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Modèle logique des prédicats



  1. #1
    CurryDoux

    Wink Modèle logique des prédicats


    ------

    Bonjour,
    Je me permets de vous solliciter à nouveau pour avoir une confirmation à propos d'un exercice sur les modèles en logique des prédicats.

    L'énoncé est le suivant :
    Soit L = { R² } et ø un énoncé de L : ø = (∀x∃y Rxy ∧ ∀z¬Rzz) Existe t'il des L-structure dont le domaine d'interprétation est fini et qui sont des modèles de ø ? Si oui, donnez un exemple, si non expliquez pourquoi.

    Il me semble que oui et je donnerai l'exemple suivante.
    L = { R² , a, b, c }
    I(R) = { <a, b> ; <b, c> ; <c, a >}

    Pensez vous que ma solution est correcte ou je fais fausse route ?

    Par ailleurs, il y a une deuxième question qui est :
    Soit L = { R² }, ø = (∀x∃y Rxy ∧ ∀z¬Rzz) et ψ = ∀x∀y∀z ((Rxy ∧ Ryz) --> Rxz).
    Montrez qu'il existe des modèles de ø qui sont des modèles de ψ.

    Pour cette question, je donnerai l'exemple :
    L = { R² , a, b, c }
    I(R) = { <a, b> ; <b, c> ; <a, c >}

    Qu'en pensez vous ? Et (par curiosité) pensez vous qu'il existe des modèles de ø qui ne sont pas des modèles de ψ ?

    Merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : Modèle logique des prédicats

    L'énoncé est le suivant :
    Soit L = { R² } et ø un énoncé de L : ø = (∀x∃y Rxy ∧ ∀z¬Rzz) Existe t'il des L-structure dont le domaine d'interprétation est fini et qui sont des modèles de ø ? Si oui, donnez un exemple, si non expliquez pourquoi.

    Il me semble que oui et je donnerai l'exemple suivante.
    L = { R² , a, b, c }
    I(R) = { <a, b> ; <b, c> ; <c, a >}

    Pensez vous que ma solution est correcte ou je fais fausse route ?
    Correct

    Par ailleurs, il y a une deuxième question qui est :
    Soit L = { R² }, ø = (∀x∃y Rxy ∧ ∀z¬Rzz) et ψ = ∀x∀y∀z ((Rxy ∧ Ryz) --> Rxz).
    Montrez qu'il existe des modèles de ø qui sont des modèles de ψ.

    Pour cette question, je donnerai l'exemple :
    L = { R² , a, b, c }
    I(R) = { <a, b> ; <b, c> ; <a, c >}
    Non, car il faut que Rcy pour un y
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    CurryDoux

    Re : Modèle logique des prédicats

    Super merci !

    Ah oui, je n'avais pas fait attention...
    L = { R² , a, b, c }
    I(R) = { <a, b> ; <b, c> ; <a, c > ; <c, b>}
    Cette fois ça doit être mieux je pense, non ?

  5. #4
    Médiat

    Re : Modèle logique des prédicats

    Non car vous avez Rbc et Rcb mais pas Rbb (ni Rcc)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    CurryDoux

    Re : Modèle logique des prédicats

    Mais il me semble que je ne peux pas mettre Rbb et Rcc à cause de ∀z¬Rzz dans ø = (∀x∃y Rxy ∧ ∀z¬Rzz)...

  8. #6
    Médiat

    Re : Modèle logique des prédicats

    Donc il faut trouver autre chose ou démontrer que c'est impossible
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    CurryDoux

    Re : Modèle logique des prédicats

    J'ai l'impression qu'il n'est pas possible de fournir un modèle fini car à chaque fois que je rajoute un élément, celui-ci doit être en relation avec un autre... et si je le mets en relation avec un élément déjà présent, je transgresse ∀z¬Rzz.
    Mais est-il possible de fournir un modèle infini ? Et si oui, comment le note t'on ? je n'ai jamais appris ça...

  11. #8
    Médiat

    Re : Modèle logique des prédicats

    Citation Envoyé par CurryDoux Voir le message
    J'ai l'impression qu'il n'est pas possible de fournir un modèle fini car à chaque fois que je rajoute un élément, celui-ci doit être en relation avec un autre... et si je le mets en relation avec un élément déjà présent, je transgresse ∀z¬Rzz.
    , c'est exactement cela


    Mais est-il possible de fournir un modèle infini ? Et si oui, comment le note t'on ? je n'ai jamais appris ça...
    Oui, un modèle très simple : (IN, <)

    ∀x∃y Rxy : Pas de plus grand élément dans IN pour l'ordre strict usuel
    ∀z¬Rzz : l'ordre strict usuel n'est pas réflexif
    ∀x∀y∀z ((Rxy ∧ Ryz) --> Rxz) : l'ordre strict usuel est transitif
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    CurryDoux

    Re : Modèle logique des prédicats

    Cela me parait tellement évident maintenant que vous l'avez dit... merci beaucoup !

  13. #10
    Médiat

    Re : Modèle logique des prédicats

    Pas de quoi cher HowardDur (private joke pour les logiciens)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    CurryDoux

    Re : Modèle logique des prédicats

    Haha pas mal
    Et juste pour pousser la curiosité jusqu'au bout... Existe t'il une (ou des) relation d'ordre qui ne sont pas transitives ?

  15. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Modèle logique des prédicats

    Bonjour.

    La transitivité fait partie de la définition de "relation d'ordre". Mais on parle aussi "d'ordre strict" pour <.

    Cordialement.

  16. Publicité
  17. #13
    CurryDoux

    Re : Modèle logique des prédicats

    Bonjour,
    Merci pour votre réponse. Je ne savais pas.

    Toutefois j'aimerai savoir par curiosité c'est s'il existe des modèles de ø qui ne sont pas des modèles de ψ.
    Sachant que ma structure est la suivante :
    Soit L = { R² }, ø = (∀x∃y Rxy ∧ ∀z¬Rzz) et ψ = ∀x∀y∀z ((Rxy ∧ Ryz) --> Rxz).

    Cordialement

  18. #14
    Médiat

    Re : Modèle logique des prédicats

    Facile ça :
    I(R) = { <a, b> ; <b, a> }
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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