pourquoi les maths sont-elles si logiques ??

[inviteb276d5b4]

Bonsoir

Hum... Difficile de trouver un "ensemble vide" dans la nature...

Ce message en est-il un exemple acceptable?

Quelle a été ta première réaction? Ne fut-elle pas que le message était vide?

Cordialement,[/COLOR]

Bonjour

J'ai vu un fond vide, sans texte mais un ensemble vide suppose aucun élément, sans fond, rien, ni espace ni temps, le néant quoi...

L'ensemble vide est une notion abstraite.

C'est d'ailleurs confirmé concrétement cette fois par la géométrie, qui nous dit que le plus petit "objet" existant est le singleton qui est un élément faisant partie d'un ensemble.
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[invité576543]

J'ai vu un fond vide, sans texte mais un ensemble vide suppose aucun élément, sans fond, rien, ni espace ni temps, le néant quoi...

Pas dans le langage courant. Vide et néant absolu sont des notions distinctes. On dit un verre vide, une case vide, etc.

L'ensemble vide est une notion abstraite.

Tout à fait. Mais une notion distincte du néant absolu. L'ensemble vide est relatif à la possibilité de parler d'un ensemble pas vide.

Mon point est simplement que la pratique du monde amène naturellement à parler de cases vides. Si on cherche à modéliser, mathématiser ce qu'il y a dans une case, on est amené naturellement à introduire la notion abstraite l'ensemble vide.

C'est d'ailleurs confirmé concrétement cette fois par la géométrie, qui nous dit que le plus petit "objet" existant est le singleton qui est un élément faisant partie d'un ensemble.

Mais la géométrie a besoin de l'ensemble vide par exemple pour modéliser l'absence d'intersection entre droite parallèle, et bien d'autres choses. Et la géométrie usuelle (euclidienne en 2D ou 3D) est très "physique" (il n'y a qu'à voir la difficulté qu'ont la plupart des gens avec des géométries alternatives à celles-ci, que ce soit la 4D ou même, curieusement, la 1D -quel est l'équivalent d'un cercle ou d'une sphère en 1D?-, ou la géométrie 2D sur le plan projectif (axiomatiquement plus simple que l'euclidienne 2D), sans compter les géométries courbes ou non commutatives...

Mon seul point, bien illustré par la géométrie justement, est que les choix des axiomes des maths sont orientés en partie par notre expérience du monde, en d'autres termes par la physique. Mais c'est juste un point de vue...

Cordialement,

[invite19c644d2]

quel est l'équivalent d'un cercle ou d'une sphère en 1D?-

Un point.




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[invité576543]

Bonjour,

Un point.

Désolé, mais c'est 2 points, le diamètre étant la distance entre les 2 points... Ca illustre bien mon point, non?

Cordialement,

[invitebd686fd6]

bonjour a tous,
j'espère que cet question n'est pas trop bête et que quelq'un ne la pas posée mais après un moment d'intense réflexion je me suis demandé:
comment se fait il que les maths soient si logique?

Que peut il y avoir d'illogique à ce que 1+1=2 ?

[invitebba64e61]

Je rebondis sur les messages précédents qui m'apparaissent comme étant très riches.
Si la notion d'ensemble vide est une notion difficile à imaginer en physique, que dire de la notion d'infini !
Un physicien français, il s'appelle Magnan me semble-t-il, en parle très bien : l'infini n'existe pas en physique.
Dire que l'espace est infini est pour lui une incongruité, surtout dans un univers où le nombre d'atomes existants n'excède pas, selon ses calculs, 10 puissance 80.
Cela nous ramène à Godel : quel rapport entre l'infini des nombres réels qui existe entre 0 et 1 et l'infini qui existe entre 0 et ... l'infini ??? Le premier est inclus dans l'autre. Comment un infini peut-il est inclus dans un autre infini ???
Et comment peut-il exister une bijection entre l'ensemble N et le sous-ensemble de N ne comportant que les nombres pairs ?
Voilà des interrogations très godéliennes ; rappelons pour l'anecdote que ce grand mathématicien est mort fou...

[martini_bird]

Salut,

oui, l'infini n'existe pas en physique.

Non, Gödel n'était pas fou !

Cela nous ramène à Godel : quel rapport entre l'infini des nombres réels qui existe entre 0 et 1 et l'infini qui existe entre 0 et ... l'infini ??? Le premier est inclus dans l'autre. Comment un infini peut-il est inclus dans un autre infini ???
Et comment peut-il exister une bijection entre l'ensemble N et le sous-ensemble de N ne comportant que les nombres pairs ?

