pas médaillé Field par complaisance de gourou !

En revanche, c'est tout à fait exact que je me demande l'implication de sa géométrie non commutative avec le théorème de Godel

J'aimerais beaucoup l'interroger à ce sujet car la non commutativité et la transition du discret au continu est il contraint par ce théorème ?

La je dois dire que je n'en ai pas la moindre idée

[invitea5cf685d]

Pour la 20ième fois, je ne veux pas utiliser ce vocabulaire dans le cadre d'une théorie ! Le théorème d'incomplétude de Gödel s'exprime très bien de façon très précise sans jamais utiliser ce vocabulaire

C'est sans doute la notre plus grande séparation
Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire viennent aisément
Si la logique comme d'autres disciplines ont un formalisme, rien ne remplace la formulation verbale et la conceptualisation sensible
D'autant que le formalisme ne substitue pas l'erreur
Ce point la nous distingue clairement
Peu importe

[PlaneteF]

J'aimerais beaucoup l'interroger à ce sujet car la non commutativité et la transition du discret au continu est il contraint par ce théorème ?

En quoi le 1er théorème d'incomplétude pourrait-il contraindre une quelconque théorie mathématique ? Pour une théorie éligible à son application ce théorème ne fait pas autre chose que de contruire artificiellement un énoncé indécidable, un seul et rien d'autre, et en plus cet énoncé n'a pas le moindre intérêt mathématique. Tu parles d'une contrainte. Même pas peur

Cdt

[invite82078308]

(...)
Qu'est ce qu'une assertion vraie mathematiquement pour vous ?
(...)

Médiat ( entre autres ) s'est notamment exprimé sur la façon dont il conçoit le mot "vrai" dans ce fil :
http://forums.futura-sciences.com/ep...matique-2.html
Parmi d'autres.

[invitea5cf685d]

la je suis désolé mais nous avons un peu de mal à nous écouter sur ces premières notions
Je me vois mal echanger des mots sur les concepts de géométrie non commutatives et de topos

J'appréhende mes limites et comment voulez vous que nous échangions verbalement la dessus si déjà la notion d'assertion mathematique vraie pose déjà des problèmes de formulation ?

Soyons raisonnables en tout cas merci de l'echange je sais que, comme moi, vous y avez trouvé un certain intérêt sinon ce serait illogique

[invitea5cf685d]

Ps merci de l'encart j'irai voir sans faute demain
Bonsoir a tous

[PlaneteF]

la je suis désolé mais nous avons un peu de mal à nous écouter sur ces premières notions
Je me vois mal echanger des mots sur les concepts de géométrie non commutatives et de topos

J'appréhende mes limites et comment voulez vous que nous échangions verbalement la dessus si déjà la notion d'assertion mathematique vraie pose déjà des problèmes de formulation ?

Soyons raisonnables en tout cas merci de l'echange je sais que, comme moi, vous y avez trouvé un certain intérêt sinon ce serait illogique

Tu parles à qui

[invitea5cf685d]

Ce matin, je me demandais par quel mystère ces théorèmes d'incompletude étaient perçus par beaucoup comme anecdotiques..

Dans l'histoire des mathematiques, ces théorèmes d'incompletude de Godel ont pourtant factuellement été un énorme coup de tonnerre

Et ma pensée du jour est que, finalement, la transmission d'un savoir et même le savoir s'arrêtent devant la force de nos propres representations.

En dressant une equivalence technique assertion vraie=assertion prouvée, on se trouve enfermé dans son systeme formel
C'est un peu comme si la Vérité avec un V majuscule definie comme l'ensemble des assertions vraies du système était absolue en réfutant que des assertions vraies non prouvées puissent exister au sein même du systeme formel et par delà le système en ajoutant des axiomes complémentaires éventuellement voire en changeant de systeme formel

Parce que dans cette conception enfermée dans son systeme referent, aucune assertion vraie non demontrée ne peut alors exister puisque l'assertion vraie doit etre prouvée et on se retrouve devant l'attitude des physiciens fin 19eme pour qui "tout était connu" par les systemes formels physique existants à l'epoque
Et patatras, la RG comme la mecanique quantique sortent totalement des systemes formels précédents les ramenant aux vérités partielles qu'elles contenaient et qui sont d'ailleurs les seules vérités que tout systeme formel puisse contenir...

