Petite récréation 2

[Médiat]

Bonjour,

Le but de ce fil est de montrer comment on peut (ou pas) manipuler les infinis en logique classique du premier ordre.

Etape 1 (facile) : Ecrire les axiomes d'une théorie dans le langage égalitaire constitué d'une relation binaire () qui soit une relation d'équivalence ayant exactement deux classes
-----

[invite23cdddab]

Proposition :

 Cliquez pour afficher

1)
2)
3)
4)

[Médiat]

Bonjour,

Oui, c'est la (une) bonne réponse

C'est une théorie sans grand intérêt, elle n'est ni complète, ni catégorique (dans le cas fini, à part 2 exceptions, il y a toujours plusieurs modèles non isomorphes, bien sûr, elle est finiment axiomatisable.

Il est facile d'envisager des théories ayant 1, 3, 4, n classes (pour n entier naturel)

Etape 2 : Ecrire les axiomes dans le cas de n classes (théorie notée )
Etape 2bis : Ecrire les axiomes pour avoir un nombre fini de classes




PS, personnellement, je préfère écrire , mais c'est une question de gout.

[invite23cdddab]

C'est pas une question de gout, c'est une question de flemme

Sinon, pour l'étape 2 :

 Cliquez pour afficher

On garde les axiomes 1 à 3, et l'axiome 4 devient

Pour l'étape 2bis :

 Cliquez pour afficher

Je ne vois pas. C'est beaucoup plus facile d'axiomatiser une théorie avec une infinité de classe. Il suffit en effet d'ajouter les axiomes "non An" pour tout n.

Du coup, connaissant Médiat, il est plausible que ce ne soit pas possible

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Pour l'étape 2, je pense que vous avez fait quelques fautes de frappes, je comprends ce que vous voulez dire mais ce n'est pas ce que vous avez écrit.

Etape 2bis: vous avez touché du doigt un point important

[invite23cdddab]

Effectivement !

 Cliquez pour afficher

Avec l'écriture précédente, on avait la possibilité d'avoir moins de n classes

Du coup, correction :

[Médiat]

Bonjour,

C'est parfait, peut-être plus lisible sous la forme (je ne dis cela qu'à l'intention des gens non habitués), on remarquera qu'il n'est pas utile de préciser que les sont tous différents

 Cliquez pour afficher

Il y aurait des petits reproches à faire, mais c'est largement acceptable.

J'en profite pour dire que j'ai sauté au plafond en lisant , expression qui n'a aucun sens ; si certains ne voient pas pourquoi, je pourrai élaborer.

Je laisse un peu de temps à l'étape 2bis

[Médiat]

Bonjour,

Je donne la réponse complète pour l'étape 2bis

Il est impossible d'axiomatiser la théorie des relations d'équivalence avec un nombre fini de classes :

Démonstration : Soit une telle théorie si elle existe, soit l'axiome qui exprime qu'il y a au moins classes



La théorie est consistante (si l'est) par compacité (si est le plus grand apparaissant dans une partie finie, alors un ensemble de cardinal m, muni de l'égalité en est un modèle).

Il est clair que les modèles (qui existent grâce au théorème de complétude de Gödel) de ont une infinité de classes tout en étant modèle de la théorie des relations d'équivalence avec un nombre fini de classes



Je vais m'arréter là, devant l'échec de ce fil.

[Deedee81]

Salut,

Je vais m'arréter là, devant l'échec de ce fil.

Je pense un peu trop pointu (donc très ciblé sur les compétences).
Je l'ai suivi (et l'autre) depuis le début mais en m'arrachant les cheveux. Et je ne voulais pas t'embêter en posant des questions (et perturber la raison de ce fil).
Mais puisqu'il s'arrête, deux questions.

