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[Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles



  1. #1
    Romain-des-Bois

    [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles


    ------

    Un petit exo rigolo pour réviser pendant les vacances.


    On est dans Mn(C)
    Que peut-on dire de ces deux propositions :

    -A est inversible

    -L'ensemble des matrices semblables à A est un fermé


    Indice :
     Cliquez pour afficher



    Have fun !


    Romain

    -----
    Dernière modification par Gwyddon ; 22/07/2007 à 21h25. Motif: ça y est, il est déplacé :)

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  3. #2
    FonKy-

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    qu'elles traitent des matrices ?

    oulah moi j'ai toujours du mal avec ce genre d'exo, mais je vais essayer de m'y pencher

  4. #3
    Romain-des-Bois

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    qu'elles traitent des matrices ?
    'comprends pas

    EDIT : ca y est j'ai compris !

  5. #4
    Abhorash

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    J'ai essayé vite fait en utilisant : fermé <=> toute suite d'éléments qui converge a sa limite contenue dans l'ensemble considéré, mais je galère un peu ^^
    En fait ça m'arrangerait bien de pouvoir remplacer les matrices de passages par des matrices orthogonales

    Sinon, juste une question (ça remonte un peu, j'ai un doute) : l'application qui à une matrice du groupe linéaire associe son inverse est-elle continue ? Si oui, ça devrait pouvoir se faire
    Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à 20 ans !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Romain-des-Bois

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Je te vois venir, tu voudrais utiliser f-1(fermé)=fermé avec f continue... et bien :
     Cliquez pour afficher


    Il faut utiliser la première caractérisation que tu donnes

  8. #6
    Abhorash

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Bon je viens de re-regarder et quelque chose me dérange, ça ne serait pas diagonalisable ou autre chose à la place d'inversible ? En effet la matrice nulle n'est semblable qu'à elle même, donc l'ensemble est fermé ...
    Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à 20 ans !

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  10. #7
    Romain-des-Bois

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Bien vu !

    J'ai fait une horrible erreur ! C'est effectivement "A est diagonalisable" !!!

    Toutes mes excuses à ceux qui ont cherché !


    Romain

  11. #8
    FonKy-

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Bien vu !

    J'ai fait une horrible erreur ! C'est effectivement "A est diagonalisable" !!!

    Toutes mes excuses à ceux qui ont cherché !


    Romain
    Tu abuse la ! je me disais j'arrivais à rien !

  12. #9
    Ledescat

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    En sortant de sup, je n'ai jamais vu les ensembles fermés et ouverts autre que dans IR,IR² etc...
    A quoi cela correspond précisément ?
    C'est le complémentaire d'un ouvert, alors qu'est-ce qu'un ouvert? Et comment montrer qu'un ensemble est fermé, ouvert etc...?
    A moins que tout ne soit au programme de spé, mais l'exo doit apparemment être faisable en sup d'après le titre...
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    Magnétar

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Bonjour,

    je n'ai jamais vu les ensembles fermés et ouverts autre que dans IR,IR² etc...
    A quoi cela correspond précisément ?
    Oui, moi idem je viens juste de finir ma L1 (bon ok pas en maths) et je n'ai jamais vu ça sauf dans IR et IR².
    Donc même question : à quoi cela correspond ?

  14. #11
    Abhorash

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Dans tout espace métrique la définition d'un ouvert est la même : Un ensemble E pour lequel en chaque point x il existe une boule ouverte de centre x et contenue dans E. Et puis un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert.
    Mais comme on l'a dit plus haut, il est ici plus intéressant d'utiliser des définitions équivalentes pour caractériser un fermé. Parceque sinon il faudrait voir si le complémentaire des matrices semblables à A est ouvert en utilisant une norme matricielle : galère
    Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à 20 ans !

  15. #12
    Ledescat

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Citation Envoyé par Abhorash Voir le message
    Dans tout espace métrique la définition d'un ouvert est la même : Un ensemble E pour lequel en chaque point x il existe une boule ouverte de centre x et contenue dans E. Et puis un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert.
    D'accord merci.

    Mais comme on l'a dit plus haut, il est ici plus intéressant d'utiliser des définitions équivalentes pour caractériser un fermé.
    Oui, lesquelles par exemple ?

    edit: " fermé <=> toute suite d'éléments qui converge a sa limite contenue dans l'ensemble considéré" .

    Parceque sinon il faudrait voir si le complémentaire des matrices semblables à A est ouvert en utilisant une norme matricielle : galère
    Oui je me doute bien .
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    Romain-des-Bois

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Voilà Ledescat, c'est cette définition qu'il faut utiliser...

    il faut montrer que toute suite ayant pour élément des matrices semblables à A a sa limite qui est semblable à A

    Romain

  18. #14
    Ledescat

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles


    fermé <=> toute suite d'éléments qui converge a sa limite contenue dans l'ensemble considéré

    .
    Mais n'est-ce pas la définition de compact (fermé borné) ?

    EDIT: quoique compact, je crois que c'est "de toute suite d'éléments de K, on peut extraire une suite qui cv vers un point de K."
    Dernière modification par Ledescat ; 02/08/2007 à 15h37.
    Cogito ergo sum.

  19. #15
    FonKy-

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    ouaic bien ca la définition d'un compact

  20. #16
    Ledescat

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Merci Fonky .
    Cogito ergo sum.

  21. #17
    n3m3s1s

    Re : [Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

    Je crois que "Compact <-> fermé borné " ça n'est vrai qu'en dimension finie...

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