Et le parallèle logique et representation de pensées n'est pas si anodin

Du point de vue logique, Godel a formellement demontré l'incompletude de tout systeme formel donc l'inaccessibilité de la Vérité avec un V majuscule au sein d'un système unique definie comme l'ensemble des assertions vraies du système

D'ou l'intérêt de le compléter le plus judicieusement, de le maîtriser bien entendu mais aussi de savoir en sortir..
C'est peut-être ce qui nous distingue entre autre d'un ordinateur

Si nos pensées, nos structures cognitives et nos representations personnelles étaient rationnellement un systeme formel complexe, ma pensée non scientifique du jour est que cette analogie pensée /systeme formel, avec les faiblesses de l'analogie, puisse nous faire concevoir qu'en réfutant la portée de ces théorèmes contre d'ailleurs l'avis scientifique le plus communément admis, on puisse rater l'éléphant du couloir

Ce serait comme de caresser ce vieux réve d'Hilbert en prétendant centraliser l'ensemble de l'axiomatique et toutes les assertions vraies qui en découlent dans un systeme unique
Ce qui n'est pas prouvé ne peut-être vrai ce que je ne vois pas n'existe pas et retour au mythe de la caverne de Platon

Ma foi, si la portée mathematique de ce théorème n'est pas pleinement saisie, je me dis que nos zones de confort à maîtriser un systeme formel ou un domaine des mathematiques nous tend naturellement à nous y ramener de manière à nous rassurer sur notre propre pertinence.
Dans le même temps, je m'amuse que les propositions auto référentielles soient le talon d'Achille de la logique pour les systemes complexes
Cela pousse à se relativiser soi même

Désolé pour la pensée du jour un tantinet plus philosophique que mathematique et dans le même temps, je ne conçois pas la non plus l'un sans l'autre
Ce qui ne signifie pas de chercher à progresser dans l'une et dans l'autre

Bonne journée je me doute de la critique à suivre mais peu importe

[Médiat]

Du point de vue logique, Godel a formellement demontré l'incompletude de tout systeme formel

NON ! Gödel n'a jamais démontré cela, je pourrais vous citer des dizaines de systèmes formels complets.
J'en ai déjà cité un.

mais peu importe

Pour une fois, je suis d'accord avec vous.

[invitea5cf685d]

Ce que j'écris est vrai pour tout systeme integrant la theorie des nombres..donc l'arithmétique de peano

On a tellement échangé là dessus que je compte sur l'intelligence de mes interlocuteurs pour repartir de notions acquises

Si elles ne le sont pas j'invite à relire les précédents échanges

[Médiat]

Ce que j'écris est vrai pour tout systeme integrant la theorie des nombres..donc l'arithmétique de peano

Et NON, bien que ce point soit nécessaire, c'est toujours faux, l'exemple que j'ai déjà donné le démontre amplement.

Mais peu importe (sauf pour les lecteurs de passage qui pourraient vous croire, sans vérifier)

[invitea5cf685d]

Médiat, je t'ai placé 4 formulations
Une de ce site, une de wiki, une d'hofstatder, une d'un exposé polytechnique
Les 4 explicitent le périmètre de départ des théorèmes d'incomplétude en disant que le point de départ est d'intégrer l'arithmétique de Peano
Es tu d'accord avec leurs présentations ou pas ?
Parce qu'elles ne me posent aucun souci personnellement...

Sinon, explique précisément ton point de désaccord.
Tu dis que tu n'es pas ok avec leur formulation, ensuite tu es ok, ensuite tu ne l'es plus...
Est ce que tu peux une fois pour toute d'une part dire en quoi tu es en désaccord avec ces points et d'autre part exposer ce qu'est une assertion vraie ?

On gagnerait du temps si tu t'exprimais.

[Médiat]

Il n'y a qu'avec vous que je suis en désaccord fondamental (et avec l'article de FSG je suis en désaccord avec le vocabulaire) !

