Petite récréation.

[Médiat]

Bonjour,

Soit le langage constitué d'un symbole de relation binaire, et soit la théorie égalitaire dont les axiomes sont :

1)
2)
3)


Pouvez-vous décrire des modèles, tous les modèles de cette théorie ?

Et si on ajoute :
4)
5)







PS Merci Echo30540 et Richard31
-----

[Médiat]

ooups

J'ai oublié l'axiome

0)

Sans celui là, il y a trop de possibilités

[Médiat]

Je propose un modèle très simple : l'univers est un singleton et

[amineyasmine]

bonjour

le modèle :
Les surfaces des triangles formés par 3 étoiles de l’univers.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Verdurin]

Bonjour.

Pour les premiers axiomes ( de 0 à 3 ) je propose une famille de modèles : n'importe quelle partie de Z muni de l'ordre strict usuel.
Il en manque beaucoup car n'importe quel ensemble muni d'un bon ordre est aussi un modèle.

Du moins si je ne me suis pas trompé en lisant les axiomes.

[invite7b7f1ad0]

Bonjour,

Je vais juste proposer ma lecture pour valider ma capacité de compréhension et avancer doucement:

 Cliquez pour afficher

Le 0)

Le 1)

Le 3) implique déjà pour moi l'utilisation d'une feuille et d'un stylo mais commence à me parler..

[invite7b7f1ad0]

Et le 2 (oublié dans mon précédent message):

 Cliquez pour afficher

2)

[Médiat]

Bonjour,

Pour les premiers axiomes ( de 0 à 3 ) je propose une famille de modèles : n'importe quelle partie de Z muni de l'ordre strict usuel.

Oui, on peut préciser, toute partie finie donne un modèle isomorphe à [0, n] (on peut se demander si le vide est un modèle (certains auteurs considère qu'un "modèle" doit être non vide), pour les parties infinies, elles sont isomorphes à , ou à chaque fois muni de l'ordre usuel. (il est facile de voir quels axiomes sont respectés)

Il en manque beaucoup car n'importe quel ensemble muni d'un bon ordre est aussi un modèle.

Oui, comme on s'intéresse aux modèles "à isomorphisme près", on peut dire : les ordinaux pour les axiomes 0 à 4, et les ordinaux successeurs pour 0 à 5

Mais il y en a d'autres



A partir de maintenant on ne s'intéressera qu'aux modèles dénombrables

[Médiat]

Je vais juste proposer ma lecture pour valider ma capacité de compréhension et avancer doucement:

Non validé

[invite7b7f1ad0]

Non validé

Merci,
Les trois ? (0,1,2)

[Médiat]

Au mieux vos conclusions sont sans intérêt et n'ont pas besoin des axiomes que vous utilisez (x = x, par exemple)
Vous utilisez des symboles qui n'existent pas dans la théorie (>)
Vous utilisez des formules qui n'ont pas de sens (x != y != z)

[invite7b7f1ad0]

Au mieux vos conclusions sont sans intérêt et n'ont pas besoin des axiomes que vous utilisez (x = x, par exemple)
Vous utilisez des symboles qui n'existent pas dans la théorie (>)
Vous utilisez des formules qui n'ont pas de sens (x != y != z)

Je crois qu'il est plus sage que je me contente de lire, si je comprends un peu c'est la "combinaison" des axiomes qui permet de construire les modèles. Un poil plus exotique; une théorie ne génère pas son propre langage ?

[Médiat]

une théorie ne génère pas son propre langage ?

Non, lisez un livre de logique

[Verdurin]

Finalement je ne trouve comme modèle pour les axiomes de 0 à 3 que
-- les ordinaux
-- les ordinaux précédés d'une copie de Z^-.

[Médiat]

Vous voulez dire où est un ordinal dénombrable (*) et est une union disjointe et tous les éléments du terme de gauche sont à tous les éléments du terme de droite ?

Si oui, il en reste pas mal

(*) Pour ne pas compliquer trop

[Verdurin]

Oui en prenant plutôt .

Je vais chercher encore.

Juste une question :
en prenant en plus l'axiome 4 est-ce que les seuls modèles sont les ordinaux ?
Il me semble que oui, car j'ai traduit l'axiome 3 par tout élément non maximal a un unique successeur.
En rajoutant un élément minimal on a donc un bon ordre.

Mais je devrais peut-être aller relire les définitions. . .

[Médiat]

Oui en prenant plutôt .

Bon point de départ, j'utiliserais la notation , plutôt que

en prenant en plus l'axiome 4 est-ce que les seuls modèles sont les ordinaux ?

Non, Que pensez-vous de

[Verdurin]

Je viens de voir un autre modèle
muni de l'ordre lexicographique.

Effectivement ça va faire beaucoup de modèle possibles.

Je viens de voir ton message, merci pour la réponse.

[Verdurin]

Finalement je ne sais pas vraiment ce que tu ( je me permettrais de vous tutoyer ) entends par .
Je pose que est l'union disjointe d'une copie de l'ensemble A et d'une copie de l'ensemble B chacun d'eux muni d'une relation d'ordre et
Cette opération n'est pas commutative.

Pour donner un exemple j'écris
muni de l'ordre lexicographique

Il me semble évident que l'on peut définir, étant un ordinal,

muni de l’ordre lexicographique.

