[Maths] [TS] Équations différentielles 2

**doryphore** · 26/10/2005, 21h57

Dans chacun des cas suivants, résoudre l'équation différentielle:

$\text{[math]}$

invite19431173 · 27/10/2005, 11h29

C'est gentil de commencer simple !

$\text{[math]}$

2quation différencielle du premier ordre à coefficients constants et sans seconde membre, pas de conditions initiales donc :

$\text{[math]}$

invite19431173 · 27/10/2005, 11h31

-y' + y = 0 <==> y' - y = 0

Pour les mêmes raisons que précédemment : $\text{[math]}$

invite19431173 · 27/10/2005, 11h34

7y' + 8y = 0 <==> $\text{[math]}$

Idem pour le type d'équation. d'où :

$\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2f886c49 · 27/10/2005, 12h20

Juste une petite précision :

$\text{[math]}$ ou bien écrate les solution triviales dès le départ ... la fonction nulle est solution .. on suppose y non nulle par la suite etc ..

**g_h** · 27/10/2005, 12h29

Envoyé par AriesSith

Juste une petite précision :

$\text{[math]}$ ou bien écrate les solution triviales dès le départ ... la fonction nulle est solution .. on suppose y non nulle par la suite etc ..

Ca n'apporte pas grand chose de dissocier les cas, non ?
La méthode de résolution est une méthode générale, pas besoin de la "dégénéraliser"

invite2f886c49 · 27/10/2005, 12h40

Ca n'apporte pas grand chose de dissocier les cas, non ?

Ca apporte juste que tu oublies un cas trivial ... Je n'ai pas dit que ça changeait ton résultat.

**iwio** · 27/10/2005, 13h34

Envoyé par AriesSith

on suppose y non nulle par la suite etc ..

Il faut supposer y non nul, car : (on divise par y des deux côtés)
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

=> $\text{[math]}$

Mais je crois que ceci n'est pas une démonstration (je crois me souvenir que mon prof de math nous avait dis ça).

invite2f886c49 · 27/10/2005, 14h07

Envoyé par iwio

Il faut supposer y non nul, car : (on divise par y des deux côtés)
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

=> $\text{[math]}$

Mais je crois que ceci n'est pas une démonstration (je crois me souvenir que mon prof de math nous avait dis ça).

Atention à ce que tu écris !
$\text{[math]}$ Car rien n'est dit quant au signe de y !

De plus, ce n'est effectivement pas une démonstration !

invite2f886c49 · 27/10/2005, 14h33

Voici un exemple recherche des solutions de l'équation différentielle y' = ay (E):

Déja, les application nulles et $\text{[math]}$ sont eds solutions de (E)

Pour toute application dérivable sur un intervalle I, il existe une unique fonction z définie sur I telle que sur I on ait y(x) = z(x) $\text{[math]}$ (il suffit de prendre z(x) = y(x) $\text{[math]}$ )

"y solution de (E)" $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Finalement, les solutions sont les fonctions $\text{[math]}$

**doryphore** · 27/10/2005, 23h02

Quelques petites remarques sur la résolution des équations différentielles.
Tout d'abord, il ne faut pas oublier de préciser l'ensemble de définition maximal des solutions: l'ensemble des solutions fait partie intégrante de la solution. Ici, c'était facile, toutes les solutions était des fonctions définies sur $\text{[math]}$ .

Ensuite, quand on précise les solutions, il est bon de distinguer les paramètres et les variables.

Ainsi au lieu d'écrire la solution est $\text{[math]}$ , il vaut mieux écrire l'ensemble des solutions est $\text{[math]}$ .

Dans la présenation des résultats, il n'y a pas lieu de séparer la fonction nulle des autres solutions...

Une démonstration de ce résultat se fait par existence et unicité:
On constate d'une part que les fonctions définies sur $\text{[math]}$ de la forme $\text{[math]}$ sont solutions de l'équation.
Ensuite, on considère y une solution quelconque et on s'intéresse à la fonction $\text{[math]}$ : on constate qu'elle est dérivable et que sa dérivée est contante et on en déduit qu'elle est forcémment de la forme pressentie.

**doryphore** · 28/10/2005, 20h15

Envoyé par doryphore

Quelques petites remarques sur la résolution des équations différentielles.
Tout d'abord, il ne faut pas oublier de préciser l'ensemble de définition maximal des solutions: l'ensemble des solutions fait partie intégrante de la solution. Ici, c'était facile, toutes les solutions était des fonctions définies sur $\text{[math]}$ .

Ensuite, quand on précise les solutions, il est bon de distinguer les paramètres et les variables.

Ainsi au lieu d'écrire la solution est $\text{[math]}$ , il vaut mieux écrire l'ensemble des solutions est $\text{[math]}$ .

Dans la présenation des résultats, il n'y a pas lieu de séparer la fonction nulle des autres solutions...

Une démonstration de ce résultat se fait par existence et unicité:
On constate d'une part que les fonctions définies sur $\text{[math]}$ de la forme $\text{[math]}$ sont solutions de l'équation.
Ensuite, on considère y une solution quelconque et on s'intéresse à la fonction $\text{[math]}$ : on constate qu'elle est dérivable et que sa dérivée est contante et on en déduit qu'elle est forcémment de la forme pressentie.

Tiens, j'aurais mieux fait de lire jusqu'au bout le message d'AeriesSith, ça m'aurait fait gagner du temps...

**doryphore** · 28/10/2005, 20h20

Résoudre les équations différentielles suivantes.

$\text{[math]}$

invite19431173 · 28/10/2005, 20h28

Donc j'avais juste dans quelle mesure ?

**doryphore** · 28/10/2005, 20h36

Difficile à évaluer, ça dépend des sous-entendus de ta réponse...

