[Maths] [TS] Logarithmes

[kNz]

Salut,

Ne pouvant pas créer de sujet, je poste là en attendant qu'un modérateur le déplace.
-----

[invitefc60305c]

Salut et merci pour les exos.

Pour l'exercice 1 est-ce qu'on peut utiliser les limites?
Je m'explique.

Les limites conservent les inégalités.
=
=



C'est utile pour montrer que :

[kNz]

Ok alors :

f(x) = sin x + 1
g(x) = x

lim g(x) = +oo
+oo

De plus f(x) est bornée.

On a :

lim f(x) < lim g(x)
+oo

Maintenant calcule f(0).
Qu'en conlure ?

[invitefc60305c]

Que ma méthode va direct à la poubelle.
Ils sont pas très évidents tes exos

[A voir en vidéo sur Futura]

[kNz]

Méthode :

Pour démontrer qu'une inégalité de la forme p(x) < q(x) est vérifiée pour tout x dans un intervalle I, on pourra poser :

pour tout x dans I, f : x -> q(x) - p(x)

et ainsi montrer que f > 0.

[invitefc60305c]

1er exercice:

Soit
s'annule pour
pour
donc
donc

Soit

On étudie le signe de et on en déduit les varitations de
On voit que .
donc

Finalement,

[kNz]

pour

Une petite justification s'impose quand même là, si tu veux avoir des points

Soit

Revoir l'expression de la dérivée !

[invitefc60305c]

C'est mieux hein

Pour il faut parfois savoir faire des sacrifices

[kNz]

Ok c'est bon, pense toutefois dans la rédaction d'un devoir, à bien dire que :

- f dérivable sur l'intervalle étudié
- f' >= 0
- f croissante
- or f(0) = 0
- donc f >= 0

Même si là on voit que tu as compris le raisonnement.

On passe à l'autre ?

[invitefc60305c]

C'est parti !

a)
Soit f(x) = x - ln(x+1)
On étudie f(x) (dérivée etc)
On montre que f(x) >= 0 pour tout x > -1

[kNz]

Ah non tu me la refais, parce que j'veux voir ton raisonnement

Remarque :

On pourra remarquer pour la question b), que pour tout a > 0 et différent de 1 :
a^b = e^b*lna

S'en aider pour transformer (1+1/n)ⁿ.

[invitefc60305c]

pour
pour
Donc croissante pour tout .
De plus donc est positive pour tout .
Donc pour tout .

J'ai du mal pour le b)

[kNz]

Refais déjà la a)
On te demande de l'étudier sur ]-1;+oo[ donc calcule le signe de la dérivée sur tout cet intervalle.

[invitefc60305c]

Il faut lire
Or n est un entier naturel ().
Et pour n un entier naturel, f'(n) positive donc f(n) croissante.

[kNz]

Non ça c'est du bidouillage
Ta dérivée est bonne, fais une étude de son signe rigoureuse sur l'intervalle demandé !

[invitefc60305c]

Bon je reprends tout depuis le début (exercice 2 hein).

a) Soit pour tout x réel strictement supérieur à 1.

On étudie le signe de .
Pour , .
Pour .
Pour , .
Donc on a :
sur
sur
(minimum).
De plus limite en de
et limite en de
On en déduit que pour
Finalement,

[kNz]

C'est déjà beaucoup mieux
Suite

PS : par contre, t'as pas besoin des limites en -1 et +oo, c'est pas nécessaire.

[invitefc60305c]

b) On sait que
On pose
On a alors :
On multiplie partout par n, on a alors :

On prend l'exponentielle des 2 membres, le sens de l'inégalité est conservé car l'exponentielle est une fonction croissante.



D'autre part, car
Par transitivité,

[kNz]

Right, pour une rédaction optimale, préciser que 1/n est > -1, même si c'est évident

[invitefc60305c]

Exercice 3 :

On multiplie partout par 2 pour simplifier un peu
On a alors :
Or ln(a) + ln(b) = ln(ab). Donc :

On prend l'exponentielle des 2 membres, le sens de l'inégalité est conservé car l'exp est une fonction croissante.


2ab\leq{a^2+b^2}



Finalement montrer que équivaut à montrer que .
Qui est évident

[kNz]

Salut,

Ca va. J'ai pas trop le temps mais je repasse ce soir pour te donner une autre méthode que tu n'as pas dû voir.

A+

[kNz]

Approche de la convexité :

Définition : On dit que f est convexe sur un intervalle I ssi :


Interprétation graphique : La courbe représentative de la restriction de f à [a,b] est au dessus de la corde (AB)

Remarque : On dit qu'une fonction est concave sur un intervalle si elle n'est pas convexe sur cet intervalle, changeant ainsi le sens de l'inégalité.

Exemples de fonctions convexes :

, sur
, sur

Exercice :

Théorème (admis) :

Soit f une fonction deux fois dérivables sur un intervalle I,
Alors f convexe est équivalent à .
De même, f est concave ssi .

Ainsi, pour montrer que ln est concave, il suffit de montrer que sa dérivée seconde est négative.

Calculer la dérivée seconde de ln.
En déduire que ln est concave.
Traduire à l'aide d'une inégalité que ln est concave sur .
En déduire la réponse à l'exercice 3.

Have fun

Si tu veux plus de renseignements sur la convexité ou autre, demande

[invitefc60305c]

Exercice 4

a) Etudier la monotonie de f.

