[Logique] Axiomes et conséquences

[Gwyddon]

Bonsoir à tous, amis logiciens

Une discussion m'a ce soir tenu en haleine avec mes amis informaticiens, autour des axiomes et de ce que l'on peut en déduire.

Ainsi, si on prend un set d'axiome avec logique bivaluée (vrai/faux), il arrive que l'on tombe sur des propositions indécidables, après dérivation des axiomes suivant cette logique bivaluée. Peut-on dire alors que le set d'axiomes contenait en lui-même la notion d'indécidabilité ? En gros, que la logique est en fait intrinsèquement trivaluée ?

Plus généralement, peut-on dire que toute la mathématique dérivée d'un set d'axiomes est contenue, à la base, dans ce set d'axiomes ?

J'ai l'impression que cela signifierait, pour imager, que le set d'axiome "construit son propre univers qu'il contient déjà en germe du fait de sa propre existence". Ok, je sais, pas très clair

Mais c'est une question qui me turlipine, et peut-être est-elle plus épistémologique, métaphysique, que logique...

Merci d'avance pour toute réponse (même si c'est pour me dire que je me prend la tête pour des prunes )

Julien
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[invite441ba8b9]

Euh le théorème d'incomlpétude ne concerne seulement tout système formalisant l'arithmétique non? Je crois que la logique est plutot concernée par le théorème de complétude.

GFD.

[martini_bird]

Salut,

J'ai l'impression que cela signifierait, pour imager, que le set d'axiome "construit son
propre univers qu'il contient déjà en germe du fait de sa propre existence".

Cette position est à rapprocher de l'introduction de Poincaré dans La science et l'hypothèse où il pose la question de savoir si les mathématiques se résument à une immense tautologie. A laquelle il répond :

(...) il faut bien concéder que le raisonnement mathématique a par lui-même une sorte de vertu créatrice et par conséquent qu'il se distingue du syllogisme.

Quant à la notion d'indécidabilité, elle doit en effet être propre aux axiomes : si par exemple je pose le principe du tiers exclu et la négation de non(non A)=A, j'obtiens un système contradictoire. Il doit en être de même pour l'indécidabilité, mais je laisse les experts répondre (de souvenir C.B. est calé en la matière).

Enfin, je pose la même question que GottferDamnt : tout système logique contient-il des propositions indécidables ? (je pense pas mais bon c'est pas très constructif )

Cordialement.

[invité576543]

tout système logique contient-il des propositions indécidables ? (je pense pas mais bon c'est pas très constructif )

La question est bizarre. C'est quoi un "système logique"?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Il fallait comprendre un système d'axiomes.

Tu pensais à quoi ?

Cordialement.

[Sephi]

Et par "système d'axiomes", il faut entendre "système formel" ? C.-à-d. qui contient à la fois des axiomes et les règles d'inférences autorisées.

Si oui, alors il existe bien des systèmes formels qui sont complets et consistants. En général, ces systèmes doivent être relativement simples, car le théorème de Gödel dit justement que tout système suffisamment complexe (i.e. qui contient l'arithmétique) est nécessairement incomplet.

Un exemple ludique de système formel complet et consistant est donné dans le jeu des allumettes :

http://membres.lycos.fr/godel/jeu_allumettes.html

[martini_bird]

Dans le genre on joue pas sur les mots : set d'axiomes, système logique, système d'axiomes, système formel. Quatre expression pour désigner ce que je crois être à peu près la même chose...

C'est utile un système d'axiomes sans règle d'inférence ? Il y a une si grande nuance entre système logique et système formel ?

Enfin bref...

PS : Peut-être eussé-je dû parler d'axiomatique...

[invité576543]

Il fallait comprendre un système d'axiomes.

Tu pensais à quoi ?

Cordialement.

Il y les axiomes de la logique élémentaire, puis (avec les ensembles) la logique modale, et encore les systèmes qui contiennent la logique (mais ça contient tout, alors?). Et il y a encore d'autres extension de la logique élémentaire, j'imagine.

L'élémentaire ne permet pas d'exprimer d'énoncé indécidable. La logique modale?

Cordialement,

[Sephi]

Ben sans règles d'inférence, on n'a aucun moyen de déduire quoi que ce soit à partir des axiomes ... C'est donc primordial.

Sinon je pense aussi que ces 4 expressions disent la même chose ... le terme usuel étant "système formel", il me semble.

[martini_bird]

Ok ok, je pensais que le contexte était clair.