La formulation du wiki français me va très bien.

Le théorème 9.1 du document polytechnique me va très bien aussi, ce n'est pas de ma faute si vous citez mal ces documents

[invitea5cf685d]

Comprenez qu'être en désaccord fondamental soulève davantage un problème d'affect que de fonds.
Je veux dire, si j'écris que les théorèmes d'incomplétude portent sur des théories qui comportent a minima l'arithmétique de Peano et que vous êtes en désaccord quand, dans le même temps, ces sites soutiennent que ces théorèmes d'incomplétude portent sur des théories qui comportent a minima l'arithmétique de Peano et que vous êtes en accord, il y a une superposition d'états quantiques bien sympathique mais que l'arithmétique de Peano n'explique pas de manière fondamentale...

[karlp]

.

En dressant une equivalence technique assertion vraie=assertion prouvée, on se trouve enfermé dans son systeme formel
C'est un peu comme si la Vérité avec un V majuscule definie comme l'ensemble des assertions vraies du système était absolue en réfutant que des assertions vraies non prouvées puissent exister au sein même du systeme formel et par delà le système en ajoutant des axiomes complémentaires éventuellement voire en changeant de systeme formel

Mais quel serait le sens de "vrai" dans ce cas là ?
Ce ne serait pas la définition mathématique.
Faîtes vous allusion à une "vérité" absolue, transcendante ? Dans ce cas vous sortez clairement du champ mathématique pour entrer dans celui de la philosophie: voilà pourquoi on vous oppose le scepticisme du plus humble positivisme.

Si la logique comme d'autres disciplines ont un formalisme, rien ne remplace la formulation verbale et la conceptualisation sensible

Si par "formulation verbale" vous entendez l'expression commune, ce qu'on peut reprocher à cette dernière est son extrême ambiguïté ainsi que sa plasticité, celle la même qui sous les apparences du sens commun fait passer des sophismes pour des raisonnements corrects. C'est précisément le problème que nous rencontrons ici avec le mot "vrai".

Dit autrement: pour QUI Est-ce qu'une proposition non démontrée peut être dite "vraie" - en quel sens et avec quelle garantie ?

[Médiat]

comportent a minima l'arithmétique de Peano et que vous êtes en désaccord

Mauvaise foi ou vous ne savez pas lire ?

[invitea5cf685d]

Bonjour Karlp, j'ai développé ma conception de vrai au sens mathématique comme au sens commun un peu plus haut dans ce topic de manière détaillé.
Mais plutôt que de me reprendre, voici le théorème d'incomplétude anglais

Any effectively generated formal system capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete. In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statement that is true,[2] but not provable in the system

Et c'est la formulation originelle de Godel...
C'est aussi la nature du débat dont j'ai placé la vidéo

Alors votre question, je la transpose à Godel
Selon vous, qu'est ce que Godel entend par "true" dans cette formulation ?
Fait il de la philosophie ?

[invitea5cf685d]

Mauvaise foi ou vous ne savez pas lire ?

Attaque ad hominem.
Désolé, je vous laisse imaginer la réponse.
Peut on dépasser ce stade vous et moi ?
Ou est ce que c'est l'attaque sur moi et non sur le fonds de mes propos qu'il reste à formuler ?
Non, je sais que vous valez mieux sinon je ne perdrai pas mon temps à échanger.

[invitea5cf685d]

Mais quel serait le sens de "vrai" dans ce cas là ?
Si par "formulation verbale" vous entendez l'expression commune, ce qu'on peut reprocher à cette dernière est son extrême ambiguïté ainsi que sa plasticité, celle la même qui sous les apparences du sens commun fait passer des sophismes pour des raisonnements corrects. C'est précisément le problème que nous rencontrons ici avec le mot "vrai".

Dit autrement: pour QUI Est-ce qu'une proposition non démontrée peut être dite "vraie" - en quel sens et avec quelle garantie ?

Oh la que c'est intéressant votre point...
En effet, je suis le premier à dire que le langage par sa polysémie, par les connotations qu'il possède pour chacun, par ses sens ambigus, etc etc est une "déformation du concept initial"
Je vous fais tout de même remarquer la relative isomorphie entre le langage et le concept initial faute de quoi, il serait impossible de communiquer, une chose et son contraire pouvant être interprétée au mot.

