Et et ou (ou, ou ou et)

[Médiat]

Est-ce que Tn est un axiome ou un schéma d'axiomes ?

T3 est un axiome, Tn est un schéma, c'est à dire un moyen clair de construire les axiomes (ma première réaction a été d'écrire que T est le schéma, mais ce serait entrer dans des subtilités qui n'ont pas lieu d'être ici)
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[Médiat]

Ah ça je ne savais pas. Merci,

Attention, je parlais plus d'analogie que de lien direct

[Deedee81]

Attention, je parlais plus d'analogie que de lien direct

Oui, ok, c'est le "certaines logiques admettent..." que j'ignorais.

[karlp]

T3 est un axiome, Tn est un schéma, c'est à dire un moyen clair de construire les axiomes (ma première réaction a été d'écrire que T est le schéma, mais ce serait entrer dans des subtilités qui n'ont pas lieu d'être ici)

Encore merci.
Je progresse tout doucement dans ma compréhension !

[Médiat]

Je précise, afin d'ajouter un peu de confusion créative :

Si j'ai dans la tête que n est un entier quelconque alors Tn est un axiome, si j'ai en tête que n parcourt les entiers, alors Tn est un schéma, d'où ma formulation non ambigüe : T est le schéma


Même genre de rapport qu'entre f(x) et f pour les fonctions

[karlp]

Tant pis pour Merlin95, je m'y colle :

Bonjour,


Par exemple, soit une théorie (sur un langage égalitaire) qui a, au moins des modèles finis plus grand que n'importe quel entier (relation d'équivalence, relation d'ordre, théorie des groupes ...)




Pour imposer de n'avoir que des modèles finis (sans limite de taille), il faudrait utiliser une disjonction, et on ne sait pas faire.

Il me reste encore deux points à "digérer"/comprendre.

Le premier point concerne ces modèles finis plus grand que tout entier: sauf erreur, cette idée est loin d'être intuitive. Est-ce qu'elle suggère que le cardinal des éléments de ces modèles serait plus grand que tout entier mais plus petit que le plus petit infini actuel ?

Le deuxième : en quoi la disjonction est-elle nécessaire pour n'avoir que des modèles finis ? (si l'explication est trop longue ou trop pénible, pouvez vous me dire où la trouver ?)

Mes plus vifs remerciements !

[karlp]

Je précise, afin d'ajouter un peu de confusion créative :

Si j'ai dans la tête que n est un entier quelconque alors Tn est un axiome, si j'ai en tête que n parcourt les entiers, alors Tn est un schéma, d'où ma formulation non ambigüe : T est le schéma


Même genre de rapport qu'entre f(x) et f pour les fonctions

Hourra !! c'est très exactement ce que j'avais compris !

[Médiat]

Est-ce qu'elle suggère que le cardinal des éléments de ces modèles serait plus grand que tout entier mais plus petit que le plus petit infini actuel ?

Pas du tout , cela veut dire que pour tout entier n il existe un modèle fini au moins de taille n (il n'y en a pas forcément dans toutes les tailles, mais il n'y a pas de borne à la taille)

Le deuxième : en quoi la disjonction est-elle nécessaire pour n'avoir que des modèles finis ? (si l'explication est trop longue ou trop pénible, pouvez vous me dire où la trouver ?)

Dire qu'un modèle est fini, c'est dire qu'il est de taille au plus 2, ou de taille au plus 3, ou ...

[karlp]

Pas du tout , cela veut dire que pour tout entier n il existe un modèle fini au moins de taille n (il n'y en a pas forcément dans toutes les tailles, mais il n'y a pas de borne à la taille)



Dire qu'un modèle est fini, c'est dire qu'il est de taille au plus 2, ou de taille au plus 3, ou ...

Je crois que je suis allé chercher des difficultés là où il n'y en avait pas

Je vais pouvoir reprendre l'ensemble de votre explication avec toutes les "armes" en main : encore tous mes remerciements !!

[Médiat]

Je crois que je suis allé chercher des difficultés là où il n'y en avait pas

C'est l'un des deux obstacles à vaincre dans l'étude de la logique (et très certainement d'autres sciences) l'autre, bien pire, est de croire simple quelque chose qui ne l'est pas.

[Verdurin]

Merci Médiat.
La réponse est vraiment intéressante.

[invite84127968]

Il est donc facile d'imposer à une théorie (sous certaines conditions) de n'avoir que des modèles infinis

Pour imposer de n'avoir que des modèles finis (sans limite de taille), il faudrait utiliser une disjonction, et on ne sait pas faire.
La différence entre conjonction et disjontion est donc, au moins, aussi fondamentale qu'entre fini et infini.

