Petite récréation.

**Médiat** · 02/05/2020, 13h09

Bonjour,

Soit le langage ${\mathcal L}(<)$ constitué d'un symbole de relation binaire, et soit ${\mathcal T}$ la théorie égalitaire dont les axiomes sont :

1) $\forall x \neg (x<x)$
2) $\forall x\forall y\forall z(((x<y)\wedge (y<z)) \Rightarrow (x<z))$
3) $\forall x (\exists y(x<y) \Rightarrow \exists z \forall t (x <z \wedge ((x<t) \Rightarrow ((z=t) \vee (z<t)))$

Pouvez-vous décrire des modèles, tous les modèles de cette théorie ?

Et si on ajoute :
4) $\exists x\forall y((x < y) \vee (x=y))$
5) $\exists x\forall y((y < x) \vee (x=y))$

PS Merci Echo30540 et Richard31

**Médiat** · 02/05/2020, 14h05

ooups

J'ai oublié l'axiome

0) $\forall x \forall y ((x<y)\vee(x=y)\vee (y<x))$

Sans celui là, il y a trop de possibilités

**Médiat** · 02/05/2020, 20h14

Je propose un modèle très simple : l'univers $A$ est un singleton et $<_A = \emptyset$

**amineyasmine** · 03/05/2020, 00h59

bonjour

le modèle :
Les surfaces des triangles formés par 3 étoiles de l’univers.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Verdurin** · 03/05/2020, 08h05

Bonjour.

Pour les premiers axiomes ( de 0 à 3 ) je propose une famille de modèles : n'importe quelle partie de Z muni de l'ordre strict usuel.
Il en manque beaucoup car n'importe quel ensemble muni d'un bon ordre est aussi un modèle.

Du moins si je ne me suis pas trompé en lisant les axiomes.

invite7b7f1ad0 · 03/05/2020, 08h38

Bonjour,

Je vais juste proposer ma lecture pour valider ma capacité de compréhension et avancer doucement:

Cliquez pour afficher

invite7b7f1ad0 · 03/05/2020, 08h53

Et le 2 (oublié dans mon précédent message):

Cliquez pour afficher

**Médiat** · 03/05/2020, 08h55

Bonjour,

Envoyé par Verdurin

Pour les premiers axiomes ( de 0 à 3 ) je propose une famille de modèles : n'importe quelle partie de Z muni de l'ordre strict usuel.

Oui, on peut préciser, toute partie finie donne un modèle isomorphe à [0, n] (on peut se demander si le vide est un modèle (certains auteurs considère qu'un "modèle" doit être non vide), pour les parties infinies, elles sont isomorphes à ${\mathbb N}$ , ${\mathbb Z}^-$ ou ${\mathbb Z}$ à chaque fois muni de l'ordre usuel. (il est facile de voir quels axiomes sont respectés)

Il en manque beaucoup car n'importe quel ensemble muni d'un bon ordre est aussi un modèle.

Oui, comme on s'intéresse aux modèles "à isomorphisme près", on peut dire : les ordinaux pour les axiomes 0 à 4, et les ordinaux successeurs pour 0 à 5

Mais il y en a d'autres

A partir de maintenant on ne s'intéressera qu'aux modèles dénombrables

**Médiat** · 03/05/2020, 08h58

Envoyé par Liet Kynes

Je vais juste proposer ma lecture pour valider ma capacité de compréhension et avancer doucement:

Non validé

invite7b7f1ad0 · 03/05/2020, 09h08

Envoyé par Médiat

Non validé

Merci,
Les trois ? (0,1,2)

**Médiat** · 03/05/2020, 09h21

Au mieux vos conclusions sont sans intérêt et n'ont pas besoin des axiomes que vous utilisez (x = x, par exemple)
Vous utilisez des symboles qui n'existent pas dans la théorie (>)
Vous utilisez des formules qui n'ont pas de sens (x != y != z)

invite7b7f1ad0 · 03/05/2020, 09h59

Envoyé par Médiat

Au mieux vos conclusions sont sans intérêt et n'ont pas besoin des axiomes que vous utilisez (x = x, par exemple)
Vous utilisez des symboles qui n'existent pas dans la théorie (>)
Vous utilisez des formules qui n'ont pas de sens (x != y != z)

Je crois qu'il est plus sage que je me contente de lire, si je comprends un peu c'est la "combinaison" des axiomes qui permet de construire les modèles. Un poil plus exotique; une théorie ne génère pas son propre langage ?

**Médiat** · 03/05/2020, 10h16

Envoyé par Liet Kynes

une théorie ne génère pas son propre langage ?

Non, lisez un livre de logique

**Verdurin** · 03/05/2020, 11h24

Finalement je ne trouve comme modèle pour les axiomes de 0 à 3 que
-- les ordinaux
-- les ordinaux précédés d'une copie de Z^-.