D'abord la question de la mort qui tue, ça veut dire quoi "classe" ???
(heureusement en restant purement syntaxique j'arrive à comprendre l'essentiel)

Heu, changé d'avis, j'ai compris pour ma deuxième question (je voulais savoir pourquoi du disais "il est clair que les modèles [...] ont une infinité de classes [...]"... mais en relisant et en me rappelant le théorème de complétude j'ai compris, oui, c'est clair. Mais ça m'a quand même rappelé la bonne vieille blague du prof qui couvre un tableau de calculs hautement complexes et dit à la fin, "c'était donc trivial" ).

[Deedee81]

"c'était donc trivial" ).

Dans certaines de mes vidéos il m'est arrivé de présenter des trucs compliqués (physique théorique) et à la fin de me surprendre à dire "ce n'était donc pas très difficile".
Et de penser "mer... j'aurais pas dû dire ça"

[Médiat]

Bonjour,

Je pense un peu trop pointu

Alors je me suis complètement planté, je voulais partir de choses simples (comme les relations d'équivalence) et de faire progresser le fil en complexité (étape 2bis par exemple (alors l'étape 143 ter, je te raconte pas))

D'abord la question de la mort qui tue, ça veut dire quoi "classe" ???

Dans ce contexte, classes désigne simplement les classes d'équivalence, c'est à dire les ensembles d'éléments en relation les uns avec les autres et forment une partition

[Deedee81]

(alors l'étape 143 ter, je te raconte pas))

Dans ce contexte, classes désigne simplement les classes d'équivalence, c'est à dire les ensembles d'éléments en relation les uns avec les autres et forment une partition

Ah oui, biesse que je suis. C'est évident. Sais pas pourquoi mais j'avais en tête "classe v.s. ensemble" et je ne comprenais pas ce que ça venait faire là

Merci,

[invite23cdddab]

Alors je me suis complètement planté, je voulais partir de choses simples (comme les relations d'équivalence) et de faire progresser le fil en complexité (étape 2bis par exemple (alors l'étape 143 ter, je te raconte pas))

C'est à dire que si dès le 2-bis, il faut connaitre le théorème de compacité, ça restreint un peu le public

[Médiat]

C'est à dire que si dès le 2-bis, il faut connaitre le théorème de compacité, ça restreint un peu le public

L'idée était là : faire connaître des théorèmes importants (et pourtant simples ici). J'avoue avoir abandonné l'idée de donner plus d'explications, vu l'absence de succès (on dit aussi échec) de ce fil

D'ailleurs, le 2bis donne pratiquement une démonstration du théorème de Löwenheim-Skolem ascendant

[invite51d17075]

C'est à dire que si dès le 2-bis, il faut connaitre le théorème de compacité, ça restreint un peu le public

même avant, il s'agit quand même d'éviter de raconter n'importe quoi.
bref, pas un fil "grand public", mais ce n'est pas pour cela qu'il n'est pas lu.

[Médiat]

C'est vrai qu'un niveau de raisonnement minimum est requis !

Aγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

[invite51d17075]

C'est vrai qu'un niveau de raisonnement minimum est requis !

Oui, en sus de réveiller certains concepts que beaucoup n'ont plus vu depuis très longtemps.
( Si je prend cette remarque comme non ironique )

[invite51d17075]

( Si je prend cette remarque comme non ironique )

pourquoi cette citation de Platon ?

[invite7b7f1ad0]

pourquoi cette citation de Platon ?

Bonjour,

A mon sens, je comprends qu'il faut apprendre les bases pour ne pas tout mélanger. Le raisonnement peut exister mais son expression ne peut pas être partagée si on ne parle pas le même langage..
C'est un peu désespérant quelque part car les mathématiciens et logiciens ont plein de choses à dire mais ne peuvent pas le dire n'importe comment: donc il faut soi même faire l'effort de comprendre pourquoi et comment cela ne peut être n'importe comment: le truc c'est que l'on a de moins en moins de temps dans la vie adulte pour le travail personnel alors que c'est dans cette maturité que l'on pourrait apprécier pleinement ce qui est partagé ici .