Pas besoin d'invoquer les travaux de Gödel pour ces questions élémentaires : les bijections entre ]0, 1[ et ]0, + [ ou entre N et 2N se trouvent dans le premier chapitre de n'importe quel ouvrage pour taupins.
Conclusion : ]0, 1[ et ]0, + [ ont même cardinal, tout comme N et 2N.

Cordialement.

[invité576543]

Voilà des interrogations très godéliennes

Pourquoi Gödel? Les intérrogations sur l'infini sont plutôt associées à Cantor, Hilbert, Russell, pour en citer quelques'un.

Sinon, en physique les problèmes liés aux infinis sont il me semble assez récents. Je dirais que le premier éclair dans un ciel bleu a été la "carastrophe ultraviolette" qui a amené Planck à introduire un facteur brisant l'invariance d'échelle, le facteur h. Les problèmes de renormalisation dans les théories plus récentes semblent entrer dans la même catégorie.

Mais si on regarde l'attitude des physiciens avant, disons avant le début du XXème, la notion d'infini leur semblait naturelle, non?

Autre angle: une notion aussi simple que la vitesse demande l'infini! Faire de la physique sans l'infini est, en supposant que cela est possible, vraisemblablement très lourd.

Cordialement,

[Médiat]

L'ensemble vide est une notion abstraite.

Oui, comme toutes les mathématiques dès qu'on parle d'elles en terme d'axiomes et de règles d'inférences, le vide est abstrait, comme toute la théorie des ensembles (ZF et ses extensions), de même que 0 est abstrait, que 1 est abstrait (etc. (tiens je viens de découvrir la récurrence )), que l'on parle de l'arithmétique de Péano, de ses extensions non standard, ou des ordinaux.

[inviteb4b89598]

Bonsoir, je trouve étrange le fait que TOUTES les personnes soient en accord, et de manière intuitive, avec les axiomes qui sont la base des mathématiques """naturelles""" (avec bcp de guillemets), comme par exemple : tout nombre a un successeur.
C'est vrai que l'on peut inventer d'autres axiomes qui different de ceux qui ont étés admis au départ ; cela en produisant d'autres situations, mais on ne peut pas nier que des axiomes sont jugés plus naturels que d'autres.
Par exemple ; dans la géométrie euclidienne est admis : « Par un point extérieur à une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite », ce qui peut sembler naturel, ou primaire si vous preferez ; alors que les géométries non euclidiennes diffèrent sur ce point tout en restant non-contradictoires, comme la géométrie hyperbolique qui admet, elle : « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une infinité de droites parallèles à cette droite, et toutes différentes ».

Pensez vous que ceci s'explique avec la neurobiologie ?

[Médiat]

Pensez vous que ceci s'explique avec la neurobiologie ?

Avec l'expérience, peut-être.
Encore que l'on pourrait discuter de "TOUTES les personnes soient en accord", il suffit de regarder le chemin parcouru entre Cantor et ZF (et ses différentes extensions) pour la théories des ensembles.

[invitebba64e61]

Salut,

oui, l'infini n'existe pas en physique.

Non, Gödel n'était pas fou !

(...)

Godel a été interné plusieurs fois en hôpital psy. ll refusait de s'alimenter pensant qu'on l'empoisonnait.
En 1978 il a été interné une dernière fois à l'hôpital de Princeton. Son décès a été constaté le 14/1/78 et le certificat de décès comportait la cause suivante : sous-alimentation et consomption. Il me semble qu'on l'on peut en déduire qu'il mort fou comme je l'indiquais plus haut. Sauf à avoir des éléments nouveaux et factuels à produire sur cette question.

Quant à la suite de votre message je me suis sans doute mal exprimé. Le problème ne porte pas sur la notion de bijection entre un ensemble de cardinal infini et l'un de ses sous-ensemble mais sur les rapports d'appréciation de l'infini entre les mathématiques et la physique.

Cordialement.

Sinon, cher MMY pourquoi Godel et non Cantor ? Parce que j'aime beaucoup Godel. Mais votre message me donne envie de m'intéresser aux autres. Donc merci.
Certainement le terme "interrogations très godelliennes" était de trop ; je m'empresse donc de le retirer.

[invite7863222222222]

oui il est mort fou mais une plus grande révélation encore : il a vécu fou aussi.

[invitebba64e61]

Il était hypocondriaque et disait en plaisantant que c'était une maladie de logicien : l'hypocondriaque prétend qu'il est malade et les médecins lui disent qu'il fabule.
Mais c'est faux : l'hypocondrie étant une maladie, l'hypocondriaque est réellement malade donc les médecins qui disent qu'il ne l'est pas ont tort.
Mais s'il est réellement malade il ne peut être considéré comme hypocondriaque...