**Médiat** · 03/05/2020, 11h44

Vous voulez dire ${\mathbb Z} \oplus \lambda$ où $\lambda$ est un ordinal dénombrable (*) et $\oplus$ est une union disjointe et tous les éléments du terme de gauche sont $<$ à tous les éléments du terme de droite ?

Si oui, il en reste pas mal

(*) Pour ne pas compliquer trop

**Verdurin** · 03/05/2020, 13h05

Oui en prenant plutôt ${\mathbb Z}^- \oplus \lambda$ .

Je vais chercher encore.

Juste une question :
en prenant en plus l'axiome 4 est-ce que les seuls modèles sont les ordinaux ?
Il me semble que oui, car j'ai traduit l'axiome 3 par tout élément non maximal a un unique successeur.
En rajoutant un élément minimal on a donc un bon ordre.

Mais je devrais peut-être aller relire les définitions. . .

**Médiat** · 03/05/2020, 13h13

Envoyé par Verdurin

Oui en prenant plutôt ${\mathbb Z}^- \oplus \lambda$ .

Bon point de départ, j'utiliserais la notation $\omega^-$ , plutôt que ${\mathbb Z}^-$

en prenant en plus l'axiome 4 est-ce que les seuls modèles sont les ordinaux ?

Non, Que pensez-vous de $\omega + \omega^-$

**Verdurin** · 03/05/2020, 13h13

Je viens de voir un autre modèle
$\{0\}\times\mathbb{Z}\cup\{1\}\times\mathbb{Z}$ muni de l'ordre lexicographique.

Effectivement ça va faire beaucoup de modèle possibles.

Je viens de voir ton message, merci pour la réponse.

**Verdurin** · 03/05/2020, 21h25

Finalement je ne sais pas vraiment ce que tu ( je me permettrais de vous tutoyer ) entends par $\omega+\omega^-$ .
Je pose que $A\oplus B$ est l'union disjointe d'une copie de l'ensemble A et d'une copie de l'ensemble B chacun d'eux muni d'une relation d'ordre et $\forall a\in A\ \forall b\in B\ a<b.$
Cette opération n'est pas commutative.

Pour donner un exemple j'écris
$\{0\}\times\mathbb{Z}\cup\{1\}\times\mathbb{Z}$ muni de l'ordre lexicographique $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$

Il me semble évident que l'on peut définir, $\lambda$ étant un ordinal,
$\bigoplus_{i\in \lambda}A_i=\bigcup_{i\in \lambda}\{i\}\times A_i$
muni de l’ordre lexicographique.

On peut aussi définir de la même façon
$\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}A_i.$

Il me semble clair que si $A_i\in\{\mathbb{N},\mathbb{Z}\}$ alors
$\bigoplus_{i\in \mathbb{N}}A_i$
et
$\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}A_i$
sont des modèles.

On peut bien sur ajouter à la fin un ordinal fini ou un ordinal limite.

Mais j'ai l’impression très nette qu'il y en a d'autres.

**Médiat** · 03/05/2020, 21h52

Envoyé par Verdurin

Finalement je ne sais pas vraiment ce que tu ( je me permettrais de vous tutoyer ) entends par $\omega+\omega^-$ .

Ce que je note $\omega^-$ c'est ${\mathbb Z}^-$ (ou $\omega$ muni de $>$ usuel comme $<$ ), ou encore quelque chose comme: … 3, 2, 1, 0, et donc $\omega \oplus \omega^-$ c'est 0, 1, 2, … … 2', 1', 0'

Je ne réponds qu'à cela ce soir (on est d'accord sur la définition de $A\oplus B$ )

**Médiat** · 04/05/2020, 08h43

Bonjour,

Ci-dessous, je note par $\alpha, \beta, \gamma$ des ordinaux dénombrables (non finis, à une exception près, cf. infra).

$\alpha^-$ désigne l'ordinal $\alpha$ "à l'envers", c'est à dire que le $<$ de la théorie est le $>$ de l'ordinal $\alpha<br />$
$I_n = \llbracket 0; n\llbracket$
$x \oplus y = \{0\} \times x \bigcup \{1\}\times y$ , où $<$ (de la théorie) est l'ordre lexicographique ( $x \oplus y$ est l'union disjointe de $x$ et $y$ et tous les éléments de $x$ sont $<$ à tous les éléments de $y$ )

On peut noter quelques propriétés :

$\alpha \oplus \beta = \alpha + \beta = \gamma$

$\alpha^- \oplus \beta^- = (\beta + \alpha)^- = \gamma^-$

$I_n \oplus \alpha = \alpha$

$\alpha \oplus I_n = \beta$

$I_n \oplus \alpha^- = \beta^-$

$\alpha^- \oplus I_n = \alpha^-$

On peut donc se passer des $I_n$

Je propose comme modèles :