[Deedee81]

Salut,

Le nombre de réactions montre qu'on était nombreux à suivre mais aussi nombreux à être capable de prendre la parole

C'est un peu désespérant quelque part car les mathématiciens et logiciens ont plein de choses à dire mais ne peuvent pas le dire n'importe comment: donc il faut soi même faire l'effort de comprendre pourquoi et comment cela ne peut être n'importe comment: le truc c'est que l'on a de moins en moins de temps dans la vie adulte pour le travail personnel alors que c'est dans cette maturité que l'on pourrait apprécier pleinement ce qui est partagé ici .

Ceci dit, quand on voit :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...compacit%C3%A9
(et les liens auquel cela renvoie, comme satisfaisabilité..... tiens marrant la logique temporelle, je ne connaissais pas, j'en connais un qui aimerait ça mais je vais surtout pas citer son pseudo )

On se rend compte en effet que tout ça est loin d'être simple. Mais je rassure Médiat : ce fil a donné l'eau à la bouche à certains d'entre-nous. Objectif atteint Et personnellement je n'ai que quelques bases en logique formelle (formulation syntaxique, grands lignes, l'axiomatique de la théorie des ensembles, un peu de la théorie de la démonstration aussi, méthodes de raisonnements induction, déduction, abduction, etc...) mais ce fil m'a donné envie d'approfondir un peu ces connaissances. Dans certaines mesures du moins (je m'étais attaqué un jour au logiques modales.... pour les besoins en physique, certaines interprétations de la mécanique quantique, et je dois bien avouer que j'ai eut trop de mal).

[Superbenji]

Bonjour,
Je suivais également cette discussion. J'avoue que ce n'est qu'hier en relisant depuis le début suite aux derniers messages que je me suis dit "Ah mais ouiii, c'était ça. ".
Ce n'est pas un échec, le problème est que ce sont des choses qui ne sont pas simple à vulgariser. Je connaissais déjà le théorème de compacité, qui en soi n'est pas très compliqué comme d'autre concept mathématique. Mais ça dépend beaucoup du mode de fonctionnement intellectuel que l'on a. Face à une proposition, un axiome, une démonstration, est ce qu'on comprend tout de suite au moment de la lecture, ou bien, (comme moi) il faut souvent traduire dans sa petite tête pour voir ce que ça veut dire. Et sur ce cas, j'ai souvent eu l'impression que la manière dont les choses sont présentées joue énormément. Ça m'est arrivé plusieurs fois de piger un truc comme ça, pouf, que j'essayais de comprendre depuis parfois longtemps, ou de mieux saisir un concept simplement par ce que je tombais au gré de mes recherches sur des éléments qui correspondent mieux à ma manière d'appréhender les choses.
Bref, ce fil me donne envie aussi de m'y replonger. ^^

[Médiat]

Bonjour,

A mon sens, je comprends qu'il faut apprendre les bases pour ne pas tout mélanger. Le raisonnement peut exister mais son expression ne peut pas être partagée si on ne parle pas le même langage..
C'est un peu désespérant quelque part car les mathématiciens et logiciens ont plein de choses à dire mais ne peuvent pas le dire n'importe comment: donc il faut soi même faire l'effort de comprendre pourquoi et comment cela ne peut être n'importe comment: le truc c'est que l'on a de moins en moins de temps dans la vie adulte pour le travail personnel alors que c'est dans cette maturité que l'on pourrait apprécier pleinement ce qui est partagé ici .

Cela fait plaisir de voir qu'il y a des gens qui comprennent la démarche et n'ont pas peur d'une relation d'équivalence (Terminale de mon temps, peut-être L1 aujourd'hui)

[Deedee81]

Mais ça dépend beaucoup du mode de fonctionnement intellectuel que l'on a

+1

Personnellement j'ai une attitude de physicien théoricien (de passion ). Et donc les maths ne me font pas peur mais j'en ai aussi une approche, disons, parfois un peu brouillonne. Les fameux "bon, disons que tout se passe bien, on vérifie pas les conditions de validité, et hop on continue".

Et donc ça peut me jouer des tours dans certains domaines mathématiques. Mais comme j'aime bien la rigueur au sens noble, il est clair que ça m'incite à creuser.