[Maths] [L1-Prépa] Algèbre, matrices inversibles

[inviteaeeb6d8b]

Un petit exo rigolo pour réviser pendant les vacances.


On est dans M_n(C)
Que peut-on dire de ces deux propositions :

-A est inversible

-L'ensemble des matrices semblables à A est un fermé


Indice :

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Montrer l'équivalence de ces deux propositions

Have fun !


Romain
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[FonKy-]

qu'elles traitent des matrices ?

oulah moi j'ai toujours du mal avec ce genre d'exo, mais je vais essayer de m'y pencher

[inviteaeeb6d8b]

qu'elles traitent des matrices ?

'comprends pas

EDIT : ca y est j'ai compris !

[invitec859637e]

J'ai essayé vite fait en utilisant : fermé <=> toute suite d'éléments qui converge a sa limite contenue dans l'ensemble considéré, mais je galère un peu ^^
En fait ça m'arrangerait bien de pouvoir remplacer les matrices de passages par des matrices orthogonales

Sinon, juste une question (ça remonte un peu, j'ai un doute) : l'application qui à une matrice du groupe linéaire associe son inverse est-elle continue ? Si oui, ça devrait pouvoir se faire

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Je te vois venir, tu voudrais utiliser f^-1(fermé)=fermé avec f continue... et bien :

 Cliquez pour afficher

Ca ne marche pas ici

Il faut utiliser la première caractérisation que tu donnes

[invitec859637e]

Bon je viens de re-regarder et quelque chose me dérange, ça ne serait pas diagonalisable ou autre chose à la place d'inversible ? En effet la matrice nulle n'est semblable qu'à elle même, donc l'ensemble est fermé ...

[inviteaeeb6d8b]

Bien vu !

J'ai fait une horrible erreur ! C'est effectivement "A est diagonalisable" !!!

Toutes mes excuses à ceux qui ont cherché !


Romain

[FonKy-]

Bien vu !

J'ai fait une horrible erreur ! C'est effectivement "A est diagonalisable" !!!

Toutes mes excuses à ceux qui ont cherché !


Romain

Tu abuse la ! je me disais j'arrivais à rien !

[invitec053041c]

En sortant de sup, je n'ai jamais vu les ensembles fermés et ouverts autre que dans IR,IR² etc...
A quoi cela correspond précisément ?
C'est le complémentaire d'un ouvert, alors qu'est-ce qu'un ouvert? Et comment montrer qu'un ensemble est fermé, ouvert etc...?
A moins que tout ne soit au programme de spé, mais l'exo doit apparemment être faisable en sup d'après le titre...

[invite58a61433]

Bonjour,

je n'ai jamais vu les ensembles fermés et ouverts autre que dans IR,IR² etc...
A quoi cela correspond précisément ?

Oui, moi idem je viens juste de finir ma L1 (bon ok pas en maths) et je n'ai jamais vu ça sauf dans IR et IR².
Donc même question : à quoi cela correspond ?

[invitec859637e]

Dans tout espace métrique la définition d'un ouvert est la même : Un ensemble E pour lequel en chaque point x il existe une boule ouverte de centre x et contenue dans E. Et puis un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert.
Mais comme on l'a dit plus haut, il est ici plus intéressant d'utiliser des définitions équivalentes pour caractériser un fermé. Parceque sinon il faudrait voir si le complémentaire des matrices semblables à A est ouvert en utilisant une norme matricielle : galère

[invitec053041c]

Dans tout espace métrique la définition d'un ouvert est la même : Un ensemble E pour lequel en chaque point x il existe une boule ouverte de centre x et contenue dans E. Et puis un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert.

D'accord merci.

Mais comme on l'a dit plus haut, il est ici plus intéressant d'utiliser des définitions équivalentes pour caractériser un fermé.

Oui, lesquelles par exemple ?

edit: " fermé <=> toute suite d'éléments qui converge a sa limite contenue dans l'ensemble considéré" .

Parceque sinon il faudrait voir si le complémentaire des matrices semblables à A est ouvert en utilisant une norme matricielle : galère

Oui je me doute bien .

[inviteaeeb6d8b]

Voilà Ledescat, c'est cette définition qu'il faut utiliser...

il faut montrer que toute suite ayant pour élément des matrices semblables à A a sa limite qui est semblable à A

Romain

[invitec053041c]

fermé <=> toute suite d'éléments qui converge a sa limite contenue dans l'ensemble considéré

.

Mais n'est-ce pas la définition de compact (fermé borné) ?

EDIT: quoique compact, je crois que c'est "de toute suite d'éléments de K, on peut extraire une suite qui cv vers un point de K."

[FonKy-]

ouaic bien ca la définition d'un compact

[invitec053041c]

Merci Fonky .

[invite9f99fedf]

Je crois que "Compact <-> fermé borné " ça n'est vrai qu'en dimension finie...