[Maths] [1èreS] Une petite recurrence (nc)

[invitefc60305c]

Salut.

Démontrer par récurrence que

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[invitec053041c]

Salut!
Moi je préfère la démonstration directe
C'est-à-dire:

S=1 + 2 +..........+ (n-1) + n
S=n+(n-1)+............+ 2 + 1

Et on voit bien que la somme de 2 termes sur la même hauteur vaut (n+1), et il y en a n .

Donc 2S=n(n+1)

D'où

Sinon, la récurrence se fait toute seule, mais c'est pas intuitif

[invitefc60305c]

Mais rien ne vaut une bonne preuve sans parole hein

[invitec053041c]

Mais rien ne vaut une bonne preuve sans parole hein

Non! au contraire, c'est bien plus compréhensible quelque chose de commenté qu'une démonstration en pavé...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b432b1a]

Soit n appartanant à N
pour n=0
(avec le symbole grand sigma)
somme k de k=0 à 0= 0(0+1)/2=0
donc la propriété est vraie pour n=0
supposons que la propritété est vraie au rang n, on a donc
somme k de k=0 à n = n(n+1)/2
ce qui implique que
somme k k=0 à n +(n+1)= n(n+1)/2 + (n+1)
ce qui implique que
somme k k=0 à n+1 = [n(n+1)x2(n+1)]/2
=(n+1)(n+2)/2


bon je sais pas si t'as tout capté car en première je sais plus si on utilise le symbole sigma pour les sommes!!!
donc dis moi si t'as pas compris

[invitea7fcfc37]

Ici c'est la rubrique où on donne les exercices pour que ceux qui veulent puissent s'entraîner. Je pense (je suis sûr) que anonymus sait le résoudre cet exercice. Si tu as un niveau bien supérieur à celui de l'exercice proposé, merci de ne pas donner de solution complète et rédigée, mais de simplement donner des pistes ou de corriger les propositions des autres élèves. Merci de tenir compte de ça à l'avenir

A+

[invite173729ac]

Autre démonstration : Posons : 1+2+3+4+...+n = S

à partir de (x+1)²=x² + 2x + 1
on a :

1²=(0+1)²=0² + 2x0 + 1
2²=(1+1)²=1² + 2x1 + 1
3²=(2+1)²=2² + 2x2 + 1
4²=(3+1)²=3² + 2x3 + 1
.
.
.
n²=(n-1+1)=(n-1)² + 2(n-1) + 1
(n+1)²=(n+1)²=n² + 2xn + 1
_____________________________
[1²+2²+3²+4²+...+n²]+(n+1)²=[1²+2²+3²+4²+...+n²] + 2x (1+2+3+4+...n) + (n+1)x 1

(n+1)²=2.S + (n+1)

S=(n+1)²-(n+1)/2
= (n+1) (n+1-1)/2
S = n(n+1)/2