Qu'est-ce que cela dit de notre façon de raisonner, je n'en sait rien, je suis sûr que karlp aura plus de réponses que moi, si le sujet l'intéresse.

Si cela intéresse certains, je pourrais donner un autre exemple plus historique et légèrement différent de la notion d'axiomatisation, et qui ouvre des portes vers des choses plus compliquées (comme la stabilité) [/SPOILER]

Bonjour,

@Mediat en réponse à sa réponse sur ma question "HS"

 Cliquez pour afficher

c'est vrai, je savais que c’était du nawak.. et pourtant certaines choses sont tellement surprenantes que l'on demande aux autres s'ils voient bien la même chose, histoire d'écarter l'hypothèse de son soi défaillant

surligné en gras: "on ne sais pas faire" le verbe utilisé n'est pas "pouvoir" traduit-il une éventualité?
"Si cela intéresse certains, je pourrais donner un autre exemple plus historique" Je suis intéressé à l'avance d'une telle lecture.

Je vais avoir 3 semaines de vacances et de quoi poser mon esprit dans tout cela: c'est le bon moment !

Merci en tout cas de ces posts.. il construisent l'esprit, par petits bouts mais avec sureté.

[Médiat]

surligné en gras: "on ne sais pas faire" le verbe utilisé n'est pas "pouvoir" traduit-il une éventualité?

Il faut demander à un belge comme Deedee81

[invite84127968]

Il faut demander à un belge comme Deedee81

Cela m'a traversé l'esprit aussi au moment de formuler cette demande de précision

La réponse ouvre des horizons non plats, en ce moment j'ai peu d’énergie disponible pour ce genre de sommets mais n'hésitez pas emmenez nous là-haut car il est règne une température plus à même qu'en plus de ressentir sa nature physique (la convergence vers une stabilité) nous auront la chance de comprendre cette nécessaire stabilité..
Verrons nous un univers modale ? En tout cas je pense que cela peut-être une expédition à couper le souffle..

[Médiat]

Verrons nous un univers modale ?

Non, d'une part parce qu'il y a trop de logiques modales et d'autre part parce que ce n'est pas ma spécialité

[invite84127968]

Correctif (désolé du phrasé trop long + erreurs de construction):

Cela m'a traversé l'esprit aussi au moment de formuler cette demande de précision

La réponse ouvre des horizons non plats et en ce moment, même si j'ai peu d’énergie disponible pour ce genre de sommets, n'hésitez pas et emmenez nous là-haut car il y règne, de ce que je comprends que vous suggérez, une température, plus à même, qu'en plus de nous faire ressentir sa nature physique (la convergence vers une stabilité) soit apte à nous suggérer la chance de comprendre cette nécessaire stabilité pour expliquer ce ressenti.
Verrons nous un univers modale ? En tout cas je pense que cela va être une expédition à couper le souffle..

En espérant avoir bien construit ma phrase cette fois..
Cordialement, L.K

[Superbenji]

Bonsoir, Ah, c'est passionnant tout ça.
Ce qui ressort de ce fil et du précédent "Petite récréation 2 ", du moins de ce que je pense en comprendre (sans dire de bêtises j'espère), est qu'en logique du premier ordre on ne peut en quelque sorte pas "capturer" le concept de fini. Comme Médiat nous l'as montré, on peut construire une théorie de telle manière qu'elle n'ai que des modèles finis de taille au plus n, pour n un entier naturel choisi. On peut de même construire une théorie ne possédant que des modèles infinis. Par contre, on ne peut pas définir une théorie n'ayant que des modèles finis (sans limite de taille).

Je ne saurais dire si c'est plus moins directement relié aux explications de Médiat données ici, mais dans ma façon de voir les choses, il m'apparais que c'est lié au fait que le concept de cardinal, de dénombrable, finitude, ne sont pas des concepts "absolu", mais dépendent d'un modèle dans lequel on se place. Par exemple, dans un modèle non-standard de l'arithmétique, il existe des entiers supérieurs à tout les entiers usuels (dit standards) 0, 1, 2, ... , mais qui sont pourtant bien des entiers et finis (du point de vue du modèle). Autre exemple, si M est un modèle dénombrable de ZFC, celui ci bien que dénombrable contient des cardinaux infinis différents (au point de vue de ce modèle, toujours).

Encore une fois je ne sais pas si on peut faire un lien direct avec ce qui a été dit, ou si plus c'est une mauvaise façon de voir les choses, en tout cas le fil est vraiment enrichissant.