Il était indispensable de préciser l'intervalle de définition car les solutions des équations différentielles sont des fonctions et qu'une fonction est la donnée d'un ensemble de départ, d'arrivée et d'une correspondance.

Ensuite, il faut biien avoir à l'esprit qu'il y a une infinité de solutions à cette équation donc il faut bien faire décrire tous l'ensemble des réels à ton paramètre lambda...

invite19431173 · 28/10/2005, 20h52

D'accord, d'accord, je vais essayer d'être plus rigoureux, dur pour moi, mais la rigueur des maths me fera du bien remarque...

Alors je vais commencer par la première avant de faire les suivantes (en bleu mes doutes) :

y' + 2y = 3

Equation différentielle du premier degré à coefficients constants et avec second membre, pas de conditions initiales.

La solution générale de cette équation est la somme de l'équation homogène et d'une solution particulière. y(t) est définit pour tout t.

Solution homogène : $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ appartient à R et pour tout t.

Solution particulière : y = 3/2

Et on somme...

**doryphore** · 28/10/2005, 21h02

Envoyé par benjy_star

D'accord, d'accord, je vais essayer d'être plus rigoureux, dur pour moi, mais la rigueur des maths me fera du bien remarque...

Alors je vais commencer par la première avant de faire les suivantes (en bleu mes doutes) :

Equation différentielle du premier degré à coefficients constants et avec second membre, pas de conditions initiales.

La solution générale de cette équation est la somme de l'équation homogène et d'une solution particulière. y(t) est définit pour tout t.

Solution homogène : $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ appartient à R et pour tout t.

Solution particulière : y = 3/2

Et on somme...

Alors, le plus important:
"Quand tu dis pour tout t, cela veut implicitement dire que t appartient à R. Explique-moi comment tu comprends la différence entre $\text{[math]}$ appartient à R d'une part et t appartient à R d'autre part...

Ensuite les détails: on parle plutôt d'ordre que de degré pour les équations différentielles.
Ne pas oublier de préciser que ce sont des équations linéaires...

invite19431173 · 28/10/2005, 21h15

Envoyé par doryphore

Alors, le plus important:
"Quand tu dis pour tout t, cela veut implicitement dire que t appartient à R. Explique-moi comment tu comprends la différence entre $\text{[math]}$ appartient à R d'une part et t appartient à R d'autre part...

heu... A vrai dire, je ne vois pas de différence, il y en a une ? Ils sont tout les deux des nombres qui appartiennent à R, t variable et lambda constant..

Envoyé par doryphore

Ensuite les détails: on parle plutôt d'ordre que de degré pour les équations différentielles.
Ne pas oublier de préciser que ce sont des équations linéaires...

oki oki, l'ORDRE ! Sinon, linéaires, parce que ce sont des puissances entières ? Ici 1..? je veux dire, c'est pas :

$\text{[math]}$

**doryphore** · 28/10/2005, 21h32

En fait, ce qu'il faut comprendre, c'est que pour chaque valeur de $\text{[math]}$ réelle, la fonction définie de R dans R par la correspondance: $\text{[math]}$ est une solution de l'équation.

Il y a donc une infinité non dénombrable de solutions à cette équation, (on dit qu'il y a une droite de solutions) une par valeur de $\text{[math]}$ .
Si, on avait une condition initiale, on réduirait cet ensemble de solutions à une seule et unique fonction.

Pour la linéarité, c'est plus fort que tu ne penses, on n'a le droit qu'aux puissances 0 et 1. (mais l'ordre de dérivation est quelconque)
Ainsi, $\text{[math]}$ est une équation linéaire tandis que $\text{[math]}$ n'en est pas une.

invite19431173 · 28/10/2005, 21h50

D'accord d'accord, je saisis mieux que lambda peut prendre n'importe quelle valeur !

Pour la linéarité, j'ai pas bien compris la différence entre tes deux exemples... Je ne sais pas si c'est une question de convention, ou si c'est plus métaphysique, mais pour moi :

$\text{[math]}$

**doryphore** · 28/10/2005, 21h55

C'est toute la différence qu'il y a entre ordre et degré...

$\text{[math]}$ : ordres de dérivabilité
vs
$\text{[math]}$ : degré de l'inconnue au sens d'une puissance (produit de fonctions)

invite19431173 · 28/10/2005, 22h47

ok, c'était juste du formalisme alors !

Bon, je vais continuer..

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

**BioBen** · 28/10/2005, 22h54

T'es sûr de toi pour la deuxième ? A vue de nez ca marcherait mieux avec du exp(2t/3).
La troisième m'ai aussi l'air douteuse, les autres ont l'air correctes...

**doryphore** · 28/10/2005, 22h54

Il y a des erreurs de calculs dans la deuxième et la troisième:
il faut se ramener à une écriture du genre: $\text{[math]}$ pour éviter ce genre d'erreurs.

invite19431173 · 28/10/2005, 23h37

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

C'était une grosse erreur d'inattention !

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Pareil !

**doryphore** · 28/10/2005, 23h48

Ok, la suite plus tard...

invite19431173 · 01/11/2005, 08h52

Envoyé par doryphore

Ok, la suite plus tard...

J'ai été si nul que ça que tu m'évites ?

**doryphore** · 01/11/2005, 16h49

Patience...Ca vient...

**doryphore** · 01/11/2005, 19h29

On considère l'équation différentielle:
(E) : $\text{[math]}$ .

Montrer que (E) admet une fonction affine: $\text{[math]}$ comme solution.
Résoudre (E).

invite19431173 · 01/11/2005, 20h49

On doit donc résoudre l'équation :

2a + 3ax + 3b = 6x - 5

Soit :

3ax = 6x ==> a=2

2a + 3b = -5 ==> b=-3

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