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Petite récréation.



  1. #1
    Médiat

    Petite récréation.


    ------

    Bonjour,

    Soit le langage constitué d'un symbole de relation binaire, et soit la théorie égalitaire dont les axiomes sont :

    1)
    2)
    3)


    Pouvez-vous décrire des modèles, tous les modèles de cette théorie ?

    Et si on ajoute :
    4)
    5)







    PS Merci Echo30540 et Richard31

    -----
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  3. #2
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    ooups

    J'ai oublié l'axiome

    0)

    Sans celui là, il y a trop de possibilités
    Je suis Charlie.
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  4. #3
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Je propose un modèle très simple : l'univers est un singleton et
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    amineyasmine

    Re : Petite récréation.

    bonjour

    le modèle :
    Les surfaces des triangles formés par 3 étoiles de l’univers.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Verdurin

    Re : Petite récréation.

    Bonjour.

    Pour les premiers axiomes ( de 0 à 3 ) je propose une famille de modèles : n'importe quelle partie de Z muni de l'ordre strict usuel.
    Il en manque beaucoup car n'importe quel ensemble muni d'un bon ordre est aussi un modèle.

    Du moins si je ne me suis pas trompé en lisant les axiomes.

  8. #6
    invite84127968

    Re : Petite récréation.

    Bonjour,

    Je vais juste proposer ma lecture pour valider ma capacité de compréhension et avancer doucement:

     Cliquez pour afficher

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  10. #7
    invite84127968

    Re : Petite récréation.

    Et le 2 (oublié dans mon précédent message):

     Cliquez pour afficher

  11. #8
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Verdurin Voir le message

    Pour les premiers axiomes ( de 0 à 3 ) je propose une famille de modèles : n'importe quelle partie de Z muni de l'ordre strict usuel.
    Oui, on peut préciser, toute partie finie donne un modèle isomorphe à [0, n] (on peut se demander si le vide est un modèle (certains auteurs considère qu'un "modèle" doit être non vide), pour les parties infinies, elles sont isomorphes à , ou à chaque fois muni de l'ordre usuel. (il est facile de voir quels axiomes sont respectés)


    Il en manque beaucoup car n'importe quel ensemble muni d'un bon ordre est aussi un modèle.
    Oui, comme on s'intéresse aux modèles "à isomorphisme près", on peut dire : les ordinaux pour les axiomes 0 à 4, et les ordinaux successeurs pour 0 à 5

    Mais il y en a d'autres



    A partir de maintenant on ne s'intéressera qu'aux modèles dénombrables
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Citation Envoyé par Liet Kynes Voir le message
    Je vais juste proposer ma lecture pour valider ma capacité de compréhension et avancer doucement:
    Non validé
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    invite84127968

    Re : Petite récréation.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Non validé
    Merci,
    Les trois ? (0,1,2)

  14. #11
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Au mieux vos conclusions sont sans intérêt et n'ont pas besoin des axiomes que vous utilisez (x = x, par exemple)
    Vous utilisez des symboles qui n'existent pas dans la théorie (>)
    Vous utilisez des formules qui n'ont pas de sens (x != y != z)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    invite84127968

    Re : Petite récréation.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Au mieux vos conclusions sont sans intérêt et n'ont pas besoin des axiomes que vous utilisez (x = x, par exemple)
    Vous utilisez des symboles qui n'existent pas dans la théorie (>)
    Vous utilisez des formules qui n'ont pas de sens (x != y != z)
    Je crois qu'il est plus sage que je me contente de lire, si je comprends un peu c'est la "combinaison" des axiomes qui permet de construire les modèles. Un poil plus exotique; une théorie ne génère pas son propre langage ?

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  17. #13
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Citation Envoyé par Liet Kynes Voir le message
    une théorie ne génère pas son propre langage ?
    Non, lisez un livre de logique
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Verdurin

    Re : Petite récréation.

    Finalement je ne trouve comme modèle pour les axiomes de 0 à 3 que
    -- les ordinaux
    -- les ordinaux précédés d'une copie de Z-.

  19. #15
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Vous voulez dire est un ordinal dénombrable (*) et est une union disjointe et tous les éléments du terme de gauche sont à tous les éléments du terme de droite ?

    Si oui, il en reste pas mal

    (*) Pour ne pas compliquer trop
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #16
    Verdurin

    Re : Petite récréation.

    Oui en prenant plutôt .

    Je vais chercher encore.

    Juste une question :
    en prenant en plus l'axiome 4 est-ce que les seuls modèles sont les ordinaux ?
    Il me semble que oui, car j'ai traduit l'axiome 3 par tout élément non maximal a un unique successeur.
    En rajoutant un élément minimal on a donc un bon ordre.

    Mais je devrais peut-être aller relire les définitions. . .

  21. #17
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Citation Envoyé par Verdurin Voir le message
    Oui en prenant plutôt .
    Bon point de départ, j'utiliserais la notation , plutôt que




    en prenant en plus l'axiome 4 est-ce que les seuls modèles sont les ordinaux ?
    Non, Que pensez-vous de
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    Verdurin

    Re : Petite récréation.

    Je viens de voir un autre modèle
    muni de l'ordre lexicographique.

    Effectivement ça va faire beaucoup de modèle possibles.

    Je viens de voir ton message, merci pour la réponse.
    Dernière modification par Verdurin ; 03/05/2020 à 14h15.

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  24. #19
    Verdurin

    Re : Petite récréation.

    Finalement je ne sais pas vraiment ce que tu ( je me permettrais de vous tutoyer ) entends par .
    Je pose que est l'union disjointe d'une copie de l'ensemble A et d'une copie de l'ensemble B chacun d'eux muni d'une relation d'ordre et
    Cette opération n'est pas commutative.