[invite84127968]

Non, d'une part parce qu'il y a trop de logiques modales et d'autre part parce que ce n'est pas ma spécialité

Désolé, j'ai reconstruit ma phrase sans lecture de votre réponse (je dois me reconnecter après un temps court d’inactivité sur ces forums, c'est une gène car il n'y a pas d'avertissement de l'arrivée d'un nouveau message entre deux interventions) j'espère que la deuxième version est plus explicite. Je suis d'autant plus curieux de connaître la vue la haut dans cette atmosphère déjà plus claire...

[Médiat]

Ce qui ressort de ce fil et du précédent "Petite récréation 2 ", du moins de ce que je pense en comprendre (sans dire de bêtises j'espère), est qu'en logique du premier ordre on ne peut en quelque sorte pas "capturer" le concept de fini. Comme Médiat nous l'as montré, on peut construire une théorie de telle manière qu'elle n'ai que des modèles finis de taille au plus n, pour n un entier naturel choisi. On peut de même construire une théorie ne possédant que des modèles infinis. Par contre, on ne peut pas définir une théorie n'ayant que des modèles finis (sans limite de taille).

Exact.

Je ne saurais dire si c'est plus moins directement relié aux explications de Médiat données ici, mais dans ma façon de voir les choses, il m'apparais que c'est lié au fait que le concept de cardinal, de dénombrable, finitude, ne sont pas des concepts "absolu", mais dépendent d'un modèle dans lequel on se place. Par exemple, dans un modèle non-standard de l'arithmétique, il existe des entiers supérieurs à tout les entiers usuels (dit standards) 0, 1, 2, ... , mais qui sont pourtant bien des entiers et finis (du point de vue du modèle). Autre exemple, si M est un modèle dénombrable de ZFC, celui ci bien que dénombrable contient des cardinaux infinis différents (au point de vue de ce modèle, toujours).

Dans ZFC, la notion de dénombrable (et de fini) sont des absolus, c'est après que cela commence à diverger.

Pour les entiers non standard, ce ne sont pas des ordinaux, donc cela ne veut pas dire grand chose de les qualifier de "fini", par contre, c'est autour de ce sujet que je compte donner un autre exemple.

Le paradoxe de Skolem est toujours fascinant, mais justement le du modèle dénombrable est le "même" que les autres (pas facile de définir "même" ici)

[Superbenji]

Dans ZFC, la notion de dénombrable (et de fini) sont des absolus, c'est après que cela commence à diverger.
Pour les entiers non standard, ce ne sont pas des ordinaux, donc cela ne veut pas dire grand chose de les qualifier de "fini", par contre, c'est autour de ce sujet que je compte donner un autre exemple.
Le paradoxe de Skolem est toujours fascinant, mais justement le du modèle dénombrable est le "même" que les autres (pas facile de définir "même" ici)

Dans quel sens sont ils absolus ? Comment cela se définit t-il ? Ah là je suis impatient de voir les prochains exemples.

[Médiat]

Je vous avoue que je n'avais pas revérifié, mon souvenir est un article de Woodin sur la -logique, mais en jetant un oeil sur le Kunen, il ne parle d'absolu qu'entre modèles transitifs (c'est clairement plus facile, et ma mémoire me fait sans doute défaut), et dans ce cas on a bien qui est absolu, en tout état de cause, cela nous éloigne du sujet

[Superbenji]

Effectivement,
Et mon intervention (ainsi que ce qui passe dans ma p'tite tête ) est en fait influencée par des lectures sur ces questions ci, enfin... en tout cas pour le peu que j'avais pu en saisir à mon niveau.
Comme quoi, la logique ça touche vraiment à des choses complexe, et profonde. Mais bon, oui, ça nous éloigne un peu trop.

[karlp]

Comme Médiat nous l'as montré, on peut construire une théorie de telle manière qu'elle n'ai que des modèles finis de taille au plus n, pour n un entier naturel choisi. On peut de même construire une théorie ne possédant que des modèles infinis. Par contre, on ne peut pas définir une théorie n'ayant que des modèles finis (sans limite de taille).
.

Votre formulation me permet de vérifier ma compréhension .

Je me demandais s'il s'agissait d'une impossibilité définitive.
Si vous me permettez de "délirer", je souhaiterais poser la question suivante: pourrait-on inventer un nouveau connecteur qui rendrait cette définition possible ?