Cela, c'était pour la partie "Logique" de ce sous-forum!

Cet homme, fortement névrosé à la fin de sa vie, ne manquait pas d'humour... Fin de la parenthèse amusante.

[martini_bird]

Salut,

désolé mais pour moi, l'hypocondrie et la folie ne relèvent pas du même degré.

Cordialement.

[invitebba64e61]

C'est une position tout à fait acceptable. Cela dit, lorsqu'on voit que l'hypocondrie le pousse à ne plus s'alimenter et à ne plus prendre de médicaments par peur d'empoisonnement, il me semble que...

Fermons là, peut-être, la parenthèse, qui n'a que peu de rapport avec le sujet.

[invite47993297]

Absolument pas : par extension, les paradoxes de types "du menteur", font parti des questions autour de la logique formelle en mathématique. Avec cependant le risque de tourner en rond dans nombre de cas et d'entretenir des discours tautologiques autistes à l'appui de syllogismes absurdes.

Heureusement, les mathématiques sont suffisament riches pour que son langage soit constructif et productif en d'autres domaines scientifiques...

Après, la question revient à qui de l'oeuf ou la poule...

[doryphore]

C'est clairement l'oeuf puis la poule puis l'oeuf de poule.

[invité576543]

C'est clairement l'oeuf puis la poule puis l'oeuf de poule.

Exactement. Et la bonne question c'est où placer le coq! Temporellement, je veux dire...

Cordialement,

[invite7f839074]

La rigueur fait défaut à ne considérer que des raisonnements illogiques ou au contraire, découlant de la logique dans des processus déductifs.
Les propriétés essentielles relatent d'un système trinaire de développement, en termes de normalisation.

[invite040799cb]

Bonsoir,

tout simplement parceque c'est l'esprit humain qui leur donne du sens. Les maths ne sont pas logique en soit. Il faut être capable de leur donner du sens.

[invite92286d9c]

Bonjour,
On peut répondre à la question à l'origine de cette discussion par une autre question : les maths sont-elles logiquement fondées ? Autrement dit : tous les théorèmes mathématiques sont-ils démontrés selon des règles logiques ? De quelle logique ?
La communauté scientifique a étudié ce problème vers la fin du XIXème siècle. Le résultat est un système axiomatique formel capable de formaliser toutes les mathématiques, appelé théorie des ensembles (ZFC). ZFC est le fondement logique des mathématiques car à toute formule démontrable en mathématiques correspond une formule (son équivalent dans le langage de ZFC) démontrable dans ZFC. La théorie des ensembles s'appuie sur une logique du premier ordre où tout objet est du type ensemble. ZFC garantit donc que les mathématiques sont logiquement fondées. D'où ce sentiment de sécurité qu'elles procurent.
On peut cependant se poser deux questions (la charte de ce forum nous interdit de les aborder) :
- ZFC est-elle consistante (que l'on ne puisse pas y démontrer une proposition et son contraire). ?
- Tout théorème mathématique (donc logiquement fondé) est-il acceptable ?

[philname]

Revenons à la vérité (évoqué au début du post) qui est en chacun de nous pour les maths.

Certains ici ont dit que les maths gouvernaient la nature.
Existe-t-il une théorie universelle qui gouverne la nature ? Avec les axiomes de base je dois forcément tomber tout naturellement sur une formule de l'Univers.***

Oubien peut-on en ayant défini soi-même des axiomes et définition de départ TRES CLAIRES construire sa "vérité" ou théorie ?

[jamajeff]

Bonjour,

1) Pour commencer "logique" n'est pas une qualité ajoutée aux math mais bien une propriété interne à l'activité des mathématiciens que nous avons reformulé et généralisé. D'ailleurs, il semble qu'il y ait eu une pensée mathématique bien avant la logique et c'est en ayant en vue la pureté des Idées mathématiques que nous avons créé un langage logique épuré. Dans les académies et lycée antiques, on apprenait d'abord les math et la musique avant de se lancer dans la dialectique. Sans compter le fait que les math n'ont été fondées logiquement que très tardivement.
MAis bizarrement, parce qu'on a fondé les math logiquement, on en a conclu que la logique avait nécessairement précédé les math comme principe fondateur autonome alors qu'en y regardant de plus près, ce sont les math qui se fondent elles même. Cependant, cette tournure rhétorique était nécessaire pour combattre les sceptiques.

