[Maths] [TS] Équations différentielles 2

[invite8241b23e]

Mince, j'avais pas tout lu !

Pour résoudre E, on doit trouver la solution de l'équation homogène + une solution particulière trouvée précédemment y_p = 2x-3.



Soit
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[invite3bc71fae]

Nan, y a un problème...

[invite3bc71fae]

Quelle est la variable d'une de tes fonctions ?

[invite8241b23e]

Oups, la variable est t soit :



Par contre, je nesais plus si c'est ou

[invite3bc71fae]

C'est juste lambda, mais il existe une technique qui consiste à rendre variable la constante afin de trouver une solution particulière , d'où la confusion peut-être...

[invite8241b23e]

Oula... Moi j'ai donné une solution particulière + la solution de l'équ. homogène, c'est juste ? Ou alors c'est trop simpliste.

Je connais le coup de "faisons varier la constante lambda" je pensais être passé à travers discrètement...

[invite3bc71fae]

Non, là c'est bon, rien à redire...

Tiens, tu n'as qu'à faire la même chose avec l'équation différentielle:
en sachant qu'une solution particulière est un polynôme du second degré...

Avec en sachant qu'une solution particulière est le produit d'une fonction affine avec

Et enfin, en sachant qu'une solution particulière est une combinaison linéaire de sin(x) et de cos(x)...

[invite8241b23e]

en sachant qu'une solution particulière est un polynôme du second degré...

Alors, solution de l'EH :

lambda appartient à R

Solution particulière :

3ax² + 3bx + 3c + 4ax + 2b = 6x² - 7x + 2

Soit :

Et on fait la somme des 2. C'est bon pour le premier exemple ? avant que je me lance dans les autres...

[invite3bc71fae]

Oui, c'est bon, mais fais bien attention aux variables quand tu sommes.

[invite8241b23e]

je suis le roi des erreurs d'inattention !!!

Bref, je me rettraperai sur le prochaines, je m'y mets plus tard !!

[invite8241b23e]

Bon, je passe à la suite :

1 ------------------------









Question : On prend bien un polynome d'un degré supérieur à celui du second membre parce que la facteur de x dans le second membre (à savoir -2) est le même que pour la solution de l'équation homogène ?

2 --------------------------

y' + y = sin(x)







Pour les mêmes raisons que ma précedente question, y aurait-il eu une différence si le membre de droite avait été sin(-x) ?

[invite3bc71fae]

J'ai du mal à bien comprendre ce que tu me demandes, mais si tu penses qu'on a choisi de mettre ax+b en facteur de exp(-2x) parce que il y a du exp(-2x) dans la solution générale de l'équation, tu te trompes, ça n'a rien à voir...

De même, on aurait choisi également uune combinaison linéaire de sin(x) et cos(x) pour le cas, sin(-x) = - sin(x)

Tu aurais eu à résoudre a+b=0 et b-a=-1 au lieu de 1, c'est tout...

[invite8241b23e]

J'ai du mal à bien comprendre ce que tu me demandes, mais si tu penses qu'on a choisi de mettre ax+b en facteur de exp(-2x) parce que il y a du exp(-2x) dans la solution générale de l'équation, tu te trompes, ça n'a rien à voir...

Si mes souvenirs de DEUG sont bons (la seule chose dont je sois sûr c'est qu'ils sont loin) :

On aurait du prendre à droite une fonction du type :

a*e^(-2x)

Au lieu de ça, le polynome de degré 0 doit être pris de degré 1 (ax +b).

Si on avait eu dans le second membre e^(-3x), comme la solution de l'équation homogène est du type e(^-2x), dans ce cas là, le polynome de degré 1 était inutile...

Je me trompe ? Je ne suis pas clair ?

[invite3bc71fae]

Tu as de la chance toi, il te reste des souvenirs...

Sinon, j'ai vérifié en utilisant la méthode de la variation de la constante dans le cas général et effectivement quand b=ac, c'est le cas que tu me décris, il n'y a plus d'exponentielle dans la dérivée de lambda et donc il apparaît la primitive d'une constante et donc du premier degré tandis que sinon, il reste de l'exponentielle dans la dérivée de lambda et donc on a juste un terme constant devant...

[invite8241b23e]

ok ok...

Rassure-moi, la solution générale est bien la somme des 2 solutions que je propose ? C'est à dire, un lambda*e^(blabla) + polynom*e^(blabla) ??

[invite3bc71fae]

Tout à fait...

[invite3bc71fae]

Résoudre l'équation

[invite8241b23e]

Alors je trouve pour le "discriminant" :



Solutions : et

[invite3bc71fae]

Ok, autant on avait une droite de solutions dans le cas des équations linéaires du premier ordre autant, on a un plan de solutions (2 degrés de liberté) pour les équations du second ordre.

Résoudre l'équation
Résoudre l'équation

[Seirios]

Comme ça fait un bout de temps que personne ne répond, je termine l'exercice :

Pour la première, on a l'équation caractéristique , d'où et . On en déduit que .

Pour la seconde, on a l'équation caractéristique , d'où . On a par conséquent .

[invitea7fcfc37]

Pour la seconde, on a l'équation caractéristique , d'où .

Ah bon ?

[Seirios]

C'est une erreur de frappe, mais le reste du calcul prend en compte

[invite3a8c0277]

Alors, solution de l'EH :

lambda appartient à R

Solution particulière :

3ax² + 3bx + 3c + 4ax + 2b = 6x² - 7x + 2

Soit :

Et on fait la somme des 2. C'est bon pour le premier exemple ? avant que je me lance dans les autres...

Je vois pas pourquoi il faut faire la somme des 2...Vous pouvez m'expliquer?

[Celestion]

Je voudrais juste savoir si
lamba>0 on a Ae^x1t + Be^x2t
lamba=0 on a (Ax + B)e^x1t
lamba<0 on a (Acost + Bsint)e^lamba*t (c'est ça ?)
ça pouvait se démontrer ou même se retrouver ?
Ca fait longtemps que je n'ai pas fait d'équations différentielles donc je les ai toutes faites mais c'est vrai que les équations différentielles de second ordre j'avais aucune idée de comment les faire (sauf peut etre en passant pas Laplace (?) mais je n'ai pas essayé)

[invite8241b23e]

Pose ta question dans la rubrique "mathématiques du supérieur" !

[invite74b8758e]

Bonjour a tous
j'aimerai savoir si vous aviez des liens qui continnenent des exo Corriger detaillée surtout de math TS s'il vous plait
je suis a 4 de moyenne j'aimerai vraiment arriver a 6 ou 7 le dernier trimestre

mon prochain control portera sur les integrale, la fonction exponentielle et la fonction logarithme
faut que je m(entraine
JE VOUS REMERCI D AVANCE POUR TOUT CE QUE VOUS FAITE

MERCI MERCI

[invitefc60305c]

http://bacamaths.net/
http://www.ac-bordeaux.fr/APMEP/doss...eannalesS.html