    Pour donner un exemple j'écris
    muni de l'ordre lexicographique

    Il me semble évident que l'on peut définir, étant un ordinal,

    muni de l’ordre lexicographique.

    On peut aussi définir de la même façon


    Il me semble clair que si alors

    et

    sont des modèles.

    On peut bien sur ajouter à la fin un ordinal fini ou un ordinal limite.

    Mais j'ai l’impression très nette qu'il y en a d'autres.

  25. #20
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Citation Envoyé par Verdurin Voir le message
    Finalement je ne sais pas vraiment ce que tu ( je me permettrais de vous tutoyer ) entends par .
    Ce que je note c'est (ou muni de usuel comme ), ou encore quelque chose comme: … 3, 2, 1, 0, et donc c'est 0, 1, 2, … … 2', 1', 0'

    Je ne réponds qu'à cela ce soir (on est d'accord sur la définition de )
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Bonjour,

    Ci-dessous, je note par des ordinaux dénombrables (non finis, à une exception près, cf. infra).

    désigne l'ordinal "à l'envers", c'est à dire que le de la théorie est le de l'ordinal

    , où (de la théorie) est l'ordre lexicographique ( est l'union disjointe de et et tous les éléments de sont à tous les éléments de )

    On peut noter quelques propriétés :













    On peut donc se passer des

    Je propose comme modèles :



    1) Le premier peut être fini (y compris )

    2) le dernier peut être fini (y compris )

    Remarque : cette écriture n'est pas unique :

    Si on veut prendre en compte l'axiome 4, il suffit d'imposer que le premier ne soit pas

    Si on veut prendre en compte l'axiome 5, il suffit d'imposer que le dernier ne soit pas

    On peut donner une description telle que la décomposition soit unique (me semble-t-il) en utilisant que des ordinaux limites et les

    A partir de là, une question intéressante : quel(s) axiome(s) ajouter pour restreindre les modèles de façon significative (je n'ai pas de "bonne" réponse ici, à chacun d'imaginer)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #22
    amineyasmine

    Re : Petite récréation.

    bonjour

    Ça devient compliquer à lire.
    Et si on écrit les axiomes en langage courant, je fais un essai :
     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par amineyasmine ; 04/05/2020 à 23h53.

  28. #23
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Bonjour

    Axiome 0 : trichotomie
    Axiome 1 : cela veut dire que « x » n’est pas en relation avec « x »
    Axiome 2 : transitivité

    A vous lire, je comprends, une fois de plus, que l'écriture formelle est bien supérieure au français
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #24
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Petite récréation.

    Salut,

    C'était vraiment intéressant. Merci,

    En tout cas, je comprend très bien tous ces axiomes. Mais de là à trouver les modèles. Arg.....
    (et de fait, la question libre à la fin me laisse perplexe)

    D'une manière générale, existe-t-il des outils, des règles, pour construire les modèles à partir d'un jeu d'axiomes ?
    Ou est-ce plutôt du genre "recettes de cuisines" (un peut comme ça arrive souvent pour la recherche des primitives, rien à voir évidemment, je parle juste des "méthodes générales" qui existent... ou pas)
    Une bonne référence à conseiller ? (si possible internet, sinon tant pis)
    (je connais bien l'axiomatique mais assez mal la théorie des modèles)
    Keep it simple stupid

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  31. #25
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Petite récréation.

    Google (merci gogol) m'a donné ceci par exemple : https://www.imo.universite-paris-sac...oteshyeres.pdf
    Mais est-ce une bonne ref pour ce genre d'interrogation ?
    Keep it simple stupid

  32. #26
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Salut

    Malheureusement, pour construire un modèle, il n'y a guère que l'expérience qui soit utile, dans la pratique, on fait plutôt le contraire, on a un modèle en tête (pour x raisons) et on cherche à l'axiomatiser, et on se demande quels autres types de structures conviennent aussi

    Pour "voir" comment cela marche tu peux commencer à te demander à quoi ressemblent les modèles finis

    Puis quels axiomes ajouter pour
    1) n'avoir que des modèles finis
    2) tous les modèles finis ()
    3) que des modèles infinis


    Bouscaren est une excellente référence et son exemple du théorème d'Ax est parfait
    Dernière modification par Médiat ; 05/05/2020 à 09h08.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  33. #27
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Petite récréation.

    D'accord merci.

    J'ai jeté un oeil et je me rend compte que je connais en effet fort mal. Je lirai ça à tête reposée.
    Keep it simple stupid

  34. #28
    Verdurin

    Re : Petite récréation.

    Salut Médiat.
    Il me semble qu'il y a des erreurs dans le message #21

    Elles sont toutes liées au non respect de l'axiome 3.

    Pour donner un exemple ne respecte pas cet axiome :

    Je prend il est clair que est vrai.

    Si cet ensemble est un modèle de la théorie on a



    Ce qui se traduit par a un plus petit élément pour l'ordre usuel.
    Comme c'est faux on en déduit que l'on a pas un modèle de la théorie avec cet ensemble muni de la relation < usuelle.

    On va rencontrer le même problème avec si

  35. #29
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    Voilà une erreur, de ma part, qui répond à Deedee

    Il me semble que l'on peut corriger cela en ajoutant que si est suivi d'un , il doit être un ordinal limite, et les sont forcément
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    Médiat

    Re : Petite récréation.

    J'ai oublié de dire : "c'était fait expès pour voir si tu suivais"
    Je suis Charlie.
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