(Dans le cercle de fous auquel j'appartiens, nous utilisons un "(pseudo-)connecteur" ("P Vel Q"), dont la valeur de vérité serait "vrai" si P est faux (quelle que soit la valeur de Q) et "faux" si P est vrai (quelle que soit la valeur de Q))

[Médiat]

Tres cher karlp,

Tous les connecteurs binaires, dont les valeurs de vérité ne dépendent que des valeurs de vérité des 2 opérandes peuvent s'exprimer avec la barre de Sheffer (ou grâce à et , ou et ), donc pas d'espoir de ce côté, par contre avec un nouveau quantificateur dont la sémantique serait "Il existe une infinité"(*), ce serait facile ; mais ce ne serait plus la logique classique du premier ordre, et il faudrait redémontrer tous les théorèmes importants (Lowenheim Skolem ne marcherait plus)

Votre (P Vel Q) ressemble beaucoup à non P il me semble

(*) on peut envisager des variantes ...

[karlp]

Tres cher karlp,

Tous les connecteurs binaires, dont les valeurs de vérité ne dépendent que des valeurs de vérité des 2 opérandes peuvent s'exprimer avec la barre de Sheffer (ou grâce à et , ou et ), donc pas d'espoir de ce côté, par contre avec un nouveau quantificateur dont la sémantique serait "Il existe une infinité"(*), ce serait facile ; mais ce ne serait plus la logique classique du premier ordre, et il faudrait redémontrer tous les théorèmes importants (Lowenheim Skolem ne marcherait plus)

Votre (P Vel Q) ressemble beaucoup à non P il me semble

(*) on peut envisager des variantes ...

Votre réponse, très cher Médiat, ne me surprend malheureusement pas - Mais je conservais un fol espoir (entretenu par mon ignorance en la matière)

(Le "Vel", qui n'est qu'un pseudo-connecteur, est obligatoirement binaire et n'est pas commutatif. Comme exemple : "la bourse ou la vie"- il s'agit d'une pseudo formalisation du "choix forcé")

[karlp]

Tres cher karlp,

par contre avec un nouveau quantificateur dont la sémantique serait "Il existe une infinité"(*), ce serait facile ; mais ce ne serait plus la logique classique du premier ordre, et il faudrait redémontrer tous les théorèmes importants (Lowenheim Skolem ne marcherait plus)

(*) on peut envisager des variantes ...

Est-ce que parmi ces variantes on pourrait considérer le quantificateur existentiel envisagé (sauf erreur) par Peirce : "quelque(s) mais pas tous"?

[Médiat]

Est-ce que parmi ces variantes on pourrait considérer le quantificateur existentiel envisagé (sauf erreur) par Peirce : "quelque(s) mais pas tous"?

Il me semble que "quelque(s) mais pas tous" peut s'écrire

Je pensais à un quantificateur "presque tous" : le cardinal des éléments qui ne vérifient pas la formule est strictement plus petit que le cardinal du modèle, le cardinal des éléments qui vérifient la formule est égal au cardinal du modèle
ou un quantificateur "vraiment beaucoup" : le cardinal des éléments qui vérifient la formule est égal au cardinal du modèle
...

[Médiat]

On travaillera dans l'Arithmétique de Peano du premier ordre (noté AP)

On définit un nouveau symbole de prédicat (qui ne change rien puisque définissable) ( divise ).

Par la suite représentera les nombres premiers de .

Soit , nous utiliserons une enumération de , soit un entier, et la formule :




Il s'agit bien d'une formule du langage qui ne comporte qu'un nombre fini de , on peut aussi remarquer que le produit des premiers nombres premiers de vérifie cette formule.

Soit

est un ensemble de formules à une variable libre appelé type (plus précisément un 1-type); un modèle réalise un type s'il possède un élément qui vérifie toutes les formules de ce type (c'est à dire la conjonction)

Soit la théorie , par compacité la théorie est consistante (si Peano l'est) et donc possède au moins un modèle.

A noter que si , cela veut dire qu'il existe un modèle de Peano qui contient un élément divisible par tous les nombres premiers, ce qui est clairement "non-standard".


Or il existe ensembles de nombres premiers, et chaque modèle dénombrable ne peut réaliser que ensembles de formules de type , il faut donc qu'il existe au moins modèles dénombrables non isomorphes (donc exactement ).

[Superbenji]

Bonjour,
Génial. J'ai plusieurs fois rencontré la notion de type, mais sans réussir à comprendre intuitivement ce que c'est. Cet exemple m'éclaire d'un coup.

[Médiat]

Bonjour,

J'en suis ravi ; à la lecture des réactions j'avais déjà le sentiment que ce fil n'étais pas inutile, maintenant je sais qu'il est utile.

Merci de l'avoir écrit