On a définie sur R+ avec




(sens de l'inégalité conservé parce que x et ln sont des fonctions croissantes)

Le dénominateur de est plus grand que son numérateur, sachant qu'ils sont tout deux en fonction de x. Donc f

Est-ce juste ?

[g_h]

Le dénominateur de est plus grand que son numérateur, sachant qu'ils sont tout deux en fonction de x. Donc f

Est-ce juste ?

Non, exemple :

est croissante sur les positifs


kNz> ln concave sur R tout entier ?

[kNz]

OUPS j'ai oublié un + et une étoile dans ma précipitation, mille excuses C'est bien sûr sur . Merci g_h.

Il y a aussi une erreur dans la définition de la convexité, c'est lambdaf(a) dans le deuxième membre de l'inégalité, un modo ?

[invite0914d5b3]

Salut,
J'ais un controle sur les logarithmes, donc voila ce que j'ais fait pour l'exo 4 (un peu bizzard ma méthode et je ne suis vraiment pas sur que ce soit juste...):

sans trop rentrer dans les détails, la dérivée de f est:
ln(1+bx)/(1+ax)ln(1+bx)^2 - ln(1+ax)/(1+bx)ln(1+bx)^2

ln étant croissante, et b>a>0:
ln(1+bx)/(1+ax) > ln(1+ax)/(1+bx)

donc f'(x) >0 donc f est croissante.

Tout va bien jusque la.

Maintenant il faut montrer que ln(1+a/b)ln(1+b/a)<=(ln(2))^2

On pose a et b des variables.

la dérivée de g(a,b)=ln(1+a/b)ln(1+b/a) est:
g'(x)=ln(1+b/a)/(1+a/b) + ln(1+a/b)/(1+b/a)
ce qui est supérieur a zéro évidemment (b>a>0), donc on a bien que g(x) est croissante.

Il reste a montrer que la limite de cette fonction est bien ln(2)^2

Pour cela utilisons la fonction f.
On sait que f est croissante, et on sais que sa limite est 1 (trivial).
donc quand x tend vers + l'infini f se rapproche de 1.

par conséquent le rapport (1+ax)/(1+bx) tend vers 1, c'est a dire le rapport ax/bx tend vers 1.

On peut alors dire que quand A et B tendent vers + l'infini le rapport A/B tend vers 1 (B/A tend vers 1)

donc en revenant a g(a,b) quand a,b tendent vers + l'infini, g tend vers ln(1+1)ln(1+1) c'est a dire ln(2)^2, comme cette fonction est croissante et a pour limite ln(2)^2,
alors
ln(1+a/b)ln(1+b/a)<=(ln(2))^2.

Ca me parait vraiment bizzard de devoir utiliser une fonction à 2 variables, et je ne suis meme pas sur que l'on puisse appliqué les meme régles pour la dérivée, alors j'aimerais bien que quelqu'un vérifie ce que j'ais fait.
merci.

[Romain-des-Bois]

Salut,

je ne comprends pas très bien ce que tu fais avec ta fonction g(a,b).
Une fonction à deux variables ne se dérive (différencie ) pas comme une fonction à une seule variable

Ce que tu as peut-être voulu faire, c'est poser x=b/a (il te faut quand même le justifier). Mais pour cela, pas besoin d'introduire une fonction à deux vars.

Romain

[Romain-des-Bois]

Exercice 3 :

On multiplie partout par 2 pour simplifier un peu
On a alors :
Or ln(a) + ln(b) = ln(ab). Donc :

On prend l'exponentielle des 2 membres, le sens de l'inégalité est conservé car l'exp est une fonction croissante.

Allez, je vous fait un petit complément culturel

On voit bien qu'en passant à l'exponentielle, l'inégalité qu'on vous demande de prouver est équivalente à :

sqrt(ab) <= (a+b)/2

En fait, cette inégalité (peut-être appelée de Cesaro - il a travaillé dessus...) nous dit que la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique.

La moyenne arithmétique, c'est celle qu'on applique habituellement à l'école.
La moyenne géométrique, c'est la même dans l'esprit (elles sont toutes les deux naturelles), sauf que la somme est remplacé par le produit, et la division par deux par prendre la puissance (1/2) (donc la racine) - tout est cohérent

Si à l'école on faisait les moyennes géométriques au lieu d'arithmétiques ça baisserait presque toujours nos moyennes

Amusez vous à calculer vos moyennes géométriques, et vous serez bien contents que vos profs ne les utilisent pas

Romain

[invite0914d5b3]

Une fonction à deux variables ne se dérive (différencie ) pas comme une fonction à une seule variable

Dommage.

M'enfin, en posant x=a/b et donc en étudiant la fonction ln(1+x)*ln(1+1/x) on arrive asser facilement a voir que (ln(2))^2 est son maximum, mais c'est difficil de le prouver: il faut monter que x*ln(x+1/x)-ln(x+1) est supérieur a 0 sur ]0,1] et inférieur a 0 sur [1,+infini[... et de toute facon une telle méthode ne fait même pas intervenir la fonction f(x).

Je continue de chercher...

[Romain-des-Bois]

Je te donne un petit coup de pouce :

d'abord suis les consignes : étudie la monotonie de f.

Ensuite regarde sa valeur en 2 valeurs de x distinctes qui peuvent paraitre naturelles ici.

Et après il faut ... faire un produit ...

Romain