2) En suite, lorsqu'on dit "les math gouvernent la nature", il faut voir ce qu'on entend par nature. Si "nature" est entendu comme construction humaine d'une représentation du monde, alors oui les math gouvernent la nature. Si par contre on entend par là le "monde en soi", alors cela suppose une expérience de pensée qui n'est pas à proprement parler empirique au sens d'une observation neutre mais bien une construction de l'esprit impliquant un observateur désincarné.
Cela signifie qu'épistémologiquement, il n'y a pas à proprement parler de formules mathématiques qui se balladent dans l'univers ni des objets logiques. Nous appliquons à l'univers des formules pour lui donner un sens, pour énoncer des régularités, pour décrire des formes...

3) Cependant, pour les sciences, pour la physique moderne, il est nécessaire de faire abstraction de cette incarnation en croyant à l'unité et l'intelligibilité du monde. Dans "Cosmopolitiques I", Isabelle Stengers explique notamment comment en 1908 Max Planck, en excommuniant Enst Mach pour sa conception historico-pragmatique de la physique, replace la physique sous le signe nécessaire de la foi en l'intelligibilité de l'unité du monde.
Cependant, Mach avait raison également car épistémologiquement l'explication physique consiste aussi en la création des mondes virtuels qui trouvent leur source dans l'histoire des pratiques humaines, même si elles impliquant des expériences de pensée avec des observateurs désincarnés... Mais la particularité de ces mondes virtuels est qu'une fois construits et posés devant nous, grace au pouvoir des sciences dans nos sociétés, cela à sur nous une force de séduction telle qu'on ne peut pas ne pas observer et interpréter le monde selon le prisme de ces lois physiques. Dans un sens, c'est nous qui donnons aux lois que créent les scientifiques le pouvoir de nous contraindre dans nos observations et cela grace à l'histoire des pratiques humaines qui a permis de créer une situation telle que nous sommes réceptifs à ce que la science a à nous raconter.
Les lois sont à la physique ce que le microscope est au biologiste, avec également leur background historique de pratique shumaines mais qui en même temps permettent une rupture par rapport à l'histoire. C'est ainsi qu'on fait des lois physique des objets au même titre qu'une pierre ou la chaise sur laquelle je suis assis en ce moment. Des explications qui supposent des observateurs désincarnés.

Le problème c'est que la physique a créé des mondes. Mais comme la physique est sous le signe de la foi nécessaire en un monde intelligible, l'incompatibilité des lois fondamentales, et donc des visions du monde auxquelles elles se rattachent, crée un malaise chez les physiciens. C'est le postulat de base -cette croyance nécessaire dans l'intelligibilité d'un monde qui est partie intégrante de la vocation du physicien- qui est mis en branle. MAis d'un autre côté, ce trou béant est aussi un moteur d'espoir pour le physicien, comme la pierre philosophale pour l'alchimiste. Elle est un catalyseur lui permettant de persévérer.

4) Enfin, il ne suffit pas pour le physicien d'effectuer une synthèse de ses lois ou une meta-loi qui unifierait le tout. Cette synthèse n'apporterait rien qui ne soit déjà connu. Il faut encore que cette découverte face "événement" au sein de la communauté scientifique. Il faut qu'elle soit créatrice de nouveaux possibles pour intéresser d'autres physiciens ou chimistes; bref, qu'elle face LA différence.

Cordialement.

[invite92286d9c]

Bonjour jamajeff (message # 84)

D'accord avec ce que tu dis en 1).
Cela m'amène à une question. Je vais essayer d'être bref.
Ce qui suit et traite de la genèse de la théorie des ensembles, s'inspire largement du chapitre 3 paragraphe 18 de "Théorie des ensembles" par E. Kamke, Editions Jacques Gabay.

1) Au départ, 1890, il y a la théorie des ensembles de Cantor : théorie naïve (pas d'axiomes, pas de logique spécifiée) dans laquelle la définition de la notion d'ensemble "groupement d'objets bien distincts de notre intuition et de notre pensée" est trop générale et mène à des paradoxes (crise des fondements).

2) On a donc opté pour une définition plus restrictive : un ensemble est défini "par les propriétés que possèdent ses éléments ou qu'on leur attribue". Mais alors seul un nombre dénombrable des parties de IN satisfait cette définition. En outre la collection de tous les réels compris entre 0 et 1 n'est pas un ensemble (travaux de E. Borel et L. E. J. Brouwer). La théorie ne permet donc pas de formaliser toute l'Analyse.