Mais je suis OK pour dire que le mot crèe forcément une dualité.
Dualité puisque donner un mot, c'est uniquement en définir une partie du sens
Si j'écris "je vois" .... on voit bien que "je" renvoie à quelque chose qui nécessite une vie entière pour essayer de le comprendre... et que "vois" signifie que je prends une partie du spectre électromagnétique, que je le transforme en modifiant les fréquences (bleu + jaune = vert) si fait qu'un signal vert = deux signaux initiaux résumés (de ce point de vue, on entend les accords avec l'oreille alors que les yeux forment une mauvaise moyenne....) et qu'enfin, mon cerveau reformate l'image contextuellement....

Bref, je vois... bin je vois pas vraiment...

Dans le même temps, le langage structure notre pensée.
Adopter le bon mot, c'est savoir faire le ménage dans nos concepts.
Personne ne peut conceptualiser la résolution d'équations complexes à un certain stade et nos capacités de conceptualisation sont limitées à nos sens et .... au langage...

Bref, évidemment que lorsque je résoud un modèle ou quand je crèe un algorithme, j'ai des réflexes de résolution hors langage (à ce propos, réfléchissez à la richesse de l'algorithme d'une simple multiplication...)
Et dans le même temps, je sais exprimer ce que je fais.
J'en ressors la substantifique moelle, j'en déforme une partie, mais je rend perceptible des phénomènes qui parfois, dépassent nos perceptions (je vous mets au défi de conceptualiser une résolution dans 10 dimensions....)
Le langage, c'est l'ADN de notre pensée

Ne pas savoir s'exprimer, ce n'est pas du tout une garantie de bien conceptualiser....
A la limite, c'est même un prétexte à masquer sa difficulté de conceptualiser

[Médiat]

Et c'est la formulation originelle de Godel...

Formulation originelle de Gödel : A chaque classe récursive oméga-consistante K de formules correspondent des signes de classe r récursifs tels que ni (v Gen r) ni Neg (v Gen r) n'appartient à Flg (k) (v étant la variable libre de r)

Où voyez-vous le mot "Vrai" ?????

[invitea5cf685d]

Je vais vous retourner l'argument pour vous montrer comme il est excessivement peu judicieux...
Comment pouvez vous présenter cette formulation mathématique comme la formulation originale de Godel lui qui ne parlait pas un seul mot de français... ?

S'il ne vous a pas échappé que "vrai" dans la "traduction anglaise" devenait "non décidable" dans "la version française", il pourrait vous venir naturellement à l'esprit de voir Comment Godel a spécifié son théorème dans sa formulation originelle...

Non ?

Par ailleurs, que comprenez vous de cette formulation, vous, personnellement, en utilisant vos mots à vous.
Je veux dire, étaler une équation mathématique ne présume pas qu'on la comprend.
Est ce que vraiment, quand vous faites des mathématiques, vous êtes coupé de parole ?
Lancez vous et tentez de formuler cette équation par une phrase.

Enfin vous qui êtes allergique au mot "vrai", ou voyez vous le terme "non décidable"...
Si on ne parle pas de vrai ni d'indécidable, de quoi parle t'on ?

[invitea5cf685d]

Un extrait du wiki sur lequel vous êtes visiblement Ok.... ou pas

"Vérité et démontrabilité[modifier | modifier le code]

Les théorèmes d'incomplétude traitent du rapport fondamental en logique entre vérité et prouvabilité et surtout établissent de façon formelle que ces deux concepts sont profondément différents

