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[Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage



  1. #1
    kNz

    [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage


    ------

    Salut,

    Encore un exo de colle, pas le mien mais il est sympa quand même

    Enoncé :

    Chercher tous les polygones réguliers avec lesquels on peut paver le plan.


    Cette fois ci je peux donner des pistes

    Ciao

    -----

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  3. #2
    Gaara

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Bonsoir,

    Bon je tente même si j'avoue que mon niveau est encore loiiiiinn de la MPSI

     Cliquez pour afficher



    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  4. #3
    kNz

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Raté

    C'est faisable avec un bagage de terminale, voire première je pense.

    Indice : il y en a 3.

  5. #4
    Gaara

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Euh,

    ^^

     Cliquez pour afficher



    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  6. #5
    kNz

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Non toujours pas
    Essaie de voir ce qu'on doit avoir pour pouvoir paver le plan, intéresse toi aux angles par exemple.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Namsam

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Humm...Je dirais:
     Cliquez pour afficher


    Mais après, va savoir pourquoi... J'ai une petite idée mais ca me semble un peu fastidieux à démontrer...
    "Agis comme si ton action devait être érigée en principe universel"

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  10. #7
    kNz

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Le losange n'a pas ses 4 côtés de même longueur donc il n'est pas régulier, mais sinon ce sont bien ceux là

    Bon maintenant j'aimerais bien une petite démonstration

  11. #8
    Gaara

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    j'avais di

     Cliquez pour afficher


    mais pour démontrer çà je ne vois vraiment pas comment faire



    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  12. #9
    kNz

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Toi tu avais dit pentagone, moi je voulais hexagone

    Pour la démonstration :

    Imagine que tu colles deux polygones réguliers, comment doit être l'angle qui se situe entre les 2 polygones pour que tu puisses en mettre un autre dedans ?
    a_
    /a\_
    \_/a\
    a \_/

    C'est super bien expliqué non ?

  13. #10
    Gaara

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    L'angle doit être égal à l'angle :

    ._
    /a\_
    \_/a\
    a \_/




    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  14. #11
    Ledescat

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Si a est l'angle d'ouverture entre deux côtés du polygôme régulier, alors si on veut en caser au mois un entre deux polygônes, il faut 2Pi-2a>=a, d'où a=<2Pi/3

    Ce qui correspond au triangle, carré et pentagone (au delà,on dépasse un angle de 2Pi/3).

    Cogito ergo sum.

  15. #12
    Ledescat

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Je reprends:

    a=< 2Pi/3 correspond à : triangle isocèle, carré,pentagone,hexagone.

    Cela est une CN, on vérifie que c'est suffusant (car évident) pour le carré, le triangle isocèle, l'hexagone.
    Je regarde désormais ce que le pentagone dit.
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    Ledescat

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Bon, le pentagone ne convient pas. Un dessin est plus parlant qu'un pavé (c'est le cas de le dire ).
    En effet, on peut caser un pentagone entre deux pentagones (heureseument, c'est une CN), mais en le plaçant, l'angle restant est 2Pi-3(3Pi/5)=Pi/5
    (en utilisant le fait que l'angle d'ouverture du pentagone est 3Pi/5)., donc insuffisant.
    Donc les seules possibilités sont les 3 déjà cités.
    Cogito ergo sum.

  18. #14
    kNz

    Re : [Maths] [MPSI] Géométrie du plan : pavage

    Voilà c'est ça.
    Je n'avais pas raisonner en termes d'inégalité pour ma part.

    Pour un polygone régulier de n côtés, on a :

    Somme des angles : ; Angle d'un sommet :

    En "collant" deux polygones réguliers, on doit avoir :

    ie ie n-2 divise 4.

    On obtient n-2 = 4, 2 ou 1 puis n = 6, 4 ou 3.

    La réciproque se fait facilement.

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