Même si je persiste à penser que c'est du pinaillage (dans le contexte de ce fil).

Bonne après-midi.

PS : merci pour le lien Sephi.

[invité576543]

Si on entend "système d'axiomes", sans précision, il y en a avec énoncés indécidables et des sans.

C'est trivial de faire un système ne permettant d'exprimer qu'un nombre fini d'énoncés, et de leur donner tous une valeur: rien d'indécidable. Et l'arithmétique permet d'exprimer des énoncés indécidables.

Cordialement,

[martini_bird]

Si on entend "système d'axiomes", sans précision, il y en a avec énoncés indécidables et des sans.

C'est trivial de faire un système ne permettant d'exprimer qu'un nombre fini d'énoncés, et de leur donner tous une valeur: rien d'indécidable. Et l'arithmétique permet d'exprimer des énoncés indécidables.

Cordialement,

Oui tout à fait d'accord.

Donc on parle bien d'un système d'axiomes muni de règles d'inférence.

Cordialement.

[Gwyddon]

Bonjour à tous,

Merci merci pour toutes ces réponses, elles sont très instructives

Effectivement quand je parlais de set d'axiomes, c'est muni de règles d'inférences qui me permettent de dériver des propositions. Ok pour le terme "système formel".

Si je reprend Poincaré, ce qu'il veut dire c'est que la mathématique est contenue, en quelque sorte, dans le processus inférentiel créatif, et que cela la distingue du simple syllogisme. Il faudrait que je le lise

[matthias]

Dans les systèmes complets et cohérents, il y a aussi le calcul propositionnel (Wikipedia).
En même temps il y a un truc qui me chiffone, les règles d'inférences de la logique ce sont justement les théorèmes du calcul propositionnel non ? J'ai un peu l'impression de tourner en rond.
Va falloir que je me remette à la logique moi ...

[invité576543]

Oui tout à fait d'accord.

Donc on parle bien d'un système d'axiomes muni de règles d'inférence.

Cordialement.

De mémoire:

Système de propositions, contenant "vrai" (ou équivalent) et tel que si P est une proposition, non(P) est une proposition (ou autre équivalent de non), et muni d'un jeu de règles de réécriture. Est alors "démontrée" toute proposition qui peut se réécrire, par application récursive des règles d'écriture, comme "vrai", et "réfutée" toute proposition P telle que non(P) se réécrit comme "vrai".

On appelle axiome une proposition P telle qu'il existe une régle de réécriture (P, vrai).

Complète si tout P est soit démontrée, soit réfutée. Incohérente s'il existe au moins une P qui soit à la fois démontrée et réfutée.

Cordialement,

[invité576543]

Dans les systèmes complets et cohérents, il y a aussi le calcul propositionnel (Wikipedia).
En même temps il y a un truc qui me chiffone, les règles d'inférences de la logique ce sont justement les théorèmes du calcul propositionnel non ? J'ai un peu l'impression de tourner en rond.
Va falloir que je me remette à la logique moi ...

Effectivement, l'article décrit le système formel de la logique élémentaire, avec l'approche par la notion d'inférence...

[Gwyddon]

C'est un article hautement intéressant, merci pour cette référence.

Il apparaît effectivement que la logique dite classique est déduite du système propositionnel.


Encore un gros merci à tous, j'ai appris plein de choses

[invité576543]

Il apparaît effectivement que la logique dite classique est déduite du système propositionnel.

Je ne le dirais pas comme ça, plutôt c'est la même chose présentée différemment. D'ailleurs l'article pointe sur d'autres avec d'autres présentation de la même chose. Certains introduisent en plus la logique modale, ce qui est un peu plus complexe (et plus intéressant).

La logique a intéressé des penseurs depuis des siècles, du coup il y a n manières de la présenter. Comme système formel, c'est en fait un des plus simples qui ne soit pas totalement trivial.

La logique élémentaire, c'est guère autre chose que les formules algébriques sur Z/2Z. Mais on donne des significations à des formules de la logique (par exemple comme "impliquer" ou "être équivalent"); siginfications qui ne sont pas contenue dans le système formel, ce qui amène à gloser en long et en large (e.g. les différents articles du wiki) sur ce système formel qui se résout in fine aux tables d'addition et de multiplication de Z/2Z.

A ce titre, il est quand même illustratif de cette difficulté entre calcul formel (règles de réécriture basées entièrement sur la forme) et le sens que l'on y voit, et qu'en fait on y ajoute, par convention/habitude/culture/ou autre?

Cordialement,