En mathématique on considère qu'une fois un énoncé prouvé, celui-ci peut être considéré comme vrai, mais ce faisant on utilise une condition importante quoique rarement explicitée : que les hypothèses utilisées dans la démonstration soient non contradictoires. Une démonstration aussi rigoureuse soit-elle ne vaut rien si elle est fondée sur des bases branlantes puisque l'on a vu qu'une théorie contradictoire démontre n'importe quel énoncé (et son contraire). Par conséquent la cohérence d'une théorie est l'ingrédient absolument nécessaire pour assurer que tout théorème de la théorie est vrai. Les théorèmes d'incomplétude montrent que cet ingrédient ne peut être interne à la théorie. C'est ce qu'exprime le théorème de Löb : si une théorie T démontre une formule A sous l'hypothèse que A est démontrable dans T, alors cette hypothèse est inutile et on peut démontrer A sans celle-ci ; car déduire A du fait que A est démontrable revient à utiliser la cohérence de T ; mais justement celle-ci n'est pas démontrable dans T et donc cet argument n'a pas pu être utilisé dans la preuve.

Les théorèmes d'incomplétude sont fondés sur le fait qu'il est possible de définir la prouvabilité dans une théorie en utilisant uniquement quelques principes d'arithmétique (et donc dans toute théorie contenant ces quelques principes d'arithmétique). Par contre pour définir la vérité dans une théorie il est nécessaire de se donner d'autres moyens qui reviennent essentiellement à supposer que la théorie est cohérente : il faut par exemple pouvoir construire un modèle ce qui ne peut se faire en général en utilisant seulement les principes de l'arithmétique"

Etes vous Ok avec cette formulation ?
moi oui... mais vous ?
Pourquoi ?

[Médiat]

Comment pouvez vous présenter cette formulation mathématique comme la formulation originale de Godel lui qui ne parlait pas un seul mot de français... ?

Sei x eine beliebige Klasse von Formeln. Wir bezeiehnen mit Flg (x) (Folgerungsmenge von x) die kleinste Menge von Formeln, die alle Formeln aus x und alle Axiome enthält und gegen die Relation, unmittelbare Folge abgeschlossen ist.
x heis$t omega-widerspruchsfrei: wenn es kein Klassenzeichen a gibt, so da$:


wobei v die freie Variable des Klassenzeichens a ist.

Certes je ne parle pas allemand, mais je ne vois toujours pas "Wahrheit"

Bref, j'ai ma réponse : mauvaise foi (enfin, parce que je suis magnanime !)

[Médiat]

Les théorèmes d'incomplétude traitent du rapport fondamental en logique entre vérité et prouvabilité et surtout établissent de façon formelle que ces deux concepts sont profondément différents
Etes vous Ok avec cette formulation ?
moi oui...

Un énoncé vrai mathématiquement est selon moi et stricto sensu un énoncé susceptible d'être démontré avec une réponse positive à cet énoncé dans le cadre du formalisme de la théorie (axiomatique + logique de 1er ordre)

Cherchez la contradiction !

[shokin]

pazuzen, il est de bon ton de ne pas attribuer à Médiat des propos qu'il n'a pas tenus.

Il ne sert à rien non plus de critiquer un argument en français juste parce que Gödel ne parlait pas français.

[invitea5cf685d]

G_{ab} + \Lambda g_{ab} = {8 \pi G \c^4} T_{ab}

Ok...
Quel drôle d'argumentation...
Vous estimez que le langage pour exprimer ce qu'on ressort d'une équation doit être dans l'équation...
Excusez le formalisme mais j'écris comme elle me vient...

Que comprenez vous de cette équation ci-dessus ?
Est ce qu'on parle d'un certain lambda qui rencontrerait Pi sur un coin de notre copie blanche ou révèle t'elle quelque chose de plus fondamental ?

[invitea5cf685d]

pazuzen, il est de bon ton de ne pas attribuer à Médiat des propos qu'il n'a pas tenus.

Il ne sert à rien non plus de critiquer un argument en français juste parce que Gödel ne parlait pas français.

Mais enfin... la traduction en mots du théorème d'incomplétude anglais / français est le cœur du débat...
je vous renvoie à la vidéo..
Vrai en anglais pour non décidable en français
Je veux bien qu'on démontre que la version anglaise est fausse en restant sur une expression française...
Comme je veux bien qu'on cherche "électromagnétisme" dans les équations de maxwell...
Il y a ce moment ou prendre une équation pour me dire que "vrai" n'est pas inscrit dedans relève de la tautologie...