$\bigoplus_\omega \alpha \oplus \beta^-$

1) Le premier $\alpha$ peut être fini (y compris $\emptyset$ )

2) le dernier $\beta^-$ peut être fini (y compris $\emptyset$ )

Remarque : cette écriture n'est pas unique : $(\alpha + 1) \oplus \beta^- = \alpha \oplus (\beta + 1)^-$

Si on veut prendre en compte l'axiome 4, il suffit d'imposer que le premier $\alpha$ ne soit pas $\emptyset$

Si on veut prendre en compte l'axiome 5, il suffit d'imposer que le dernier $\beta^-$ ne soit pas $\emptyset$

On peut donner une description telle que la décomposition soit unique (me semble-t-il) en utilisant que des ordinaux limites et les $I_n$

A partir de là, une question intéressante : quel(s) axiome(s) ajouter pour restreindre les modèles de façon significative (je n'ai pas de "bonne" réponse ici, à chacun d'imaginer)

**amineyasmine** · 04/05/2020, 22h51

bonjour

Ça devient compliquer à lire.
Et si on écrit les axiomes en langage courant, je fais un essai :

Cliquez pour afficher

**Médiat** · 05/05/2020, 07h27

Bonjour

Axiome 0 : trichotomie
Axiome 1 : cela veut dire que « x » n’est pas en relation avec « x »
Axiome 2 : transitivité

A vous lire, je comprends, une fois de plus, que l'écriture formelle est bien supérieure au français

**Deedee81** · 05/05/2020, 07h45

Salut,

C'était vraiment intéressant. Merci,

En tout cas, je comprend très bien tous ces axiomes. Mais de là à trouver les modèles. Arg.....
(et de fait, la question libre à la fin me laisse perplexe)

D'une manière générale, existe-t-il des outils, des règles, pour construire les modèles à partir d'un jeu d'axiomes ?
Ou est-ce plutôt du genre "recettes de cuisines" (un peut comme ça arrive souvent pour la recherche des primitives, rien à voir évidemment, je parle juste des "méthodes générales" qui existent... ou pas)
Une bonne référence à conseiller ? (si possible internet, sinon tant pis)
(je connais bien l'axiomatique mais assez mal la théorie des modèles)

**Deedee81** · 05/05/2020, 07h47

Google (merci gogol) m'a donné ceci par exemple : https://www.imo.universite-paris-sac...oteshyeres.pdf
Mais est-ce une bonne ref pour ce genre d'interrogation ?

**Médiat** · 05/05/2020, 08h04

Salut

Malheureusement, pour construire un modèle, il n'y a guère que l'expérience qui soit utile, dans la pratique, on fait plutôt le contraire, on a un modèle en tête (pour x raisons) et on cherche à l'axiomatiser, et on se demande quels autres types de structures conviennent aussi

Pour "voir" comment cela marche tu peux commencer à te demander à quoi ressemblent les modèles finis

Puis quels axiomes ajouter pour
1) n'avoir que des modèles finis
2) tous les modèles finis (

)
3) que des modèles infinis

Bouscaren est une excellente référence et son exemple du théorème d'Ax est parfait

**Deedee81** · 05/05/2020, 08h43

D'accord merci.

J'ai jeté un oeil et je me rend compte que je connais en effet fort mal. Je lirai ça à tête reposée.

**Verdurin** · 05/05/2020, 13h24

Salut Médiat.
Il me semble qu'il y a des erreurs dans le message #21

Elles sont toutes liées au non respect de l'axiome 3.

Pour donner un exemple $\{1_a\}\oplus \mathbb{Z}$ ne respecte pas cet axiome :

Je prend $x=1_a$ il est clair que $\exists y ( 1_a<y)$ est vrai.

Si cet ensemble est un modèle de la théorie on a

$\exists z \forall t \bigl((1_a<t)\wedge (1_a<z)\bigr)\Rightarrow\bigl((z=t)\vee(z<t)\bigr)$

Ce qui se traduit par $\mathbb{Z}$ a un plus petit élément pour l'ordre usuel.
Comme c'est faux on en déduit que l'on a pas un modèle de la théorie avec cet ensemble muni de la relation < usuelle.

On va rencontrer le même problème avec $\beta^-$ si $\beta >\omega$

**Médiat** · 05/05/2020, 14h12

Voilà une erreur, de ma part, qui répond à Deedee

Il me semble que l'on peut corriger cela en ajoutant que si $\alpha$ est suivi d'un $\beta^-$ , il doit être un ordinal limite, et les $\beta^-$ sont forcément $\omega^-$

**Médiat** · 05/05/2020, 15h50

J'ai oublié de dire : "c'était fait expès pour voir si tu suivais"

Petite récréation.

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