On peut aussi définir de la même façon


Il me semble clair que si alors

et

sont des modèles.

On peut bien sur ajouter à la fin un ordinal fini ou un ordinal limite.

Mais j'ai l’impression très nette qu'il y en a d'autres.

[Médiat]

Finalement je ne sais pas vraiment ce que tu ( je me permettrais de vous tutoyer ) entends par .

Ce que je note c'est (ou muni de usuel comme ), ou encore quelque chose comme: … 3, 2, 1, 0, et donc c'est 0, 1, 2, … … 2', 1', 0'

Je ne réponds qu'à cela ce soir (on est d'accord sur la définition de )

[Médiat]

Bonjour,

Ci-dessous, je note par des ordinaux dénombrables (non finis, à une exception près, cf. infra).

désigne l'ordinal "à l'envers", c'est à dire que le de la théorie est le de l'ordinal

, où (de la théorie) est l'ordre lexicographique ( est l'union disjointe de et et tous les éléments de sont à tous les éléments de )

On peut noter quelques propriétés :













On peut donc se passer des

Je propose comme modèles :



1) Le premier peut être fini (y compris )

2) le dernier peut être fini (y compris )

Remarque : cette écriture n'est pas unique :

Si on veut prendre en compte l'axiome 4, il suffit d'imposer que le premier ne soit pas

Si on veut prendre en compte l'axiome 5, il suffit d'imposer que le dernier ne soit pas

On peut donner une description telle que la décomposition soit unique (me semble-t-il) en utilisant que des ordinaux limites et les

A partir de là, une question intéressante : quel(s) axiome(s) ajouter pour restreindre les modèles de façon significative (je n'ai pas de "bonne" réponse ici, à chacun d'imaginer)

[amineyasmine]

bonjour

Ça devient compliquer à lire.
Et si on écrit les axiomes en langage courant, je fais un essai :

 Cliquez pour afficher

Axiome 0 : 2 objets quelconques sont nécessairement comparables, la relation est nécessairement vérifiable.
Axiome 1 : je ne le comprends pas, surtout lorsque je remplace « y » par « x » dans l’axiome 0, je suppose que cela veut dire que « x » n’est pas en relation avec « x » il n’est pas comparable à lui-même ……
Axiome 2 : transitivité universelle
Axiome 3 : j’y réfléchit

[Médiat]

Bonjour

Axiome 0 : trichotomie
Axiome 1 : cela veut dire que « x » n’est pas en relation avec « x »
Axiome 2 : transitivité

A vous lire, je comprends, une fois de plus, que l'écriture formelle est bien supérieure au français

[Deedee81]

Salut,

C'était vraiment intéressant. Merci,

En tout cas, je comprend très bien tous ces axiomes. Mais de là à trouver les modèles. Arg.....
(et de fait, la question libre à la fin me laisse perplexe)

D'une manière générale, existe-t-il des outils, des règles, pour construire les modèles à partir d'un jeu d'axiomes ?
Ou est-ce plutôt du genre "recettes de cuisines" (un peut comme ça arrive souvent pour la recherche des primitives, rien à voir évidemment, je parle juste des "méthodes générales" qui existent... ou pas)
Une bonne référence à conseiller ? (si possible internet, sinon tant pis)
(je connais bien l'axiomatique mais assez mal la théorie des modèles)

[Deedee81]

Google (merci gogol) m'a donné ceci par exemple : https://www.imo.universite-paris-sac...oteshyeres.pdf
Mais est-ce une bonne ref pour ce genre d'interrogation ?

[Médiat]

Salut

Malheureusement, pour construire un modèle, il n'y a guère que l'expérience qui soit utile, dans la pratique, on fait plutôt le contraire, on a un modèle en tête (pour x raisons) et on cherche à l'axiomatiser, et on se demande quels autres types de structures conviennent aussi

Pour "voir" comment cela marche tu peux commencer à te demander à quoi ressemblent les modèles finis

Puis quels axiomes ajouter pour
1) n'avoir que des modèles finis
2) tous les modèles finis ()
3) que des modèles infinis

Bouscaren est une excellente référence et son exemple du théorème d'Ax est parfait

[Deedee81]

D'accord merci.

J'ai jeté un oeil et je me rend compte que je connais en effet fort mal. Je lirai ça à tête reposée.

[Verdurin]

Salut Médiat.
Il me semble qu'il y a des erreurs dans le message #21

Elles sont toutes liées au non respect de l'axiome 3.

Pour donner un exemple ne respecte pas cet axiome :

Je prend il est clair que est vrai.

Si cet ensemble est un modèle de la théorie on a



Ce qui se traduit par a un plus petit élément pour l'ordre usuel.
Comme c'est faux on en déduit que l'on a pas un modèle de la théorie avec cet ensemble muni de la relation < usuelle.

On va rencontrer le même problème avec si

[Médiat]

Voilà une erreur, de ma part, qui répond à Deedee

Il me semble que l'on peut corriger cela en ajoutant que si est suivi d'un , il doit être un ordinal limite, et les sont forcément

[Médiat]

J'ai oublié de dire : "c'était fait expès pour voir si tu suivais"