[Physique] [L1] 0pérateurs différentiels linéaires et Mécanique

[BioBen]

Salut,
Alors pour ceux qui veulent (je ne suis pas super dispo en ce moment, ca ira mieux ce week-end), quelques révisions et exercices d'entrainement de L1 :

I Outils mathématiques

A/ Montrez les relations suivantes (un peu long//que des maths) :
1. rot(av) = a rot(v) + grad(a)^v
2. div rot(v) = 0
3. div(av)=adiv(v) + grad(av)
4. rot grad(f) = 0

B/ Application à la Physique
1.Trouver le potentiel associé au champ E dirigé selon Ox et dont la valeur algebrique est E=-cx^3 avec c une constante.
2. Soit un champ E de composantes et avec a et b deux constantes. Ce champ dérvie-t-il d'un potentiel ?
3. De l'équation IA/4., que peut-on déduire de l'équation rot E = 0, en sachant que E est le champ electrique.


3. Citez le théorème de Gauss
4. Calculez le champ electrique créé par une sphère de rayon R et de densité volumique de charge

II Mécanique du point

//Je sais pas vraiment ton niveau benjy-star....savoir dérivier les vecteurs de base ok mais niveau exo ).

Tu peux peut-etre étudier le mouvement d'un projectile lancé avec une vitesse intiale Vo et une angle de avec l'horizontale, dans le vide tout d'abord, puis soumis à une force du type -kv

Ensuite tu peux tenter, dans le meme style, l'experience de Milikan :
On pulvérise des goutelettes d'huile de masse volumique dans un gaz de masse volumique situé entre deux plateaux horizontaux, puis on créé un champ uniforme vertical E entre ces plateaux.
On étudie le mouvement des goutelettes.
I : En l'absence de champ electrique, il y a une chute freinée des goutelettes. Le frottement visqueux est du type f=-krv avec r le rayon de la goutellete et v sa vitesse.
*Ecrire l'équation du mvt de la goutelette, montrer qu'il existe une vitesse limite et donner son expression.
II : On créé maintenant le champ electrique entre les plateaux ; lors de la pulverisation, certaines goutelettes s'electrisent et prennent une charge q, le mvt précédent est donc modifé.
*Ecrire la nouvelle équation du mvt de la goutelette. Montrer qu'il existe encore une vitesse limite et donner son expression. Montrer qu'on peut en déduire la valeur de q.

III Mécanique du solide

Je vois pas trop ce que tu veux faire...
Sais-tu comment ce forme la matrice d'inertie ? (comment trouver les moments et produits d'inertie)
Sais-tu ce qu'est un torseur ? Tu connais des théorèmes en méca du solide ? Les formules formules de composition des vitesses, de tranfert de moments,.... ?

Allez moi je vais , une dure semaine arrive !
// J'espere ne pas avoir fait de faute de frappe...//
Benjamin
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[invite8241b23e]

I Outils mathématiques

A/ Montrez les relations suivantes (un peu long//que des maths) :
1. rot(av) = a rot(v) + grad(a)^v

Alors on va commencer gentiment : voilà ce que j'ai écrit :



Ce qui me donne, en supposant que a est une fonction de x, y et z :



Et donc on tombe sur le résultat. Mais ai-je bien développé l'opérateur rot ?

II Mécanique du point

Tu peux peut-etre étudier le mouvement d'un projectile lancé avec une vitesse intiale Vo et une angle de avec l'horizontale, dans le vide tout d'abord, puis soumis à une force du type -kv

Sans force de frottement, c'est du Terminale S, et j'ai pas arrêté de l'enseigner avant le BAC, donc je vais passer (à moins que ce fût plus difficile que ça, ce que tu voulais... )

Pour l'autre, j'utilise la troisième loi de newton :




Sur x :
Sur y :

en combinant les deux équations, j'obtiens :

Est-ce déjà ça, pour commencer ?

III Mécanique du solide

Je vois pas trop ce que tu veux faire...

Alors : non, je ne sais pas comment on forme une matrice d'inertie.
Les moments d'inertie, on les trouve bien par un calcul différentiel, une intégration sur un volume ? Si oui, je sais en retrouver certains, et d'autres non...
Un torseur, je sais vaguement ce que c'est, j'ai vu du cours mais pas d'applications simples !!
Pour les théorèmes, disons que je sais calculer la vitesse d'une sphère qui roule sur un plan incliné grâce au moment d'inertie, et ça va pas bien plus loin...