3) Pour y remédier on a décidé de passer outre en introduisant l'axiome de l'ensemble des parties. Kamke explique que cette décision ne serait à revoir que si l'on rencontrait des "contradictions sérieuses et insolubles. Or il n'y a pas d'indice quelconque que tel soit le cas", et il ajoute : "Il est possible qu'une telle conclusion, parce qu'elle se réfère à l'expérience et non à une démonstration logique, ne paraisse pas satisfaisante. Que l'on considère pourtant qu'en dernier ressort tout ce que nous savons sur la légitimité de nos inférences mathématiques ou logiques repose sur l'expérience (au sens très général du mot)."

4) Question :
Ne peut-on pas dire que, dans ces conditions, ZFC ne peut être un fondement logique des mathématiques ?
Cette question est évidemment sans objet si depuis - je pense que Kamke a écrit entre 1900 et 1950 - on a trouvé une démonstration logique autorisant l'axiome de l'ensemble des parties. Ce que j'ignore.

Cordialement.

[bardamu]

(...)
4) Question :
Ne peut-on pas dire que, dans ces conditions, ZFC ne peut être un fondement logique des mathématiques ?
Cette question est évidemment sans objet si depuis - je pense que Kamke a écrit entre 1900 et 1950 - on a trouvé une démonstration logique autorisant l'axiome de l'ensemble des parties. Ce que j'ignore.

Cordialement.

Bonjour,
que veux-tu dire par "une démonstration logique autorisant l'axiome..." ?
Si un axiome rend productive telle ou telle partie des mathématiques sans provoquer d'incohérence, cela suffit à légitimer son usage. On peut inventer d'autres systèmes d'axiomes mais encore faut-il que ça apporte quelque chose à la recherche mathématique.
C'est sans doute le sens de la remarque de Kamke : c'est l'expérience (y compris intellectuelle) qui détermine les besoins, les recherches, les inventions.

[invite92286d9c]

Bonjour
Lorsqu'on ajoute un axiome (par exemple l'axiome du choix AC) à une théorie (par exemple ZF) on vérifie par une démonstration logique qu'il est indépendant des axiomes existants, sinon ce serait un théorème, et que la théorie résultante (ZFC) est consistante en supposant que la théorie de départ (ZF) l'est.
Mais je ne suis pas certain que l'on est dans ce cas pour l'axiome de l'ensemble des parties. D'où la question.

[bardamu]

(...)
Mais je ne suis pas certain que l'on est dans ce cas pour l'axiome de l'ensemble des parties. D'où la question.

Bonjour,
je ne sais pas si son indépendance a été démontrée mais apparemment il y a au moins un essai sans cet axiome, celui de Kripke-Platek.
Mais bon, il faudrait demander aux mathématiciens si cette question les intéresse. Ca change quelque chose que cet axiome se révèle un théorème ?

[invite92286d9c]

Bonjour,

1) Merci pour l'info sur le système KP : je suis curieux de savoir comment y sont traités l'infini et le continu. Existe-t-il un manuel ?

2) Si l'axiome des parties était un théorème cela signifierait qu'il est déductible des autres axiomes de la théorie et qu'il ne peut donc pas apporter la contradiction dans cette théorie. Si c'est un axiome, il le peut.

3) Je reviens au message # 85 .
(Il se peut très bien que dans ce qui suit j'aie raté une marche !)
- J'appelle collection tout "groupement d'objets bien distincts de notre intuition et de notre pensée".
- On peut dire qu'une partie d'un ensemble A est a) une collection d'éléments de A et b) un ensemble.
- Selon le point 2) du # 85 il peut exister des collections d'éléments de A qui ne sont pas des ensembles (et qu'on ne peut donc pas appeler parties de A).
Mais l'axiome de l'ensemble des parties, pour remédier aux problèmes cités dans 2) de # 85, implique que toute collection d'éléments de A est une partie de A, donc un ensemble.
Il peut donc exister des collections d'éléments de A qui sont et ne sont pas des ensembles ?

Cordialement.

[invite8145ad7d]

justement en "métaphysique" le 0 correspondrait a l'origine, donc a une entité purement invisible, puisque la base de toute chose...
la physique ou la chimie s'efforcerait de percer l'origine par différentes expériences sur lesquelles seront fondés des bases mathématiques cohérentes quant aux résultats observé par l'oeil et donc forcement imcomplètes...
le théoricien intervient alors pour formuler des hypothèses fondant des bases aux calculs
les maths, quant a elles, vont tout faire pour rationnaliser les phénomènes observés par des formules mathématiques
les maths ne sont pas simplement que logiques (bien qu'incompletes vu qu'elles évoluent selon les progres scientifiques observés), elles sont aussi et surtout le seul outil de communication pour comprendre, reproduire, prevoir ce que l'on oserve ou pense
donc les mathématiques sont elles logique ? heureusement que oui, sinon, se serait un veritable fouilli là dedans