[Maths] [TS] Logarithmes (bis)

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Problème

L'objet du problème est l'étude de la fonction F définie sur par :

1/ Ensemble de définition de F

Expliquer pourquoi F est définie sur

2/ Détermination de quelques valeurs de F

a. Calculer F(0) et F(1)
b. Montrer à l'aide d'une intégration par parties, que :

En déduire une relation de récurrence entre F(1) et F(2), puis la valeur de F(2)
c. Plus généralement, établir une relation entre F(n) et F(n+1)
d. Calculer F(-n) pour . Donner les valeurs de F(-1) et F(-2)

3/ Sens de variation de F

Montrer que F est décroissante sur

4/ Etude de F quand x tend vers

a. Pour , déterminer le sens de variation de t sur [0,1], puis exprimer sa valeur en
b. Etudier la branche infinie de en

5/ Etude de F quand x tend vers

a. Montrer que : ,
b. On pose, pour ,
Montrer que : ,
En déduire que lim

6/ Etude de la dérivabilité de F

a. On pose : ,
Montrer que : ,
En déduire que :



b. En déduire que F est dérivable sur . Donner F'(x). Calculer F'(0)/

7/ Tracé de

Dresser le tableau de variation de F et tracer l'allure de .
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[Seirios]

Problème

L'objet du problème est l'étude de la fonction F définie sur par :

1/ Ensemble de définition de F

Expliquer pourquoi F est définie sur

L'expression F ne peut exister que si ce qui est toujours vérifié puisque t, étant un carré, est toujours positif.

2/ Détermination de quelques valeurs de F

a. Calculer F(0) et F(1)

On a

Par contre je n'arrive pas à calculer F(1)...

3/ Sens de variation de F

Montrer que F est décroissante sur

Tu es sûr que F est décroissante ? Moi je trouve que F est croissante

Parce que la dérivée de F est et un nombre positif avec une puissance, qu'elle soit positive ou négative, est obligatoirement positif...