[Maths] [TS vers Sup ou Sup] Montrons que Q n'est pas fermé (méthode bizarre)

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

un petit exo rigolo pour montrer que n'est pas fermé !

(il y a beaucoup plus naturel, je vous rassure !)


Bon courage !
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[invitefc60305c]

Bonjour. Merci pour l'exo.
J'ai suivi les indices pour élèves de TS, on va quand même pas considérer que j'ai un niveau de maths sup !!!

I)

Supposons p=2k+1 avec k un entier naturel.
p² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k²+k) + 1 donc p² impair.
Par contraposée, p² pair implique p pair.

2^{1/2} = \frac{p}{q}
2 = p²/q²
2q² = p² donc p² pair donc p pair.

On pose p² = 4k²
donc 2 = 4k²/q²
1 = 2k²/q²
q²= 2k² donc q pair.

Une fraction de deux nombres pairs ne peut être irréductible. Donc racine de 2 n'est pas une fraction irréductible.

La suite vient

[invitefc60305c]

II)
1) Par recurrence, on suppose u_n rationnel donc de la forme p/q
u_{n+1} vaut après calcul 1 + 2q/p²
donc u_{n+1} rationnel

[invitec053041c]

(il y a beaucoup plus naturel, je vous rassure !)

Simplement prendre la suite (un) de rationnels qui vaut racine(2) tronqué à n décimales .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

En revanche, tu dois avoir fait une erreur de recopie car (Un) ne tend pas vers la limite attendue.

[Romain-des-Bois]

Simplement prendre la suite (un) de rationnels qui vaut racine(2) tronqué à n décimales .

hé hé hé

En revanche, tu dois avoir fait une erreur de recopie car (Un) ne tend pas vers la limite attendue.

moi ?

attend je vérifie !

effectivement, je me suis planté... ma suite ne tend pas vers racine de 2 !

[Romain-des-Bois]

re-

il faut que je retrouve mon papier où j'avais préparé l'exo... je corrigerai !

Mea culpa !


Romain

[Romain-des-Bois]

Correction importante

La suite est en réalité définie par :



(Comme ça elle tend bien vers ce qu'on veut qu'elle tende)

Je me suis trompé en écrivant mon pdf

Merci à Ledescat pour me l'avoir fait remarquer !



Romain